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1、有限元讲义等参单元有限元讲义等参单元第1页，本讲稿共24页6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言第二是单元几何上的限制，矩形和六面体（长方体）单元要求单元的边第二是单元几何上的限制，矩形和六面体（长方体）单元要求单元的边（面）平行于坐标轴（面），因此都不能模拟任意形状和方位的结构。（面）平行于坐标轴（面），因此都不能模拟任意形状和方位的结构。此外，线性单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。此外，线性单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。回顾前面的各种二、三维单元，这些单元受到两个方面的限制：回顾前面的各种二、三维单元，这些单元受到两个方面的限制：第一是单元的精度，显然单元
2、的节点数越多，单元精度越高。因此在这一点第一是单元的精度，显然单元的节点数越多，单元精度越高。因此在这一点上，矩形单元优于上，矩形单元优于3 3节点三角形单元，六面体单元优于四面体单元；节点三角形单元，六面体单元优于四面体单元；第2页，本讲稿共24页6.1 6.1 6.1 6.1 引言引言引言引言任意四边形和任意六面体单元的位移模式、形函数的构造和单元列式的导出任意四边形和任意六面体单元的位移模式、形函数的构造和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所谓的等参变换，采用相同的不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所谓的等参变换，采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单
3、元上进行插值。这种单元称为插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种单元称为等等参单元参单元。解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元几何上的限制，解决上述矛盾的出路就是突破矩形单元和六面体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。第3页，本讲稿共24页6.2 6.2
4、 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元1 1、局部坐标系与位移模式、局部坐标系与位移模式建立位移模式时的新问题：如果直接用建立位移模式时的新问题：如果直接用x x，y y坐标系下的双线性位移模式，由坐标系下的双线性位移模式，由于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变化，于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调性。单元在公共边界上不满足协调性。l 下图为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。将矩形单元 放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。第4页，本讲稿共2
5、4页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元因此在任意四边形单元上建立一种局部坐标系因此在任意四边形单元上建立一种局部坐标系-（如图），使得（如图），使得4 4条边上有一个条边上有一个局部坐标为常数（局部坐标为常数（11），显然，该局部坐标系随单元形状变化，两组坐标线一般不），显然，该局部坐标系随单元形状变化，两组坐标线一般不正交。单元内，所有点的坐标正交。单元内，所有点的坐标、皆在皆在-1-1与与+1+1之间，四个节点的局部坐标为之间，四个节点的局部坐标为+1+1或或-1 1。该坐标系也称为自然坐标系。该坐标系也称为自然坐标系。
6、建立了局部坐标系后，在建立了局部坐标系后，在-平面内单元就是一个边长为平面内单元就是一个边长为2 2的正方形。的正方形。第5页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元称称-平面内的正方形单元为平面内的正方形单元为基本单元或母单元基本单元或母单元。x-yx-y平面内的任意四边形平面内的任意四边形单元称为单元称为实际单元或子单元实际单元或子单元。显然，母单元的节点对应于不同的。显然，母单元的节点对应于不同的x x，y y坐坐标就得到不同的任意四边形单元。标就得到不同的任意四边形单元。该局部坐标系使得在该局部坐标系使得在
7、x-yx-y平面上的任意四边形与平面上的任意四边形与-平面上的正方形之间形成了平面上的正方形之间形成了1-11-1对应的映射。正方形的对应的映射。正方形的4 4个顶点对应任意四边形单元的四个节点；个顶点对应任意四边形单元的四个节点；4 4条边对应条边对应任意四边形单元的任意四边形单元的4 4条边；正方形内任一点条边；正方形内任一点p(,)p(,)对应于任意四边形内一点对应于任意四边形内一点p(x,y)p(x,y)。第6页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元建立了局部坐标系或映射后，我们可以在建立了局部坐标系或映
8、射后，我们可以在-平面上的母单元中描述实际单元的平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。位移模式和力学特性。任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者称为任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者称为-坐坐标系下的位移模式）就是矩形单元的位移模式，写为：标系下的位移模式）就是矩形单元的位移模式，写为：(i=1,2,3,4(i=1,2,3,4)其中，形函数为：其中，形函数为：为为i i节点的局部坐标。节点的局部坐标。v显然该位移模式在显然该位移模式在,坐标系下是双线性位移模式，在坐标系下是双线性位移模式，在x x，y y坐标系下不是双线性坐标系下不是双线性位移模式。由于实际
9、单元的边界上有一个局部坐标为常数，因此位移沿单元边界线位移模式。由于实际单元的边界上有一个局部坐标为常数，因此位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。性变化，能保证单元的协调性。第7页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元为了得到上述映射的数学表达式，在母单元上引入为了得到上述映射的数学表达式，在母单元上引入x x，y y坐标插值的坐标插值的思想：母单元上任意一点在实际单元中对应点的思想：母单元上任意一点在实际单元中对应点的x x，y y坐标由节点的坐标由节点的x x，y y坐标插值得到，并采用与位移插值相同
10、的插值函数。从而得到一坐标插值得到，并采用与位移插值相同的插值函数。从而得到一个数学变换式：个数学变换式：(i=1,2,3,4)2 2、坐标变换、坐标变换第8页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该坐标变换式中采用了上述映射是利用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该坐标变换式中采用了与位移插值相同的节点和参数（插值函数），因此称为等参变换。而所有采用等参与位移插值相同的节点和参数（插值函数），因此称为等参变换。而所有采用等参变换的单元称为等参单元。等参单元
11、是一个单元家族，目前在通用程序中广泛采用。变换的单元称为等参单元。等参单元是一个单元家族，目前在通用程序中广泛采用。这样就得到一个事实上的映射，只要验证该映射把母单元映射成实际这样就得到一个事实上的映射，只要验证该映射把母单元映射成实际单元，就是所需要的映射，实际单元上局部坐标系就满足前面规定的单元，就是所需要的映射，实际单元上局部坐标系就满足前面规定的要求。而事实上正是如此。要求。而事实上正是如此。第9页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元3、单元刚度矩阵计算、单元刚度矩阵计算1）形函数导数的坐标变换）形函数
12、导数的坐标变换等参单元中形函数是局部坐标等参单元中形函数是局部坐标,的显函数，而计算应变时需要形函的显函数，而计算应变时需要形函数对数对x,yx,y坐标的导数。根据等参变换式，坐标的导数。根据等参变换式，,和和 x,y x,y之间有一定函数关系，之间有一定函数关系，由复合函数求导规则有：由复合函数求导规则有：第10页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元从上式解出：从上式解出：从而可以计算应变矩阵：从而可以计算应变矩阵：第11页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平
13、面四节点等参单元平面四节点等参单元2）刚度矩阵积分式的坐标变换）刚度矩阵积分式的坐标变换对平面问题的四节点等参元，单元刚度矩阵由下式决定：对平面问题的四节点等参元，单元刚度矩阵由下式决定：l 积分区域是积分区域是x-y坐标系下的任意四边形。坐标系下的任意四边形。进行积分变量替换，用进行积分变量替换，用 坐标作为积分变量。由二维重积分变坐标作为积分变量。由二维重积分变量替换公式得到：量替换公式得到：第12页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元3）刚度矩阵的数值积分）刚度矩阵的数值积分由于等参单元刚度矩阵积分式中被
14、积函数很难导出解析表达式，因此等参单元的由于等参单元刚度矩阵积分式中被积函数很难导出解析表达式，因此等参单元的计算都采用数值积分求积分的近似值，有限元中对四边形和六面体等参单元采用计算都采用数值积分求积分的近似值，有限元中对四边形和六面体等参单元采用高斯数值积分。高斯数值积分。一维积分高斯求积公式：一维积分高斯求积公式：第13页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元关于高斯积分的结论：关于高斯积分的结论：对于二、三维高斯积分，有：对于二、三维高斯积分，有：沿不同的坐标方向可以取不同积分阶沿不同的坐标方向可以取不同
15、积分阶L,M,N，对应的，对应的坐标位置（积分点）和权重分别按一维积分表选取。坐标位置（积分点）和权重分别按一维积分表选取。采用采用N阶高斯积分，如果被积函数是阶高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以下的多项式，则高斯求积公阶及以下的多项式，则高斯求积公式给出精确结果。式给出精确结果。第14页，本讲稿共24页6.2 6.2 6.2 6.2 平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元平面四节点等参单元对于平面四节点等参元对于平面四节点等参元，刚度矩阵积分通常在，刚度矩阵积分通常在,方向各方向各采用采用2 2个积分点（个积分点（2 22积分）：积分）：第15页，本讲稿共24页6.3 6
16、.3 6.3 6.3 平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面8节点曲边四边形等参元上述构造上述构造4 4节点任意四边形等参单元的方法完全可以用于构造更复杂的等参元。节点任意四边形等参单元的方法完全可以用于构造更复杂的等参元。对于二维问题，一个精度更高的单元是对于二维问题，一个精度更高的单元是8 8节点曲边四边形单元，该单元的建立节点曲边四边形单元，该单元的建立同样需要等参变换，因而也是等参单元。该单元及其母单元如图所示。同样需要等参变换，因而也是等参单元。该单元及其母单元如图所示。8 8节点任意四边形等参元及其母单元节点任意
17、四边形等参元及其母单元第16页，本讲稿共24页6.3 6.3 6.3 6.3 平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次多项式的不完全三次多项式，故该单元在母单元中的位移模式为包含完全二次多项式的不完全三次多项式，故称为二次等参元。称为二次等参元。插值函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号，插值函数可以用形函数性质直接构造。对应图中局部节点编号，8 8个节点形个节点形函数为：函数为：容易验证，上述形函数满足形函数性质。容易验证，上述形函数满足形函数性质。第17页，本讲稿共24页6.
18、3 6.3 6.3 6.3 平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元平面八节点曲边四边形等参元相应等参变换把母单元的相应等参变换把母单元的4 4条直线边界映射为实际单元中的条直线边界映射为实际单元中的4 4条抛物线条抛物线边界。即如果实际单元的边是抛物线，则等参变换是实际单元和母单边界。即如果实际单元的边是抛物线，则等参变换是实际单元和母单元之间的精确变换。元之间的精确变换。根据上述形函数插值得到的位移在单元边界上呈二次抛物线变化，由边根据上述形函数插值得到的位移在单元边界上呈二次抛物线变化，由边界上三个节点位移唯一确定，所以，边界上满足协调性。界上三个节
19、点位移唯一确定，所以，边界上满足协调性。8节点平面等参元刚度矩阵计算方法与前面节点平面等参元刚度矩阵计算方法与前面4节点等参单元相同。节点等参单元相同。单元等效节点力积分的计算，在单元上和边界上也是采用高斯数值积分。单元等效节点力积分的计算，在单元上和边界上也是采用高斯数值积分。第18页，本讲稿共24页6.4 6.4 6.4 6.4 二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介20节点三维等参元简介三维结构有限元分析中采用高阶单元将具有模型的节点、单元数目少，求解精度高的特点。三维结构有限元分析中采用高阶单元将具有模型的节点、单元数目少，求解精度高的
20、特点。而带有边中节点的任意六面体单元是三维实体单元的首选，该单元必须采用等参单元技术加而带有边中节点的任意六面体单元是三维实体单元的首选，该单元必须采用等参单元技术加以实施。以实施。如图所示，单元每个边有如图所示，单元每个边有3个节点，共个节点，共20个节点。单元上建立曲线自然坐个节点。单元上建立曲线自然坐标系标系 ,每个单元边界面上有一个局部坐标值为常数（每个单元边界面上有一个局部坐标值为常数（+1或或-1）。因此，）。因此，每个实际的曲面六面体单元映射为每个实际的曲面六面体单元映射为 坐标系下边长为坐标系下边长为2的立方体单元的立方体单元（母单元）。（母单元）。第19页，本讲稿共24页6.
21、4 6.4 6.4 6.4 二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介单元的形函数可以看作是平面单元的形函数可以看作是平面8 8节点曲边四边形等参元形函数在三维空间节点曲边四边形等参元形函数在三维空间的推广：的推广：8个角节点个角节点 :第20页，本讲稿共24页6.4 6.4 6.4 6.4 二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介位移模式插值公式位移模式插值公式20节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标是完全二次多项式，节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标是完全二次多项式，因此该单元称为二次等参元
22、，是典型的高精度单元。因此该单元称为二次等参元，是典型的高精度单元。根据形函数性质，相邻单元在交界面上的位移仅仅由公共节点的位移根据形函数性质，相邻单元在交界面上的位移仅仅由公共节点的位移在交界面上插值决定，因此该单元的协调性得到满足。此外，该单元在交界面上插值决定，因此该单元的协调性得到满足。此外，该单元满足完备性条件，因此单元是收敛的。满足完备性条件，因此单元是收敛的。第21页，本讲稿共24页6.4 6.4 6.4 6.4 二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介二十节点三维等参元简介如果实际六面体单元的边如果实际六面体单元的边/面是抛物线面是抛物线/面，那么上述
23、等参变换就是实际所需要的面，那么上述等参变换就是实际所需要的变换。否则，等参变换仅仅是一种近似的变换。变换。否则，等参变换仅仅是一种近似的变换。等参变换等参变换三维等参单元的力学分析和数学分析原理和方法与平面等参元相同。三维等参单元的力学分析和数学分析原理和方法与平面等参元相同。第22页，本讲稿共24页6.5 6.5 6.5 6.5 等参变换的条件等参变换的条件等参变换的条件等参变换的条件等参变换要保证母单元与实际单元之间形成等参变换要保证母单元与实际单元之间形成1-11-1对应的映射，对应的映射，数学上的条件是变换的数学上的条件是变换的JacobiJacobi行列式大于零。要保证这个条行列式
24、大于零。要保证这个条件，单元的几何必须满足一定要求，主要是：件，单元的几何必须满足一定要求，主要是：单元形状不能过度畸变；单元形状不能过度畸变；边中节点不能过于偏离中间。边中节点不能过于偏离中间。等参变换的条件等参变换的条件第23页，本讲稿共24页6.6 6.6 6.6 6.6 等参单元评价等参单元评价等参单元评价等参单元评价1)等参单元形状、方位任意，容易构造高阶单元，适应性好，精度高。等参单元形状、方位任意，容易构造高阶单元，适应性好，精度高。2)等参单元列式具有统一的形式，规律性强，采用数值积分计算，程序处等参单元列式具有统一的形式，规律性强，采用数值积分计算，程序处理方便。理方便。3)
25、由于等参单元涉及单元几何形状的变换，对实际单元的形态有一定要求。由于等参单元涉及单元几何形状的变换，对实际单元的形态有一定要求。单元形态好坏影响计算结果的精度。单元形态应满足：单元形态好坏影响计算结果的精度。单元形态应满足：单元各方向的单元各方向的尺寸尽量接近；尺寸尽量接近；单元边界不能过于曲折，不能有拐点和折点，尽量接单元边界不能过于曲折，不能有拐点和折点，尽量接近直线或抛物线；近直线或抛物线；边之间夹角接近直角。边之间夹角接近直角。4)高阶等参元精度高，描述复杂边界和形状的能力强，所需单元少，在结构高阶等参元精度高，描述复杂边界和形状的能力强，所需单元少，在结构应力分析中应用最广泛。应力分析中应用最广泛。等参单元的总体评价：等参单元的总体评价：第24页，本讲稿共24页