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1、二面角的求法第1页，本讲稿共24页雨 峰 工 作 室第2页，本讲稿共24页两直线所成角的取值范围两直线所成角的取值范围：AB 1O 平面的斜线和平面平面的斜线和平面所成的角的取值范围：所成的角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围直线和平面所成角的取值范围：复习回顾复习回顾 0o,90o 0o,90o(0o,90o)第3页，本讲稿共24页1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。第4页，本讲稿共24页2.2.在
2、立体几何中在立体几何中,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎是怎样定义的？样定义的？3.3.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是是怎样定义的？怎样定义的？第5页，本讲稿共24页问题问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？角有什么共同的特征？结论结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角为二维空间的角,即平面角。即平面角。拦拦洪洪坝坝水平面水平面二面角二面角第6页，本讲稿共24页1 1 半平面定义半平面定义平面的一条直线把平面分平面的一条直线把平面分为为两两部分
3、，其中的每一部部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。分都叫做一个半平面。半平面半平面:ll第7页，本讲稿共24页2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面角的棱，每个半平面叫做二面角的面面叫做二面角的面 棱为棱为l，两个面分，两个面分别为别为、的二面角记的二面角记为为 -l-l 第8页，本讲稿共24页l AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二二面角面角CAB DABCD5二二面面角角的的认认识识你从图中看出了二面你从图中看出了二面角的几种写法角的几种写
4、法?第9页，本讲稿共24页 平卧式平卧式：直立式直立式：AB ABl lAB l3画二面角画二面角第10页，本讲稿共24页 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两两相交相交直线所成的角？直线所成的角？4二面角的大小二面角的大小l 第11页，本讲稿共24页 在二面角在二面角-l-的的棱棱l上任取一点上任取一点O，如如图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB则则 AOB 叫做叫做二面角二面角 -l-的平面角的平面角OBAl 4二面角的大小二面角的大小第12页，本讲稿
5、共24页 在二面角在二面角-l-的的棱棱l上任取一点上任取一点O，如如图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB则则 AOB 叫做二叫做二面角面角 -l-的平面角的平面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？两相交直线所成的角？OO1BAB1l A14二面角的大小二面角的大小第13页，本讲稿共24页 二面角的大小可以用它的平面角来二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度说
6、这个二面角是多少度二面角的范围：二面角的范围：0o,180o 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合：0o；二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180o；4二面角的大小二面角的大小 平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角OAB第14页，本讲稿共24页二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内10 lOABAOB二二面面角角的的平平面面角角哪个对哪个对?怎么画才对怎么画才对?第15页，本讲稿共24页当堂小测1、二面角
7、指的是（）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。2、二面角的平面角的顶点在二面角的上，角的两边分别在二面角的内，且两边都与棱，它的度数与它的平面角的度数。1.课堂诊断第16页，本讲稿共24页2 2、二面角的类型及基本方法、二面角的类型及基本方法二面角的平面角的常规几何作法ooABoAB定义法定义法 垂面法垂面法 三垂线法三垂线法 A1B1C1ABC 射影面积法射影面积法 二二 面面 角角 大大 小小 的的 求求 法法第17页，本讲稿共24页例例1.如如图图，已已知知P
8、是是二二面面角角-AB-棱棱上上一一点点，过过P分分别别在在、内内引引射射线线PM、PN，且且MPN=60 BPM=BPN=45，求此二面角的度数。求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PC a，PD a又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角返回主页定义法第18页，本讲稿共24页O90试一试第19页，本讲稿共24页垂面法垂面法点点P在二面角内在二面角内A
9、BO二面角p返回主页讲解例题常见的图形第20页，本讲稿共24页例例2如如图图P为为二二面面角角内内一一点点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得P=60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPO二面角返回主页第21页，本讲稿共24页第22页，本讲稿共24页ABCD A为为二二面面角角 CD 的的棱棱CD上上一一点点，AB在在平平面面内内且且与与棱棱CD成成45角角，又又AB与与平平面面成成30，求求二二面角面角 CD 的大小。的大小。作作业业二面角第23页，本讲稿共24页 PABCD则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结BD，过过E作作EDPC于于D，过过B作作BEAC于于E，E ABC为正为正，BE=在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点，则则DE=在在Rt DEB中中tan BDE=例例1:已知正三角形已知正三角形ABC，PA面面ABC，且，且PA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-B的正切值的大小。的正切值的大小。三垂线法三垂线法:第24页，本讲稿共24页