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1、高等数学第一课件第1页，本讲稿共40页1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.列举法列举法描述法描述法一、集合集合第2页，本讲稿共40页数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.第3页，本讲稿共40页2.集合的运算集合的运算设设A.B是两个集合是两个集合第4页，本讲稿共40页设设A、B、C为任意三
2、个集合，则有下列法则成立：为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律）交换律（2）结合律）结合律例如：例如：第5页，本讲稿共40页（3）分配律分配律（4）对偶律对偶律证明（仅证对偶律的第一式）证明（仅证对偶律的第一式）所以所以反之，因为反之，因为第6页，本讲稿共40页设设A、B是两个非空集合是两个非空集合,称称为集合为集合A与集合与集合B的直积的直积例如例如:于是于是所以所以第7页，本讲稿共40页3、区间和邻域、区间和邻域设设a和和b都是实数且都是实数且ab.数集数集第8页，本讲稿共40页称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间
3、长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.第9页，本讲稿共40页邻域邻域:1).数集数集2).数集数集第10页，本讲稿共40页1 1、映射概念、映射概念二、映射二、映射其中其中y 称为元素称为元素 （在映射（在映射 下）的像，并记作下）的像，并记作 ,即即定义定义 设设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法是两个非空集合，如果存在一个法 则则 ，使得对，使得对X中每个元素中每个元素 ，按法则，按法则 ，在，在Y中有唯中有唯一确定的元素一确定的元素y与之对应，则称与之对应，则称 为从为从X到到Y的映射，的映射，记作记作第11页，本讲稿共40页而元
4、素而元素 称为元素称为元素y（在映射（在映射 下）的一个原像下）的一个原像;集合集合X称为映射称为映射 的定义域，的定义域，第12页，本讲稿共40页（2）注意：注意：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域，即定义域第13页，本讲稿共40页例例1例例2第14页，本讲稿共40页例例3注：注：在几何上映射在几何上映射 表示将平面上以原点为圆心的表示将平面上以原点为圆心的单位圆的点投影到单位圆的点投影到x轴的区间轴的区间-1，1。对于。对于 中的中的元素元素 ，除，除 =（1，0）或（）或（-1，0）外，它的原像不唯一。）外，它的原像不唯一。第1
5、5页，本讲稿共40页注：注：1 1）2 2）设设 是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射的映射.3）若若 既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称 为一一为一一映射。例映射。例1中的映射，既非单射，又非满中的映射，既非单射，又非满射；例射；例2中的映射是满射，但不是单射；中的映射是满射，但不是单射；例例3中的映射为一一映射。中的映射为一一映射。第16页，本讲稿共40页2.2.逆映射逆映射 由于只有单射才存在逆映射，所以，在例由于只有单射才存在逆映射，所以，在例1 1、2 2、3 3中只中只有例有例3 3中的映射中的映射 才存在逆映射才存在逆映射 第17页，本讲稿共40页3.复合映射复合
6、映射设有两个映射设有两个映射注：注：.由复合映射的定义可知，映射由复合映射的定义可知，映射g和和 构成复合映射的构成复合映射的条件是：条件是：2.映射映射 和和 的复合是有顺序的的复合是有顺序的.有意义，有意义，第18页，本讲稿共40页例例第19页，本讲稿共40页.函数概念函数概念定义设数集定义设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D上的函上的函数，通常简记为数，通常简记为其中其中x 称为自变量，称为自变量，y 称为因变量，称为因变量，D称为定义域称为定义域,记为记为三、函数三、函数函数值的全体所构成的数集函数值的全体所构成的数集第20页，本讲稿共40页函数的两要素函数的两要素：如果两个函数的
7、定义域相同，对应法则也相同，那么这两个如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的函数就是相同的,或者就是不同的或者就是不同的.约定：用算式表达的函数，其定义域是使得算式有意义的自约定：用算式表达的函数，其定义域是使得算式有意义的自变量所能取的一切实数值变量所能取的一切实数值.例如例如例如例如在函数定义中在函数定义中,对每个对每个，对应的函数值，对应的函数值y总是总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给定唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给定一个对应法则，按照这个法则，对每个一个对应法则，按照这个法则，对每个总有确定的实数总有确定的实数y与之对应，但与之对应，
8、但y值不总是唯一的，值不总是唯一的，则称这种法则确定了一个多值函数。则称这种法则确定了一个多值函数。第21页，本讲稿共40页例如例如 变量变量x和和y之间的对应法则由方程之间的对应法则由方程给出，根据给出，根据故所给定方程确定了一个多值函数。故所给定方程确定了一个多值函数。第22页，本讲稿共40页例例5例例6第23页，本讲稿共40页例例7 函数函数1-1xyo第24页，本讲稿共40页 例例8 设设x x为任一实数为任一实数.不超过不超过x x的最大整数称为的最大整数称为x x的整数部的整数部分，记作分，记作 x x.1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyoY
9、=x第25页，本讲稿共40页例例9 函数函数 第26页，本讲稿共40页2.函数的几种特性函数的几种特性(1).函数的有界性函数的有界性注注:第27页，本讲稿共40页(2)函数的单调性函数的单调性:xyo第28页，本讲稿共40页xyo第29页，本讲稿共40页(3)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x第30页，本讲稿共40页(4)函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.第31页，本讲稿共40页3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数反函数反函数注注第32页，本讲稿共40页复合函数复合函数第33页
10、，本讲稿共40页注：注：复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.例如例如4.函数的运算函数的运算和（差）和（差）积积商商第34页，本讲稿共40页例例11证证先分析如下：假若先分析如下：假若 这样的这样的g(x)、h(x)存在，使得存在，使得且且于是有于是有（1）（2）利用（利用（1）、（）、（2）式，就可作出）式，就可作出g(x)、h(x).这就这就启发我们作如下证明：启发我们作如下证明：作作第35页，本讲稿共40页则则证毕证毕.5.初等函数初等函数第36页，本讲稿共40页以上这五类函数统称为基本初等函数。以上这五类函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数为初等函数.例如例如都是初等函数都是初等函数.第37页，本讲稿共40页双曲函数双曲函数双曲正弦：双曲正弦：双曲余弦双曲余弦：双曲正切：双曲正切：双曲函数常用公式双曲函数常用公式第38页，本讲稿共40页反双曲函数反双曲函数它是奇函数它是奇函数,内单调增加内单调增加.第39页，本讲稿共40页第40页，本讲稿共40页