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1、三角函数的图象与性质第1页，本讲稿共30页O下面我们借助正弦线下面我们借助正弦线(几何法几何法)来画出来画出y=sinx在在0，2上的图象上的图象.首先，我们来作坐标为首先，我们来作坐标为(x0，sinx0)的点的点S，不，不妨设妨设x00，如图所示，在单位圆中设如图所示，在单位圆中设AP的长为的长为x0(即即AOP=x0)，则则MP=sinx0，所以点，所以点S(x0，sinx0)是以是以AP的长为横坐标，正弦线的长为横坐标，正弦线MP 的数量的数量为纵坐标的点为纵坐标的点.S(x0，sinx0)My-x1-12O1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像PA 为了更直观地
2、研究三角函数的性质，可以先作出为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象它们的图象.2第2页，本讲稿共30页 知道如何作出知道如何作出y=sinx的图象的一个点，就可以作出的图象的一个点，就可以作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应于于 的角及相应的正弦线的角及相应的正弦线,相应地相应地,把把x轴上从轴上从0到到2这一段分成这一段分成12等份，把角等份，把角x的正弦线向的正弦线向右平移，使它的起点与右平移，使它的起点与x轴上表示数轴上表示数x的点重合，再用的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数光滑的曲线把这些正弦线连结起
3、来，既得到正弦函数y=sinx在在0，2区间上的图象，如图所示区间上的图象，如图所示.-11yxA O2链接链接3第3页，本讲稿共30页 最后我们只要将函数最后我们只要将函数y=sinx，x 0，2的图象的图象向左、右平移向左、右平移(每次每次2个单位个单位)，就可以得到正弦函数就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象的图象，如图所示如图所示.正弦函数的图象叫做正弦曲线正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve).正弦曲线正弦曲线-yxO1-1246-2-4-6 以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线利用图
4、形计算器、计算机作出正弦曲线.yxO1-124-234第4页，本讲稿共30页 用描点法用描点法(代数法代数法)作出正弦函数在作出正弦函数在0，2上的图象，上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象然后由周期性就可以得到整个图象.x02y=sinx010-10(1)列表列表(2)描点描点(3)连线连线-xy1-1O2(五点法五点法)由上图可以看出，函数由上图可以看出，函数y=sinx，x0，2的图象的图象上起着关键作用的点有以下五个上起着关键作用的点有以下五个:(0，0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(2，0)5第5页，本讲稿共30页 观察正弦和余弦曲线观察正弦和余弦曲线(如下图如下图)的形状
5、和位置的形状和位置,说出说出它们的异同点，它们的异同点，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它们的形状相同，且都夹在两条平行直线它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与与y=1之间之间.但它们的位置不同，正弦曲线交但它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，轴于原点，余弦曲线交余弦曲线交y轴于点轴于点(0，1).由由cox=sin(x+)，可知，可知y=cosx图象向左平移图象向左平移 个单个单位得到位得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线余弦函数的图象叫做余弦曲线.y=cosx图象的最高点图象的最高点(0，1)，与，与x轴的交点轴的交点(，0)，(，0),图象的最低点图象的最低点(，1
6、).6第6页，本讲稿共30页 事实上，描出五点后，函数事实上，描出五点后，函数y=sinx，x0，2的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常找出这五个关键点时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图将它们连结起来，就得到函数的简图，今后，我们今后，我们将经常使用这种将经常使用这种“五点五点(画图画图)法法”例例1 画出下列函数的简图：画出下列函数的简图：(1)y=1+sinx；(2)y=cosx x0，2 )-xy1-1O2-xy1-1O27第7页，本讲稿共30页x02x02 sin
7、2x010 10 例例2 用用“五点法五点法”画出下列函数的简图：画出下列函数的简图：y=sin2x x0，2 )描点画图，然后由周期性得整个图象描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示如图所示)yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx两图象有何关系？两图象有何关系？8第8页，本讲稿共30页练习练习1.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与象与正弦曲线正弦曲线的区别和联系的区别和联系:(1)y=sinx1 ；(2)y=2sinx.y=sinx1 y=sinxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的图象可由的图象可由正弦曲线正弦曲线向下平移
8、向下平移1个单位个单位.9第9页，本讲稿共30页y=sinxy=2sinxxyO2-21-2-1-322.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦正弦曲线曲线的区别和联系的区别和联系:(2)y=2sinx.y=2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标变纵坐标变为原来的为原来的2倍，横坐标不变倍，横坐标不变.10第10页，本讲稿共30页2.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与与余弦曲线余弦曲线的区别和联系的区别和联系:(1)y=1+cosx ；(2)y=cos(x+)
9、.y=1+cosx的图象可由的图象可由余弦曲线余弦曲线向上平移向上平移1个单位个单位.可由可由余弦曲线余弦曲线上每一点向左平移上每一点向左平移 个单位得到个单位得到.y=1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy=cos(x+)xyO2-2111第11页，本讲稿共30页周期性的有关概念：周期性的有关概念：那么函数那么函数f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数(periodic function)，非零，非零常数常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期(period).一般地对于函数一般地对于函数f(x)，如果存在如果存在一个非零常数一个非零常数T，使得定义域内的使得定义域内的每一个
10、每一个x值，都满足值，都满足f(x+T)=f(x)最小正周期：最小正周期：对一个周期函数对一个周期函数f(x)的所有周期中存在最的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期期.正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kz且且k0)都都是它们的周期，它们最小的正周期都是是它们的周期，它们最小的正周期都是2;正切函数也是正切函数也是周期函数，其周期函数，其最小的正最小的正周期是周期是.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质12第12页，本讲稿共30页说明说明:当当函数对于
11、函数对于自变量的一切值自变量的一切值每增加或减少一个每增加或减少一个定值定值，函数值就重复出现时函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函这个函数就叫做周期函数数.设设f(x)是定义在实数集是定义在实数集 D上的函数上的函数，若存在一个若存在一个 常数常数T(T0)，具有下列性质具有下列性质:(1)对于对于任何的任何的 xD，有有(xT)D；(2)对于对于任何的任何的 xD，有有f(x+T)=f(x)成立，则成立，则f(x)叫做周期函数叫做周期函数.若若函数函数f(x)不是当不是当x取定义域内的取定义域内的“每一个值每一个值”时时，都都有有f(x+T)=f(x)成立，则成立，则T就不是就不是f(
12、x)周期周期.今后本书所说的周期，如果不加特别说明，今后本书所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小的正周期一般都是指函数的最小的正周期.13第13页，本讲稿共30页要重视要重视“T0”且为常数这一条件，且为常数这一条件，若若T=0，则则f(x+T)=f(x)恒成立，函数值不变没有研究价恒成立，函数值不变没有研究价值；若值；若T为变数，则为变数，则失去了周期的失去了周期的意义意义.一般地，一般地，函数函数y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中其中A，为常数，且为常数，且A0，0)的周期的周期若若函数函数y=f(x)的周期为的周期为T，则，则y=Af(x+)的周期为的周期为
13、，(其中其中A，为常数为常数,且且A0，0)若在若在函数的定义域内至少能找到一个函数的定义域内至少能找到一个x，使，使f(x+T)=f(x)不成立，我们就断然函数不成立，我们就断然函数f(x)不是不是周期周期函数或函数或T不是函数不是函数f(x)的周期的周期.14第14页，本讲稿共30页y=sinx (xR)y=cosx (xR)定义域定义域值值 域域周期性周期性xR.y-1,1.T=2.我们得到正弦、余弦函数我们得到正弦、余弦函数定义域、值域、周期定义域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx15第15页，本讲稿共30页 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、
14、余弦函数的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)=sinx y=sinx是奇函数是奇函数cos(x)=cosx y=cosx是偶函数是偶函数定义域关于定义域关于 原点对称原点对称y=sinx16第16页，本讲稿共30页 正弦函数的单调性正弦函数的单调性？yxO1-124-23y=sinx(xR)x0sinx10101增区间为增区间为 ，其值从其值从1增至增至1.减区间为减区间为 ，其值从其值从1增至增至 1.17第17页，本讲稿共30页 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx10101？增区间为增区间为，
15、0 ，其值从其值从1增至增至1.减区间为减区间为0，其值从其值从1增至增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)18第18页，本讲稿共30页 正弦、余弦函数的对称轴、对称中心正弦、余弦函数的对称轴、对称中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx对称轴对称中心y=sinxy=cosx函数函数轴、中心轴、中心19第19页，本讲稿共30页x02cosx101012cosx20202(1)先用先用“五点法五点法”画一个周期的图象，画一个周期的图象，列表列表:例例1 用用“五点法五点法”画出下列函数的简图：画出下列函数的简图：(1)y=2cosx xR (2)
16、y=sin2x xR 描点画图，然后由周期性得整个图象描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示如图所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx两图象有何关系？两图象有何关系？20第20页，本讲稿共30页 例例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合：的集合：(1)y=cos ；解解 函数的函数的y=cos 的最大值为的最大值为1，因为使因为使cosz取得最大值的取得最大值的z的集合为的集合为:z|z=2k，kz，令令z=，由于由于 =2k，得得 x=6k.所以，使函数所以，使函数 y=cos 取得最大值时自变量取得最大值时自
17、变量x 的集的集 合为合为:z|z=6k，kz.练习练习 函数函数y=sinx 的值域是的值域是 ()A.1,1 B.，1 C.D.B21第21页，本讲稿共30页 解解 函数的函数的y=2sin2x 的最大值为的最大值为2(1)=3，因为使因为使sinz取得最小值的取得最小值的z的集合为的集合为:令令z=2x，由于由于2x=+2k，得得 所以，使函数所以，使函数y=2sin2x 取得最小值时自变量取得最小值时自变量x 的集合为的集合为:例例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合：的集合：(2)y=2sin2x.练习练习 求下列函数的最小值及
18、取得最小值时自变量求下列函数的最小值及取得最小值时自变量 x 的集合：的集合：(1)y=2sinx；(2)y=2cos22第22页，本讲稿共30页例例3不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0(1)sin()sin();(2)cos()cos()又又 y=sinx 在在 上是增函数，上是增函数，又又 y=cosx 在在0，上是减函数上是减函数解解(1)23第23页，本讲稿共30页(1)sin2500 sin2600;(2)cos cos练习练习1不不求值，分别比较下列各组中两个三角函求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小数值的大小:(1)sin2500
19、 与与 sin2600;(2)cos 与与 cos练习练习2 利用函数的性质利用函数的性质，比较下列各题中两个三，比较下列各题中两个三角函数值的大小角函数值的大小:(1)sin103045与与 sin sin164030;(2)sin5080与与 sin1440;(3)cos7600与与 cos(7700)；(4)cos 与与 cos .(4)cos cos(1)sin103045sin sin164030(2)sin5080cos(7700)24第24页，本讲稿共30页解解 (1)y=2sin(x)=2sinx，例例4 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(x)；(
20、2)y=sin(2x+)所以单调增区间为所以单调增区间为:函数在函数在 上单调递增上单调递增.函数在函数在 上单调递减，上单调递减，单调减区间为单调减区间为:25第25页，本讲稿共30页例例4 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：(2)y=sin(2x+)所以单调增区间为所以单调增区间为:单调减区间为单调减区间为:解解 (2)令令z=2x+，函数函数y=sinz的单调增区间为的单调增区间为:函数函数y=sinz的单调减区间为的单调减区间为:26第26页，本讲稿共30页 所以单调增区间为所以单调增区间为:(3)y=sin(x+)；解解 (3)令令z=x+，函数函数y=sinz的单调增区间
21、为的单调增区间为:函数函数y=sinz的单调减区间为的单调减区间为:所以单调减区间为所以单调减区间为:27第27页，本讲稿共30页1.了解正弦函数图象了解正弦函数图象(代数描点法、几何描点代数描点法、几何描点法法)、余弦函数图象、余弦函数图象(代数描点法、几何描点法、平代数描点法、几何描点法、平移变换法移变换法)的画法除了它们共同的代数描点法、几的画法除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外余弦数图象还可由平移变换法得出何描点法之外余弦数图象还可由平移变换法得出这节课讲授的这节课讲授的“五点法五点法”是比较常用的方法，应重是比较常用的方法，应重点掌握点掌握2.掌握正、余弦函数的性质：定义域、值
22、域、掌握正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，对称轴、对称中心，会周期性、奇偶性、单调性，对称轴、对称中心，会求最小正周期求最小正周期.回顾总结回顾总结求函数的单调区间：求函数的单调区间：直接利用相关性质；直接利用相关性质；复合函数的单调性；复合函数的单调性；利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间.28第28页，本讲稿共30页 3.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性函数 奇偶性单调性(单调区间)正弦函数余弦函数奇函数奇函数偶函数偶函数+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)对称轴对称中心y=sinxy=cosx函数函数轴、中心轴、中心29第29页，本讲稿共30页作作 业业:教材教材P45 习题习题1.3 第第 2 6题题30第30页，本讲稿共30页