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1、高数不定积分第1页，本讲稿共33页 本节要点 本节通过原函数引出了不定积分的概念本节通过原函数引出了不定积分的概念,并得到不定并得到不定一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分二、不定积分的计算二、不定积分的计算积分的简单性质积分的简单性质.第2页，本讲稿共33页一、一、原函数和不定积分的概念原函数和不定积分的概念 1.原函数原函数 在第二章中曾提出对已知 求 的求导问题求导问题,而现在的问题是而现在的问题是:的 这类问题就是求原函数问题.若若已知已知,求满足求满足第3页，本讲稿共33页即对任一 都有定义3.1 如果在区间 内的可导函数 的导函数为或则称函数 为 在区间 内的一个原函数.例如
2、函数 的一个原函数为又如又如,这是因为这是因为第4页，本讲稿共33页故,的原函数为 我们知道我们知道,对函数而言对函数而言,如果导函数存在的话如果导函数存在的话,导导函函数是唯一的数是唯一的,但某个函数的原函数是否唯一呢？为此但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,先引入先引入:第5页，本讲稿共33页间 内存在可导函数 使得对任一 都有即即连续函数一定存在原函数连续函数一定存在原函数.如果 是 的原函数,则 的原函数的原函数.其中 为任意常数;并且 的原函数一定可写成 的形式.原函数存在定理原函数存在定理如果函数 在区间内连续,则在区也是 第6页，本讲稿共33页 2.不定积分不定积分 由上面的讨论
3、由上面的讨论,可得到如下定义可得到如下定义:定义3.2 在区间 内,函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 内的不定积分,记作其中记号称为被积函数，称为积分号，称为被积表达式，称为积分变量第7页，本讲稿共33页 由此定义知,若 是 的一个原函数,则的不定积分为的不定积分为 可见可见,要计算函数的不定积分要计算函数的不定积分,只需找出它的一个原函只需找出它的一个原函数即可数即可.第8页，本讲稿共33页例例3.1 容易得到下面的不定积分容易得到下面的不定积分:第9页，本讲稿共33页 注1 在不定积分表达式中最后的常数 不能漏掉.注注2 如果不计任意常数，不定积分运算与求导运算如果不计任意常数，不
4、定积分运算与求导运算是互逆的因为，由定义可知是互逆的因为，由定义可知第10页，本讲稿共33页二、基本积分公式二、基本积分公式 由原函数的定义由原函数的定义,以及求导公式以及求导公式,可以得到下面这些可以得到下面这些基本积分公式基本积分公式.第11页，本讲稿共33页第12页，本讲稿共33页第13页，本讲稿共33页例例3.2 求求解解倒数关系倒数关系第14页，本讲稿共33页例例3.3 求求解解第15页，本讲稿共33页例例3.4 求求解解第16页，本讲稿共33页三、不定积分的性质和应用举例三、不定积分的性质和应用举例 由原函数与不定积分的定义不难得到如下不定积分的由原函数与不定积分的定义不难得到如下
5、不定积分的性质性质:第17页，本讲稿共33页 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数 的不定积分的和（差）的不定积分的和（差）,即即（3.1）第18页，本讲稿共33页性质性质2 求不定积分时求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子被积函数中不为零的常数因子可可以提到积分号外面来以提到积分号外面来,即即（3.2）第19页，本讲稿共33页例例3.5 求积分求积分解 先将 展开,然后再利用积分公式及运算法则则,得得第20页，本讲稿共33页例例3.6 求积分求积分解解第21页，本讲稿共33页例例3.7 求积分求积分解解第
6、22页，本讲稿共33页例例3.8 求积分求积分解解 将被积函数拆成两项的和将被积函数拆成两项的和,可得可得第23页，本讲稿共33页例例3.9 求积分求积分解解 分子部分减分子部分减1 1加加1 1后后,得得 第24页，本讲稿共33页例例3.10 求积分求积分解解 利用三角公式利用三角公式得得第25页，本讲稿共33页例例3.11 求积分求积分解解 利用半角公式利用半角公式得得第26页，本讲稿共33页例例3.12 求积分求积分解解 由三角公式由三角公式得得第27页，本讲稿共33页例例3.13 求积分求积分解解 由倍角公式由倍角公式得得第28页，本讲稿共33页例例3.14 设曲线通过点设曲线通过点(
7、1,2),且其上任一点处的切线斜且其上任一点处的切线斜解 设此曲线的方程为 由题设得关系即,是 的一个原函数,因 且曲率等于这点横坐标的两倍率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.线过(1,2),代入曲线方程得 故所求曲线的方程为第29页，本讲稿共33页 对本例说明:函数 的原函数的图形称为 积分曲线.当常数 取不同值时,曲线间是平行的.因而可通过某条积分曲线的平移得到所求曲线通过某条积分曲线的平移得到所求曲线.第30页，本讲稿共33页例3.15 以初速 将质点铅直上抛,不计阻力,求其运动规律规律.解 所谓运动规律,是指质点的位置关于时间 的函数关系关系,为此建立坐标系统如下为此建立坐标系统如下:把质点所在的铅直线取作把质点所在的铅直线取作 轴,方向向上,轴与地面的交点取作坐标原点.开始时刻为 此时质点所在的位置的坐标 为 在时刻 时质点的坐标为所求函数为所求函数为 设运动设运动 第31页，本讲稿共33页 由导数的物理意义知道由导数的物理意义知道而在时刻 时该质点的加速度为因此因此 由此得由此得由初始条件由初始条件:第32页，本讲稿共33页再由再由得得 再由假设条件再由假设条件:所以运动规所以运动规 律为律为:第33页，本讲稿共33页