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1、高阶微分方程的降阶和幂级数解法第1页，本讲稿共35页一、可降阶的一些方程类型一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:1 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是若能求得(4.58)的通解对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解即第2页，本讲稿共35页 解题步骤解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解第3页，本讲稿共35页解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例1第4页，本讲稿
2、共35页 2 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程,一般形式一般形式:因为第5页，本讲稿共35页用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一阶第6页，本讲稿共35页 解题步骤解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解第7页，本讲稿共35页解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为第8页，本讲稿共35页 3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶的非零解令则代入(4.69)得即第9页，本讲稿共35页引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则第10页，本
3、讲稿共35页因此(4.69)的通解为第11页，本讲稿共35页 解题步骤解题步骤:第一步:第二步:解之得即第12页，本讲稿共35页第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第13页，本讲稿共35页解这里由(4.70)得例3第14页，本讲稿共35页第15页，本讲稿共35页代入(4.2)得第16页，本讲稿共35页事实上第17页，本讲稿共35页若则即因此,对(4.67)仿以上做法,第18页，本讲稿共35页第19页，本讲稿共35页二、二阶线性方程的幂级数解法二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始
4、条件用级数表示解?第20页，本讲稿共35页定理10第21页，本讲稿共35页定理11第22页，本讲稿共35页例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得第23页，本讲稿共35页即因而也即第24页，本讲稿共35页故方程的解为第25页，本讲稿共35页例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且第26页，本讲稿共35页将(4.75)代入(4.74)中,得第27页，本讲稿共35页由(4.76)得即第28页，本讲稿共35页从而可得第29页，本讲稿共35页因此(4.77)变为第30页，本讲稿共35页若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.第31页，本讲稿共35页因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,(4.74)的通解为第32页，本讲稿共35页例6解代入方程得第33页，本讲稿共35页代回原来的变量得原方程的通解为第34页，本讲稿共35页作业vP165 2,5,vP165 8,10第35页，本讲稿共35页