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1、工程力学第二章平面力系第1页，本讲稿共111页1 几何法几何法（图解法）（图解法）2-1.1 2-1.1 平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡一一.两个汇交力的合成两个汇交力的合成(力三角形力三角形)第2页，本讲稿共111页力三角形规则力三角形规则二二.多个汇交力的合成多个汇交力的合成(力多变形力多变形)第3页，本讲稿共111页 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4
2、4E EA A （空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用（空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给给实际作图带来困难。）实际作图带来困难。）第4页，本讲稿共111页 用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：1 要选择恰当的要选择恰当的力的比例尺力的比例尺力的比例尺力的比例尺。按力的比例尺画出各力的大小，并准确地画出各。按力的比例尺画出各力的大小，并准确地画出各力的方向。
3、只有这样，才能从图上准确地表示出合力的大小和方向。力的方向。只有这样，才能从图上准确地表示出合力的大小和方向。2 作力多边形时，作力多边形时，可以任意变换力的次序可以任意变换力的次序可以任意变换力的次序可以任意变换力的次序，虽然得到形状不同的力多边形，虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结果并不改变。但合成的结果并不改变。3 力多边形中诸力应力多边形中诸力应首尾相连首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。个力的终点。F F1 1F F1 1F F2 2F Fn nF Fn nR R力多边形的封闭边力多边形的封闭边各力的汇交点各力的
4、汇交点F F1 1F F2 2F F2 2F F2 2R RR RR RR RF F1 1F F2 2F Fn nR R第5页，本讲稿共111页三三.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件平衡条件平衡条件力多边形自行封闭力多边形自行封闭第6页，本讲稿共111页（1 1）、共点力系的合成结果）、共点力系的合成结果 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。和等于零。共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力等于这些力的矢量
5、和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。多边形的封闭边表示。矢量的表达式矢量的表达式：R=F1+F2+F3+Fn（2 2）、共点力系平衡的充要几何条件：）、共点力系平衡的充要几何条件：三三.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件第7页，本讲稿共111页例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。Q600600CBAQ300300解：取力系的汇交点A为研究对象 作受力图A.QTB TC 按一定比例尺作出已知力Q的大小和方向 根据汇交力系平衡的几何条件,该三个力所构成的力三角形必自行封闭,故可在力Q的始端和末端画出TB和TC TB TC 按同样的比例即
6、可量得TB和TC的大小。第8页，本讲稿共111页 反之，当投影反之，当投影Fx、Fy 已知时，则可求出力已知时，则可求出力 F F 的大小和方向：的大小和方向：一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影(区别于分解区别于分解)结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。轴正向间夹角的余弦。y y bbaaa ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y2 2 解析法解析法解析法解析法 （坐标法）（坐标法）（坐标法）（坐标法）作用点为力的汇交点作用点为力的汇交点第9页，本讲稿共111页A AF F2 2F F1 1(a
7、)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。的投影的代数和。证明：证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。二二 合力投影定理：合力投影定理：第10页，本讲稿共111页合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)推广到任意多个力推广到任意多个力F1
8、、F2、Fn 组成的平面组成的平面共点力共点力系，可得：系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：第11页，本讲稿共111页 合力的大小合力的大小合力合力R R 的方向的方向根据合力投影定理得根据合力投影定理得第12页，本讲稿共111页三三 共点力系平衡的充要解析条件：共点力系平衡的充要解析条件：力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。影的代数和分别等于零。平面共点力系的平衡方程平面共点力系的平衡方程:第13页，本讲稿共111页投影法的符号法则：投影法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示
9、当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。的已知条件。2.2.建立坐标系。建立坐标系。3.3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程F Fx x=0 0，F Fy y=0 0，求解。求解。第14页，本讲稿共111页例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。1).取研究对象-力系的
10、汇交点AA.QTC 3).建立坐标系yx4).列出对应的平衡方程TB 600CBAQ3005).解方程解：2）作受力图第15页，本讲稿共111页2-1.22-1.2平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡3.3.力矩作用面（已知）力矩作用面（已知）力矩作用面（已知）力矩作用面（已知）1.1.大小：力大小：力大小：力大小：力F F与力臂的乘积与力臂的乘积与力臂的乘积与力臂的乘积2.2.方向：转动方向方向：转动方向方向：转动方向方向：转动方向三个要素：三个要素：三个要素：三个要素：1 1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算mo(F)=Fd矩心力臂逆正顺
11、负+一、平面力对点之矩（力矩）一、平面力对点之矩（力矩）二、力矩的性质二、力矩的性质 (P19)(P19)第16页，本讲稿共111页 平面汇交力系的合力对平平面汇交力系的合力对平平面汇交力系的合力对平平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对面内任一点的矩等于各分力对面内任一点的矩等于各分力对面内任一点的矩等于各分力对同一点的力矩的代数和同一点的力矩的代数和同一点的力矩的代数和同一点的力矩的代数和.mo(F1 1)=F 1sin1L=F 1yL=Y1Lmo(F2 2)=F 2sin2 L=F 2yL=Y2Lmo(F3 3)=F 3sin3 L=F 3yL=Y3Lyx.OAF3 R F2
12、F1 321L+)=(Y)Lmo(R)=RsinL=R yL结论:三、汇交力系的合力矩定理三、汇交力系的合力矩定理第17页，本讲稿共111页（补充）两平行力的合成BAF1 F2 F1 T2 T1 R1 F1 T1 T2 F2 .C R=F1+F2 R2 即内分反比定理。*一.同向两平行力的合成第18页，本讲稿共111页*二.不等两反向平行力的合成F2 F1 R2 R1 T2 T1 F1 F2 CBA.R=F2-F1 即外分反比定理。第19页，本讲稿共111页一.力偶和力偶矩1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶力偶，记作2 2 2 2 力偶及其性质力偶及其性质力偶及其
13、性质力偶及其性质、作用效果：引起物体的转动。、作用效果：引起物体的转动。、力和力偶是静力学的二基本要素。、力和力偶是静力学的二基本要素。第20页，本讲稿共111页力偶特性二：力偶特性二：力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。因而也只能与力偶平衡。力偶特性一：力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不力偶中的二个力，既不平衡，也不 可能合成为一个力。可能合成为一个力。第21页，本讲稿共111页两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.
14、力偶矩第22页，本讲稿共111页二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于力偶在任意坐标轴上的投影等于零零。第23页，本讲稿共111页2.力偶对作用面内任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而变.力矩的符号力偶矩的符号 M第24页，本讲稿共111页3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变.=第25页，本讲稿共111页=4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.第26页，本讲稿共111页1 1、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的 作作用效应。用效应。2
15、2、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用 由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时，只由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。综上所述，可以得出下列两个重要推论：综上所述，可以得出下列两个重要推论：第27页，本讲稿共111页 平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大小等平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶
16、矩的代数和。于各已知力偶矩的代数和。一、力偶系的合成与平衡一、力偶系的合成与平衡3.平面力偶系的合成与平衡条件F1 F1 F2 F2 F3 F3 F1 F1 F2 F2 F3 F3 第28页，本讲稿共111页F1 F1 F2 F2 F3 F3 RR 力偶系中各力偶矩的代数和等于零。力偶系中各力偶矩的代数和等于零。第29页，本讲稿共111页例题例题 图示的铰接四连杆机构图示的铰接四连杆机构OABDOABD，在杆，在杆OA OA 和和BD BD 上分别上分别作用着矩为作用着矩为 m1 1 和和 m2 2 的力偶，而使机构在图示位置处于平的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知衡。已知OA OA=r
17、 r，DB DB=2=2r r，=30=30，不计杆重，试求，不计杆重，试求 m1 1 和和 m2 2 间的关系。间的关系。D Dm2B BN ND DS SBABAO Om1N NO OS SABABA AO OB BD Dm1m2A A2-6 2-6 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡解：解：杆杆ABAB为二力杆。为二力杆。第30页，本讲稿共111页分别写出杆分别写出杆AO AO 和和BD BD 的平衡方程：的平衡方程：2-6 2-6 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡D Dm2B BN ND DS SBABAO Om1N NO OS SABABA A第31页，本讲稿共111页例2-2
18、已知：求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？2.2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？P=20kN，R=0.6m,h=0.08m:第32页，本讲稿共111页解：1.取碾子，画受力图.用几何法，按比例画封闭力四边形按比例量得 kN，kN第33页，本讲稿共111页或由图中解得=10kN,=11.34kN2.碾子拉过障碍物，用几何法应有解得解得 3.第34页，本讲稿共111页已知：已知：AC=CB，P=10kN,各杆自重不计；各杆自重不计；例例2-3求：求：CD杆及铰链杆及铰链A的受力。的受力。解：解：CD为二力杆，取为二力杆
19、，取AB杆，画受力图。杆，画受力图。用几何法，画封闭力三角形。用几何法，画封闭力三角形。或或按比例量得按比例量得 第35页，本讲稿共111页例例2-4 如图刹车系统如图刹车系统已知：已知：求：求：平衡时，平衡时，CD杆的拉力。杆的拉力。由力矩平衡条件由力矩平衡条件解：解：CD为二力杆，取踏板为二力杆，取踏板解得解得第36页，本讲稿共111页.力的平移定理力的平移定理 作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩.-.平面任意力系的简化平面任意力系的简化2-2平面任意力系平面任意力系第37页，本讲稿共111页 作用于刚体某平面上任一点
20、的力作用于刚体某平面上任一点的力,可平移到此平面上任意点而可平移到此平面上任意点而不改变对刚体的作用效应不改变对刚体的作用效应,但须增加一附加力偶但须增加一附加力偶,其力偶矩等于原其力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩来的力对新的作用点之矩.对作用于刚体上某一平面的力平移到该平面上的任意点，则附加力偶的力偶矩只需用代数量的力偶矩表示。在平面力系中，力的平移定理可叙述为：第38页，本讲稿共111页 2 2、几个性质：、几个性质：(1(1）、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附）、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O
21、O点的位置的不同点的位置的不同而不同。而不同。（2 2）、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平）、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。力大小相等的平行力。（3 3）、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解）、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。第39页，本讲稿共111页第40页，本讲稿共111页2.2.平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点的简化平面任意力系向一点简化的实质是将此力系用此点的平面
22、汇交力系和平面力偶系进行等效(1)主矢和主矩A1A2AnF1 F2 Fn 设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,Fn各力作用点分别为 A1,A2,An 如图所示.o 在平面上任选一点o为简化中心.主矢和主矩主矢和主矩第41页，本讲稿共111页根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1,F2,Fn以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,mn的附加平面力偶系.其中oF1F2Fnm1m2mnF1=F1,F2=F2,，Fn=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),mn=mo(Fn)第42页，本讲稿共111页将这两个力系分别进行合成 一般情况下平面汇交力系
23、 F1,F2,Fn 可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R称为原力系的主矢主矢.R=F1+F2+Fn=F1+F2+Fn R=Fi 附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩 Mo 称为原力系对于简化中心O的主矩主矩.Mo=m1+m2+.+mn =mo(F1)+mo(F2)+.+mo(Fn)Mo =mo(Fi)第43页，本讲稿共111页结论：结论：平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和.力系的主矢 R只是原力系中各力
24、的矢量和,所以主矢 R的大小和方向与简化中心的位置无关.力系对于简化中心的主矩Mo,一般与简化中心的位置有关.第44页，本讲稿共111页作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束-平面固定端约束（既能限制物体移动又能限制物体转动的约束）的反力。第45页，本讲稿共111页RMA YAMA XA简图：固定端约束反力有三个分量：两个正交分力，一个反力偶第46页，本讲稿共111页=第47页，本讲稿共111页平面任意力系简化的最后结果平面任意力系简化的最后结果（1）R 0,Mo =0 原力系简化为一个作用于简化 中心O的合力 R,且R=FiR=0,Mo 0 原力系简化为一个力偶.力偶矩
25、等于原力系对于简化中心的主矩Mo,即Mo =mo(Fi)a 力系简化为合力偶力系简化为合力偶b 力系简化为合力力系简化为合力(2)R 0,Mo 0 力系仍可简化为一个合力R,其 大小和方向均与R相同.而作用线位置与简化中 心点O的距离为:第48页，本讲稿共111页R=0,Mo =0 原力系为平衡力系.在此力系作用下的刚体处于平衡，且其简化结果与简化中心的位置无关.c 力系平衡力系平衡第49页，本讲稿共111页主矢主矢主矢主矢主矩主矩主矩主矩最后结果最后结果最后结果最后结果说明说明说明说明合力合力合力合力合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心合力作用线过简化
26、中心合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力偶合力偶合力偶合力偶平衡平衡平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理即：平面任意力系的合力对作用面内任一点的力矩等于力系中各分力对同即：平面任意力系的合力对作用面内任一点的力矩等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和一点的力矩的代数和第50页，本讲稿共111页平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程-.平面任意力系的平衡
27、条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即：因为有第51页，本讲稿共111页基本形式 一矩式二矩式 ABx轴三矩式 A、B、C不共线注意：不论采用注意：不论采用哪种形式的平衡哪种形式的平衡方程，其独立的方程，其独立的平衡方程的个数平衡方程的个数只有三个，对一只有三个，对一个物体来讲个物体来讲,只只能解三个未知量能解三个未知量,不得多列！不得多列！2.平面任意力系的平衡方程有三种形式，平面任意力系的平衡方程有三种形式，第52页，本讲稿共111页yoxFi iy轴0
28、=0平面平行力系的平衡方程为或 AB Fi i注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能解两个只能解两个未知量未知量,不得多列！不得多列！3 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程第53页，本讲稿共111页.静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念静定问题:未知数全部能够由平衡方程来求得的问题静不定问题:未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数,不能够 由平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称超静定超静定问题.-.静定和超静定概念静定和超静定概念物体系的平衡物体
29、系的平衡第54页，本讲稿共111页第55页，本讲稿共111页第56页，本讲稿共111页物体系的平衡 求解物体系平衡问题与求解单一物体平衡问题的步骤基本相同，即选择合适的研究对象，画出其分离体和受力图，然后列平衡方程求解。不同之处是，单一物体平衡问题研究对象的选择是唯一的，而物体系则不同。物体系平衡时，系中每一个物体都处于平衡，因此可以选择每个物体为研究对象，写出相应的平衡方程。此外，还可以选择物体系整体或部分为研究对象，并将其看作一个物体，写出相应的平衡方程。以物体系整体或部分为研究对象写出相应的平衡方程，与单个物体的平衡方程并不一定是相互独立的，它们之间可能存在线性变换关系。2.物体系的平衡
30、物体系的平衡物体系：若干物体用约束连接起来的系统第57页，本讲稿共111页F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060例题例题 在长方形平板的在长方形平板的O O、A A、B B、C C 点上分别作用着有四点上分别作用着有四个力：个力：F F1 1=1kN=1kN，F F2 2=2kN=2kN，F F3 3=F F4 4=3kN=3kN（如图），试求以上四（如图），试求以上四个力构成的力系对点个力构成的力系对点O O 的简化结果，以及该力系的最后的的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。合成结果。1 1、求向、求向O O
31、点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢R R：解：解：取坐标系取坐标系Oxy。第58页，本讲稿共111页R R O OA AB BC C x xy yF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060第59页，本讲稿共111页 求主矩求主矩：合成为一个合力合成为一个合力R R，R R的大小、方的大小、方向与向与R R相同。其作用线与相同。其作用线与O O点的点的垂直距离为：垂直距离为：R R/O OA AB BC C x xy yL Lo oR Rd dF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x
32、 xy y2m2m3m3m30306060（2）、求合成结果：）、求合成结果：第60页，本讲稿共111页MA BMqA例:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。MlqCBAl解：先以BC为研究对象，做受力图列平衡方程XB=0YB+NC-ql=0NCl-ql2/2=0XA-XB=0YA-YB=0MA+M-YBl=0联立求解即可。BCNC YB XB BAXB YB XA YA 再研究AB：（或整体ABC）请同学们研究整体ABC,与上述结果比较.第61页，本讲稿共111页解得解得解得解得 F F F FB BB B=45.77kN=45.77kN=45.77kN=45.77kN例例已知已知:F=
33、20kN,q=10kN/m,L=1m;求求:A,B处的约束力处的约束力.解解:取取CD梁梁,画受力图画受力图.第62页，本讲稿共111页解得解得解得解得解得解得解得解得解得解得解得解得取整体取整体,画受力图画受力图.第63页，本讲稿共111页解解解解:取整体取整体取整体取整体,画受力图。画受力图。画受力图。画受力图。解得解得解得解得各构件自重不计。各构件自重不计。已知已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,求求:A,E支座处约束力及支座处约束力及BD杆受力。杆受力。例例第64页，本讲稿共111页解得解得解得解得解得解得解得解得取取取取DCEDCEDCEDCE杆杆杆杆,画受力图画受
34、力图画受力图画受力图.解得解得解得解得(拉拉拉拉)第65页，本讲稿共111页解题须知:对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的那一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的那一部分，不应先整体研究。拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起
35、考虑。根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。取矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。第66页，本讲稿共111页基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接 而成的几何形状不变的结构.平面桁架:桁架中所有杆件的轴线都位于 同一平面内.节点:杆件与杆件的连接点.三根杆件用铰链连接成三角形是几何不变结构.-.4平面静定桁架的内力计算平面静定桁架的内力计算第67页，本讲稿共111页平面桁架的基本假设(b)节点都用光滑铰链连接.(a)各杆件都是直的,各杆件的自重不计.(c)荷载与支座
36、的约束反力都作用在节点上 且位于轴线的平面内.受力特点理想桁架：满足上述假设的桁架理想桁架：满足上述假设的桁架.结构特点因因此此构构成成桁桁架架的的各各杆杆均均为为二二力力杆杆因此构成桁架的各杆均为因此构成桁架的各杆均为二力杆二力杆第68页，本讲稿共111页简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的桁架.ABCDE第69页，本讲稿共111页简单平面桁架的构成简单平面桁架的构成 平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每增加一个节点增加平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每增加一个节点增加两个杆件，从而得到几何形状不变的结构两个杆件，从而得到几何形状不变的结构
37、简单平面桁架。简单平面桁架。将构件数与节点数分别记为将构件数与节点数分别记为 n 与与 m，根据上述的规则，它们有如下的关系，根据上述的规则，它们有如下的关系 对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力系，存在两个平衡对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力系，存在两个平衡方程。因此，共有独立的平衡方程方程。因此，共有独立的平衡方程 2m 个。由上式可知，它可以求解个。由上式可知，它可以求解 n+3 个未知个未知数。数。如果支承桁架的约束力的个数为如果支承桁架的约束力的个数为 3，平面桁架的，平面桁架的 n 个杆件内力可解，故简单平面桁个杆件内力可解，故简单平面桁架问题是静定的。
38、显然，如果在简单平面桁架上再增加杆件或支承约束力超过架问题是静定的。显然，如果在简单平面桁架上再增加杆件或支承约束力超过 3，则使该静，则使该静力学问题由静定变为静不定。力学问题由静定变为静不定。第70页，本讲稿共111页桁架的内力计算桁架的内力计算 桁架都是二力杆，其内力一定沿桁架都是二力杆，其内力一定沿杆的轴线方向，因此，内力为拉力杆的轴线方向，因此，内力为拉力或压力。或压力。统一设拉为正、压为负。统一设拉为正、压为负。#内力计算的节点法：内力计算的节点法：利用各个节点的平衡利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。方程计算杆的内力。#内力计算的截面法：内力计算的截面法：将桁架部分杆切断，将桁架
39、部分杆切断，利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力。利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力。第71页，本讲稿共111页一.节点法 以桁架的节点法为研究对象，通过平衡条件，求出由该节点连接的杆件的内力的方法。步骤：1.求桁架外约束力2.求杆件内力3.校核第72页，本讲稿共111页例.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每根杆件的内力.5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG44=16m23=6m第73页，本讲稿共111页解：取整体为研究对象画受力图.RARH5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG44=16m23=6m第74页，本讲稿共111页mA(Fi)=0-10(
40、4+8+12)-516+16RH=0RH=20 kNRA=20 kN取节点A为研究对象画受力图.5kNA20 kNSACSAB sin=0.6cos=0.8Yi=020-5+0.6 SAC=0SAC=-25 kNXi=0(-25)0.8+SAB=0SAB=20 kN取节点B为研究对象画受力图.Xi=0SBA-20=0 SBA=20 kN20 kNSBABCYi=0SBC=0 kN第75页，本讲稿共111页联立(1)(2)两式得:SCD=-22 kNSCE=-3 kN10kND-22kN-22kNSDEYi=0根据对称性得:SDG=-22 kNSGE=-3 kNSGH=-25 kN0.8-(-2
41、2)-(-22)-10-SDE=0SDE=25.2 kN10kNCSCD-25kNSCE取节点C为研究对象画受力图.Xi=00.8SCD+SCE-(-25)=0 (1)Yi=00.6SCD-SCE-(-25)-10=0 (2)取节点D为研究对象画受力图.SBC第76页，本讲稿共111页零力杆问题的讨论零力杆问题的讨论 桁架中桁架中内力为零内力为零的杆件称为的杆件称为零力杆零力杆。如上。如上例的杆例的杆BC和和FG。零杆的判断对桁架内力的计算具。零杆的判断对桁架内力的计算具有积极的意义。利用节点法不难得到判断零杆的有积极的意义。利用节点法不难得到判断零杆的结论结论：一节点上有三根杆件，如果节点上
42、无外力的作用，其中两根共线，则另一杆为零力杆一节点上有三根杆件，如果节点上无外力的作用，其中两根共线，则另一杆为零力杆(见图见图 a)；一节点上只有两根不共线杆件，如果节点上无外力的作用，则两杆件均为零力杆一节点上只有两根不共线杆件，如果节点上无外力的作用，则两杆件均为零力杆(见图见图 b)；一节点上只有两根不共线杆件，如果作用在节点上的外力沿其中一杆，则另一杆为零一节点上只有两根不共线杆件，如果作用在节点上的外力沿其中一杆，则另一杆为零力杆力杆(见图见图 c)。第77页，本讲稿共111页二.截面法 假想用一截面把桁架切开，分成两部分，其中任一部分在外约束力，外载荷和被切开杆件内力的作用下都保
43、持平衡，因此可以应用平面任意力系的平衡方程求出被切开杆件内力的方法。步骤1.求外约束力（选整体为研究对象）2.求杆件内力（选整体为研究对象）第78页，本讲稿共111页 由于平面任意力系最多有三个独立的平衡方程，所选断的杆件的数目一般不应超过三根.第79页，本讲稿共111页例.图示为某铁路桥中的一跨,设机车的一段进入桥梁时,桥梁所受的荷载是P=300kN,Q=800kN,Q1=550kN.试用截面法求杆件DF,DG和EG的内力.PPPPPQ1QQQABCDEFGH105.5=55m7m第80页，本讲稿共111页解：取整体为研究对象画受力图.mH(Fi)=0RA-55RA+(49.5+44+38.
44、5+33+27.5)P+22Q1+(16.5+11+5.5)Q=0RA=1750 kNPPPPPQ1QQQABCDEFGH105.5=55m7mRH第81页，本讲稿共111页取mm截面把桁架分为两部分.PPPPPQ1QQQABCDEFGH105.5=55m7mRARHmm第82页，本讲稿共111页取左部分为研究对象画受力图.SDFPPABCDERAGSDGSEGmG(Fi)=0(5.5+11)P-16.5 RA-7 SDF=0SDF=3275 kNYi=0SDG=-1462.5 kNmD(Fi)=0-11RA+5.5P+7SEG=0SEG=2514 kN第83页，本讲稿共111页 摩擦是机械运
45、动中一种普遍的现象.摩擦现象广泛地存在于日常生活中.滑动摩擦力滑动摩擦力:两个相互接触的物体由于具有相对两个相互接触的物体由于具有相对滑动或具有相对滑动趋势时而在接触面产生的阻碍滑动或具有相对滑动趋势时而在接触面产生的阻碍彼此运动的阻力彼此运动的阻力.动滑动摩擦力动滑动摩擦力-具有相对滑动时的滑动摩擦力具有相对滑动时的滑动摩擦力.静滑动摩擦力静滑动摩擦力-具有相对滑动趋势时的滑动摩擦力具有相对滑动趋势时的滑动摩擦力.一 滑动摩擦2-考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题第84页，本讲稿共111页(1)静滑动摩擦力APQ 重量为重量为P的物体放在粗糙的的物体放在粗糙的固定水平面上固定水平面上,
46、受到一个水平拉力受到一个水平拉力Q的作用的作用APQNF当时 Xi=0Q-F=0F=Q第85页，本讲稿共111页 静静摩擦摩擦力的大小由平衡条件确定力的大小由平衡条件确定,并随主动力的变化而变并随主动力的变化而变化化,方向与物体相对滑动趋势的方向相反方向与物体相对滑动趋势的方向相反.(2)静滑动摩擦定律 当力当力Q增加到某个数值增加到某个数值QK时时,物体处于将动未动的物体处于将动未动的临界状态临界状态.此时静摩擦力达到最大值此时静摩擦力达到最大值Fm,我们称这个我们称这个最大值最大值Fm为为最大静摩擦力最大静摩擦力.Fm=fs FNfs-静摩擦系数(3)动滑动摩擦定律动滑动摩擦力（动摩擦力）
47、F：物体间具有相对滑动时，接触面间的滑动摩擦力。第86页，本讲稿共111页F=f FNf-动摩擦系数第87页，本讲稿共111页二 摩擦角与自锁现象PQNFRPQKNFmRm 法向反力法向反力N和静摩擦和静摩擦力力F的合力的合力R称为支承称为支承面对物体作用的面对物体作用的全约束全约束反力反力.摩擦角摩擦角是静摩擦力是静摩擦力达到最大值时达到最大值时,全反力全反力与支承面法线的夹角与支承面法线的夹角.f第88页，本讲稿共111页如果改变水平力QK的作用线方向,则Fm及Rm的方向也将随之作相应的改变;若QK在水平面转过一圈,则全反力Rm的作用线将在空间画出一个锥面,称为摩擦锥.全反力与接触面法线所
48、形成的夹角不会大于m,即R作用线不可能超出摩擦锥.O第89页，本讲稿共111页 如果物体所受的主如果物体所受的主动力合力动力合力 S 的作用线的作用线在摩擦锥之外在摩擦锥之外,即即 m时时,则全反力则全反力R就不就不可能与可能与S共线共线.此时两此时两力不符合二力平衡条力不符合二力平衡条件件,物体将发生滑动物体将发生滑动.mRS第90页，本讲稿共111页如果如果物体所受的主动力合力 S 的作用线在摩擦锥之内,即 m时,则无论主动力多大,它总是与R相平衡,因而物体将保持不动.m 主动力合力的作用线在摩擦主动力合力的作用线在摩擦锥的范围内锥的范围内,物体依靠摩擦总能物体依靠摩擦总能静止而与主动力大
49、小无关的现静止而与主动力大小无关的现象象,称为称为自锁自锁.SR自锁条件：自锁条件：Wb/2a,即 f b/2a,则方块 先翻倒.(2)如果 f W Wb/2a,即 f b/2a,则方块 先滑动.(3)如果 f W=Wb/2a,即 f=b/2a,则滑动 将同时发生.第100页，本讲稿共111页假定：方块先滑动画受力图.NYi=0N-W=0Xi=0P-Fm=0即 P=f N=f WmC(Fi)=0Nd-Pa=0d=f aWPabAFmdC第101页，本讲稿共111页讨论:比较 d 与它的极值(b/2)可知(1)当d b/2,即 f b/2,即 f b/2a时,方块先翻倒.(3)当d=b/2,即
50、f=b/2a时,滑动与翻倒 同时发生.第102页，本讲稿共111页三 滚动摩擦(1)滚阻力偶和滚阻力偶矩QPcrA设一半径为r的滚子静止地放在水平面上,滚子重为P.在滚子的中心作用一较小的水平力Q.取滚子为研究对象画受力图.Xi=0 Q-F=0Yi=0 N-P=0mA(Fi)=0 m-Qr=0m=Q rNmNF(a)(b)第103页，本讲稿共111页(2)产生滚阻力偶的原因AoQPNFRAoQPB 滚子与支承面实际上不是刚体,在压力作用下它们都会发生微小变形.设反作用力的合力为R并作用于B点,滚子在力P,Q与R作用下处于平衡状态.将力 R 沿水平与竖直两个方向分解,则水平分力即为摩擦力F.由于