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1、高等数学概率 大数定律第1页，本讲稿共18页 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象应该研究大量随机现象.第2页，本讲稿共18页 与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律 研究大量的随机现象时，随机试验的次研究大量的随机现象时，随机试验的次数数 n 要足够大，因
2、此常常采用极限形式要足够大，因此常常采用极限形式 ，由此导致对极限定理进行研究，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种两种:第3页，本讲稿共18页第五章第二节 大数定律第4页，本讲稿共18页一、切贝谢夫不等式一、切贝谢夫不等式 设随机变量设随机变量 有期望值有期望值 和方差和方差 ，则任给则任给 ，有，有或或证明：如果证明：如果 是连续型是连续型r.v.，其概率密度为，其概率密度为 ，则，则第5页，本讲稿共18页切贝谢夫不等式的意义：切贝谢夫不等式的意义：给出了给出了r.v.的分布未知时，事件的分布未知时，事件“”的概率的一个估
3、计。的概率的一个估计。切贝谢夫不等式的适用范围：切贝谢夫不等式的适用范围：（1）期望）期望 和方差和方差 已知（或易求得）；已知（或易求得）；（2）估计）估计 落入落入 内的概率。内的概率。第6页，本讲稿共18页例例1、已知正常男性成人的血液中，每毫升已知正常男性成人的血液中，每毫升的白细胞数平均为的白细胞数平均为7300，均方差为，均方差为700，试估，试估计每毫升血液中白细胞数在计每毫升血液中白细胞数在52009400之间的之间的概率。概率。解：解：设正常男性成人每毫升血液中白细胞设正常男性成人每毫升血液中白细胞数为数为 ，则，则第7页，本讲稿共18页 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量
4、的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币 正面出现频率正面出现频率 字母使用频率字母使用频率 生产过程中的生产过程中的 废品率废品率 第8页，本讲稿共18页二、大数定律二、大数定律1、依概率收敛：、依概率收敛：若存在常数若存在常数a，使对于任何，使对于任何 ，有，有 则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于a。第9页，本讲稿共18页切贝谢夫切贝谢夫 2、切贝谢夫定律：、切贝谢夫定律：设设 是相互是相互独立的随机变量序列，各有数学期望独立的随机变量序列，各有数学期望 及方差及方差 并且对于所有并且对于所有 i=1,2,都有都有
5、，其中，其中 l 是与是与 i 无无关的常数，则任给关的常数，则任给 ，有，有证明：证明：因为因为 相互独立，所以相互独立，所以第10页，本讲稿共18页由夹逼定理即得由夹逼定理即得根据切贝谢夫不等式，对于任意根据切贝谢夫不等式，对于任意 ，有，有即即第11页，本讲稿共18页切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列序列 ，如果，如果方差有共同的上界方差有共同的上界，则，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1.随机的了，取值接近于其数学期望的
6、概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是第12页，本讲稿共18页贝努里贝努里 引入引入i=1,2,n 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理下面的定理.设设 是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，则则 是事件是事件A发生的频率发生的频率第13页，本讲稿共18页 于是有下面的定理：于是有下面的定理：3、贝努里大数定律、贝努里大数定律或或贝努里贝努里 设设 是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，
7、次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，第14页，本讲稿共18页 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法概率的方法.任给任给0，贝努里大数定律表明，贝努里大数定律表明，当重复试验次数当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率 与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小.第15页，本讲稿共18页下面给出的下面给出的独立同分布下独立同分布下的大数定律，的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在.4、辛钦大数定律、辛钦大数定律辛钦辛钦 设随机变量序列设随
8、机变量序列 独立同分独立同分布，具有有限的数学期望布，具有有限的数学期望 ,i=1,2,，则对任给则对任给 0，辛辛钦大数定律使算术平均值的法则有了理论大数定律使算术平均值的法则有了理论根据根据.第16页，本讲稿共18页 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如些有代表性的地块，例如n 块块.计算其平均计算其平均亩产量，则当亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计平均亩产量的一个估计.第17页，本讲稿共18页这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性第18页，本讲稿共18页