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1、高中数学映射与函数第1页，本讲稿共44页 （2 2）象和原象：给定一个集合）象和原象：给定一个集合A A到集合到集合B B的映射，的映射，且且a aA A，b bB B，如果元素，如果元素a a和元素和元素b b对应，那么，对应，那么，我们把元素我们把元素b b叫做元素叫做元素a a的的 ，元素，元素a a叫做元素叫做元素 b b的的 .2.2.函数函数 （1 1）函数的定义）函数的定义 设设A A，B B是非空的数集，如果按某个确定的对应关是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的 ，在集合，在集合B B中中 都有都有 ，称，称f f：A AB B
2、为为 从集合从集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数.记作记作y y=f f(x x),),x xA A.x x 的取值范围的取值范围A A叫做函数的叫做函数的 ，叫做函数的值域叫做函数的值域.象象原象原象任意一个数任意一个数x x唯一确定的数唯一确定的数f f(x x)和它对应和它对应定义域定义域函数值的集合函数值的集合 f f(x x)|)|x xA A 第2页，本讲稿共44页 （2 2）函数的三要素）函数的三要素 、和和 .（3 3）函数的表示法）函数的表示法 表示函数的常用方法：表示函数的常用方法：、.3.3.反函数反函数 （1 1）定义）定义 函数函数y y=f f(x x
3、)（x xA A）中，设它的值域为）中，设它的值域为C C，根据这，根据这 个函数中个函数中x x，y y的关系，用的关系，用y y把把x x表示出来，得到表示出来，得到x x=(y y).).如果对于如果对于y y在在C C中的中的 ，通过，通过x x=(y y)，x x在在A A中都有中都有 和它对应，那么和它对应，那么,x x=(y y)就表示就表示y y是自变量，是自变量，x x是自变量是自变量y y的函数，这的函数，这定义域定义域值域值域对应法则对应法则解析法解析法列表法列表法图象法图象法任何一个值任何一个值唯一的值唯一的值第3页，本讲稿共44页样的函数样的函数x x=(y y)()
4、(y yC C)叫做函数叫做函数y y=f f(x x)()(x xA A)的的 ，记作，记作 ，习惯上用，习惯上用x x表示自变量，用表示自变量，用y y表示函数，把它改写成表示函数，把它改写成 .（2 2）互为反函数的函数图象的关系）互为反函数的函数图象的关系函数函数y y=f f(x x)的图象和它的反函数的图象和它的反函数y=fy=f-1-1(x x)的图象关于的图象关于直线直线 对称对称.反反函数函数x x=f f-1-1(y y)y y=f f-1-1(x x)y y=x x第4页，本讲稿共44页基础自测基础自测1.1.设集合设集合MM=x x|0|0 x x22，N N=y y|
5、0|0y y22，那么下面，那么下面 的的4 4个图形中，能表示集合个图形中，能表示集合MM到集合到集合N N的函数关系的的函数关系的 有有（）A.B.A.B.C.C.D.D.解析解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个象，并且一个x x对应着一个对应着一个y y，据此排除，据此排除，选，选C.C.D D第5页，本讲稿共44页2.2.给出四个命题：给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；函数是其定义域到值域的映射；f f（x x）=是函数；是函数；函数函数y y=2=2x x（x xN N）的图象是一条直线；）的图象是一条直线；f f（x
6、 x）=与与g g(x x)=)=x x是同一个函数是同一个函数.其中正确的有其中正确的有（）A.1A.1个个 B.2 B.2个个 C.3 C.3个个 D.4 D.4个个解析解析 由函数的定义知由函数的定义知正确正确.满足满足f f（x x）=的的x x不存在，不存在，不正确不正确.又又y y=2=2x x（x xN N)的图象是一条直线上的一群孤立的的图象是一条直线上的一群孤立的 点，点，不正确不正确.又又f f（x x）与）与g g（x x）的定义域不同，）的定义域不同，也不正确也不正确.A A第6页，本讲稿共44页3.下列各组函数是同一函数的是 （）第7页，本讲稿共44页解析解析 排除排
7、除A A；排除排除B B；当当 即即x x11时时,y y=|=|x x|+|+|x x-1|=2-1|=2x x-1,-1,排除排除C C.故选故选D D.答案答案 D D 第8页，本讲稿共44页4.4.函数函数f f(x x)=3)=3x x+5,+5,x x0,10,1的反函数的反函数f f-1-1(x x)=)=.解析解析 y y=3=3x x+5,+5,又又00 x x1,51,5y y8,8,f f(x x)的反函数为的反函数为y y第9页，本讲稿共44页5.5.已知已知f f（）=x x2 2+5+5x x,则则f f(x x)=)=.解析解析第10页，本讲稿共44页题型一题型一
8、 求函数的解析式求函数的解析式【例例1 1】（1 1）设二次函数）设二次函数f f(x x)满足满足f f(x x-2)=-2)=f f(-(-x x-2)-2)，且图象在且图象在y y轴上的截距为轴上的截距为1 1，被，被x x轴截得的线段长为轴截得的线段长为 ，求，求f f(x x)的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知f f(x x)满足满足2 2f f(x x)+=3)+=3x x,求求f f(x x).).问题（问题（1 1）由题设）由题设f f（x x）为二次函数，）为二次函数，故可先设出故可先设出f f（x x）的表达式，用待定系数法求解；）的表达式，用待定
9、系数法求解；问题（问题（2 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（可用换元法；问题（3 3）已知条件中含）已知条件中含x x，可用，可用 解方程组法求解解方程组法求解.题型分类 深度剖析思维启迪第11页，本讲稿共44页解解 （1 1）f f（x x）为二次函数，）为二次函数，设设f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c(a a0)0)，且，且f f(x x)=0)=0的两根为的两根为x x1 1,x x2 2.由由f f(x x-2)=-2)=f f（-x x-2-2），得），得4 4a a-b b=0.=0.由已知得由已知
10、得c c=1.=1.由由、式解得式解得b b=2,=2,a a=,=,c c=1,=1,f f（x x）=x x2 2+2+2x x+1.+1.第12页，本讲稿共44页第13页，本讲稿共44页第14页，本讲稿共44页探究提高探究提高 求函数解析式的常用方法有：求函数解析式的常用方法有：(1)(1)代入代入法，用法，用g g(x x)代入代入f f(x x)中的中的x x,即得到即得到f fg g(x x)的解析的解析式；式；(2)(2)拼凑法，对拼凑法，对f fg g(x x)的解析式进行拼凑变的解析式进行拼凑变形，使它能用形，使它能用g g(x x)表示出来，再用表示出来，再用x x代替两边
11、的所有代替两边的所有“g g(x x)”即可；即可；(3)(3)换元法，设换元法，设t t=g g(x x),),解出解出x x,代入代入 f fg g(x x)，得，得f f(t t)的解析式即可；的解析式即可；(4)(4)待定系数法，待定系数法，若已知若已知f f(x x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；据特殊值，确定相关的系数即可；(5)(5)赋值法，给变赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.第15页，本讲稿共44页知能迁移1（1）已知f(+1)=lg x，求f（x）；(2)
12、已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解解 (1)(1)（2 2）设）设f f（x x）=axax+b b（a a00），则，则3 3f f（x x+1+1）-2-2f f（x x-1-1）=3=3axax+3+3a a+3+3b b-2-2axax+2+2a a-2-2b b=axax+b b+5+5a a=2=2x x+17+17，a a=2=2，b b=7=7，故，故f f（x x）=2=2x x+7.+7.第16页，本讲稿共44页题型二题型二 分段函数分段函数【例例2 2】设函数】设函数f f(x x)=)=若若f f(-4)=(-4)=
13、f f(0),(0),f f(-2)=-2,(-2)=-2,则关于则关于x x的方程的方程f f(x x)=)=x x解的个数为解的个数为（）A.1 B.2A.1 B.2C.3C.3D.4D.4 求方程求方程f f(x x)=)=x x的解的个数，先用待定系的解的个数，先用待定系数法求数法求f f（x x）的解析式，再用数形结合或解方程）的解析式，再用数形结合或解方程.思维启迪第17页，本讲稿共44页解析解析 由由f f(-4)=(-4)=f f(0),(0),得得b b=4,=4,再由再由f f(-2)=-2,(-2)=-2,得得c c=2,=2,x x00时，显然时，显然x x=2=2是方
14、程是方程f f(x x)=)=x x的解；的解；x x00时，方程时，方程f f（x x）=x x即为即为x x2 2+4+4x x+2=+2=x x，解得，解得x x=-1=-1或或x x=-2.=-2.综上，方综上，方程程f f（x x）=x x解的个数为解的个数为3.3.答案答案 C C 分段函数是一类重要的函数模型分段函数是一类重要的函数模型.解决分解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题.如本例，需分如本例，需分x x00时，时，f f（x x）=x x的解的个数和的解的个数和x x00时，时，f f（x x）=x x的解的个数的
15、解的个数.探究提高探究提高第18页，本讲稿共44页知能迁移知能迁移2 2 （20092009山东理，山东理，1010）定义在定义在R R上的函数上的函数f f(x x)满足满足则则f f(2 009)(2 009)的值为的值为（）A.-1 B.0A.-1 B.0 C.1 C.1D.2D.2 解析解析 当当x x0 0时，时，f f(x x)=)=f f(x x-1)-1)-f f(x x-2),-2),f f(x x+1)=+1)=f f(x x)-)-f f(x x-1).-1).f f(x x+1)=-+1)=-f f(x x-2)-2)，即，即f f(x x+3)=-+3)=-f f(x
16、 x)f f(x x+6)=+6)=f f(x x).).即当即当x x0 0时，函数时，函数f f(x x)的周期是的周期是6.6.又又f f(2 009)=(2 009)=f f(3346+5)=(3346+5)=f f(5),(5),由已知得由已知得f f(-1)=(-1)=loglog2 2 2=1 2=1，f f(0)=0,(0)=0,f f(1)=(1)=f f(0)-(0)-f f(-1)=-1,(-1)=-1,f f(2)=(2)=f f(1)-(1)-f f(0)=-1,(0)=-1,f f(3)=(3)=f f(2)-(2)-f f(1)=-1-(1)=-1-(-1)=0,
17、(-1)=0,f f(4)=(4)=f f(3)-(3)-f f(2)=0-(-1)=1,(2)=0-(-1)=1,f f(5)=(5)=f f(4)-(4)-f f(3)=1.(3)=1.C C第19页，本讲稿共44页题型三题型三 函数的实际应用函数的实际应用【例例3 3】（1212分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为车的投入成本为1 1万元万元/辆，出厂价为辆，出厂价为1.21.2万元万元/辆，年辆，年 销售量为销售量为1 0001 000辆辆.本年度为适应市场需求，计划提高本年度为适应市场需求，计划提高 产品档次，适度增加投入成本产品档
18、次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增若每辆车投入成本增 加的比例为加的比例为x x(0(0 x x1)1)，则出厂价相应提高的比例为，则出厂价相应提高的比例为 0.75 0.75x x,同时预计年销售量增加的比例为同时预计年销售量增加的比例为0.60.6x x.已知年已知年 利润利润=(=(出厂价出厂价-投入成本投入成本)年销售量年销售量.（1 1）写出本年度预计的年利润）写出本年度预计的年利润y y与投入成本增加的比例与投入成本增加的比例 x x的关系式；的关系式；第20页，本讲稿共44页（2 2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比
19、例增加的比例x x应在什么范围内？应在什么范围内？准确理解题意，构建函数模型准确理解题意，构建函数模型.解题示范解题示范解解 （1 1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+1+x x(万元万元)，而出厂价为，而出厂价为1.2(1+0.751.2(1+0.75x x)()(万元万元)，销售量为销售量为1 000(1+0.61 000(1+0.6x x)()(辆辆).).故利润故利润y y=1.2(1+0.751.2(1+0.75x x)-(1+)-(1+x x)1 0001 000(1+0.6(1+0.6x x),),4 4分分整理得整理得y y=-60=-60
20、 x x2 2+20+20 x x+200(0+200(0 x x1).0,-(1.2-1)1 0000,8 8分分即即-60-60 x x2 2+20+20 x x+200-2000,+200-2000,即即3 3x x2 2-x x0.0.1010分分解得解得00 x x ,适合适合00 x x1.1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例的比例x x的取值范围是的取值范围是00 x x .0,0,且且a a1)1)的反函数，且的反函数，且f f(2)=1,(2)=1,则则 f f(x x)=)=（）A.A.B.2B.2x x-2
21、-2 C.D.log C.D.log2 2x x 解析解析 函数函数y y=a ax x(a a0,0,且且a a1)1)的反函数是的反函数是 f(x f(x)=log)=loga ax x,又又f f(2)=1,(2)=1,即即logloga a2=12=1，所以，所以a a=2,=2,故故f f(x x)=log)=log2 2x x.D D第32页，本讲稿共44页4.4.（20082008山东）山东）设函数设函数 的值为的值为（）解析解析A A第33页，本讲稿共44页5.5.（20082008陕西）陕西）定义在定义在R R上的函数上的函数f f(x x)满足满足f f(x x+y y)=
22、)=f f(x x)+)+f f(y y)+2)+2xyxy(x x,y yR R),),f f(1)=2,(1)=2,则则f f(-3)(-3)等于（等于（）A.2A.2 B.3 B.3C.6C.6D.9D.9 解析解析 f f(1)=(1)=f f(0+1)=(0+1)=f f(0)+(0)+f f(1)+201(1)+201=f f(0)+(0)+f f(1),(1),f f(0)=0.(0)=0.f f(0)=(0)=f f(-1+1)=(-1+1)=f f(-1)+(-1)+f f(1)+2(-1)1(1)+2(-1)1=f f(-1)+(-1)+f f(1)-2,(1)-2,f f
23、(-1)=0.(-1)=0.f f(-1)=(-1)=f f(-2+1)=(-2+1)=f f(-2)+(-2)+f f(1)+2(-2)1(1)+2(-2)1=f f(-2)+(-2)+f f(1)-4,(1)-4,f f(-2)=2.(-2)=2.f f(-2)=(-2)=f f(-3+1)=(-3+1)=f f(-3)+(-3)+f f(1)+2(-3)1(1)+2(-3)1=f f(-3)+(-3)+f f(1)-6,(1)-6,f f(-3)=6.(-3)=6.C C第34页，本讲稿共44页6.6.函数函数f f(x x)=)=x x2 2-2-2axax-3-3在区间在区间1,21
24、,2上存在反函数的上存在反函数的 充要条件是（充要条件是（）A.A.a a(-,1(-,1 B.B.a a2,+)2,+)C.C.a a1,21,2 D.D.a a(-,1(-,12,+)2,+)解析解析 由二次函数的对称轴为由二次函数的对称轴为x x=a a可得答案可得答案.D D第35页，本讲稿共44页二、填空题二、填空题7.7.某出租车公司规定某出租车公司规定“打的打的”收费标准如下：收费标准如下：3 3千米千米 以内为起步价以内为起步价8 8元（即行程不超过元（即行程不超过3 3千米，一律收费千米，一律收费8 8元），若超过元），若超过3 3千米除起步价外，超过部分再按千米除起步价外，
25、超过部分再按1.51.5元元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为里程数为7.47.4，则乘客应付的车费是，则乘客应付的车费是 元元.解析解析 车费为车费为8+8+（7.4-37.4-3）1.5=14.6151.5=14.615（元）（元）.1515第36页，本讲稿共44页8.8.（20092009北京文，北京文，1212）已知函数已知函数若若f f(x x)=2,)=2,则则x x=.解析解析 当当x x11时，时，3 3x x=2,=2,x x=log=log3
26、32;2;当当x x11时，时，-x x=2,=2,x x=-2(=-2(舍去舍去).).loglog3 32 2第37页，本讲稿共44页9.9.已知符号函数已知符号函数sgn sgn x=x=解析解析(x+1)sgn x2的解集是.x x|x x-311则不等式第38页，本讲稿共44页三、解答题三、解答题10.10.已知函数已知函数f f(x x)和和g g(x x)的图象关于原点对称，且的图象关于原点对称，且 f f(x x)=)=x x2 2+2+2x x.（1 1）求）求g g(x x)的解析式；的解析式；（2 2）解不等式）解不等式g g(x x)f f(x x)-|)-|x x-1
27、|.-1|.解解 （1 1）设函数）设函数y y=f f(x x)的图象上任一点的图象上任一点Q Q(x x0 0，y y0 0)关于原点的对称点为关于原点的对称点为P P（x x，y y），），第39页，本讲稿共44页点点Q Q（x x0 0,y y0 0）在函数）在函数y y=f f(x x)的图象上，的图象上，-y y=x x2 2-2-2x x，即，即y y=-=-x x2 2+2+2x x,故故g g(x x)=-)=-x x2 2+2+2x x.（2 2）由）由g g(x x)f f(x x)-|)-|x x-1|-1|可得可得:2:2x x2 2-|-|x x-1|0.-1|0.
28、当当x x11时，时，2 2x x2 2-x x+10,+10,此时不等式无解此时不等式无解.当当x x11时，时，2 2x x2 2+x x-10,-10,因此，原不等式的解集为因此，原不等式的解集为第40页，本讲稿共44页11.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金 为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出 多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司 的月收益最大？最大月收益是多少？第41页，本讲稿共44页解 （
29、1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为 ，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.第42页，本讲稿共44页12.12.已知已知g g(x x)=-)=-x x2 2-3,-3,f f(x x)是二次函数，当是二次函数，当x x-1-1，2 2时，时，f f（x x）的最小值为）的最小值为1 1，且，且f f（x x）+g g（x x）为奇函数，求函数为奇函数，求函数f f（x
30、x）的表达式）的表达式.解解 设设f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c(a a0),0),则则f f(x x)+)+g g(x x)=()=(a a-1)-1)x x2 2+bxbx+c c-3,-3,又又f f(x x)+)+g g(x x)为奇函数，为奇函数，a a=1=1，c c=3.=3.f f（x x）=x x2 2+bxbx+3+3，对称轴，对称轴x x=.=.当当 ，即，即b b-4-4时，时，f f(x x)在在-1-1，2 2上为上为 减函数，减函数，f f（x x）的最小值为）的最小值为f f（2 2）=4+2=4+2b b+3=1.+3=1.第43页，本讲稿共44页 返回返回第44页，本讲稿共44页