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1、实验七常微分方程解法1第1页，本讲稿共44页实验报告要求n实验报告七必须在实验报告七必须在12月月22日日前上交前上交n算法使用编程语言不限；n电子版试验报告与程序代码发送至邮箱：n文件名称：实验七 08119000 张三2第2页，本讲稿共44页Matlab基础（实验一）n基本命令基本命令n基本数学运算基本数学运算n符号解符号解n函数文件格式函数文件格式n函数调用函数调用n文件保存位置文件保存位置3第3页，本讲稿共44页基本命令基本命令1.help 帮助命令帮助命令 help format%查看查看format命令的帮助；命令的帮助；2.clear 清除变量命令清除变量命令 clear x%清
2、除变量清除变量x(无参数时清理工作空间）无参数时清理工作空间）3.清理命令窗口清理命令窗口 clc%清屏清屏4.format 输出格式输出格式 format long%15位有效数字格式输出位有效数字格式输出 format short%4-7位有效数字格式输出位有效数字格式输出 format compact%紧凑格式紧凑格式(输出不加空行）输出不加空行）4第4页，本讲稿共44页基本数学运算基本数学运算n乘法：*n除法：/n乘方：n根号：sqrt(x)n正弦：sin(x)n余弦：cos(x)n自然对数：log(x)n自然指数：exp(x)5第5页，本讲稿共44页1.vpa 控制运算精度vpa(表
3、达式,运算精度)vpa(pi,20)%显示至100位有效数字2.solve 方程的符号解solve(表达式,x)符号解符号解6第6页，本讲稿共44页符号解符号解n例例 解方程n解解 在MATLAB工作窗口输入命令:ny=solve(x3-sin(x)-12*x+1=0,x)nvpa(y,5）ny=roots(2,0,-1,-1)7第7页，本讲稿共44页函数文件格式函数文件格式函数文件由函数文件由function语句引导，其格式为：语句引导，其格式为：function 输出形参表输出形参表=函数名函数名(输入形参表输入形参表)%注释说明部分注释说明部分函数体：函数体：例：例：function k
4、,xk,yk,p=jhnewtonqx(x0,ddmax)%牛顿切线法求非线性方程的根牛顿切线法求非线性方程的根注：注：其中函数名的命名规则与变量名相同。其中函数名的命名规则与变量名相同。输入形参为函数的输入输入形参为函数的输入参数，输出形参为函数的输出参数。当输出形参多于参数，输出形参为函数的输出参数。当输出形参多于1个时，则应个时，则应该用方括号括起来。该用方括号括起来。8第8页，本讲稿共44页函数调用函数调用函数调用的一般格式是：函数调用的一般格式是：输出实参输出实参1,实参实参2,.=函数名函数名(输入实参输入实参1,实参实参2,.）例：例：k,xk,yk,p=jhnewtonqx(1
5、.5,20)9第9页，本讲稿共44页文件保存位置文件保存位置设置当前目录位置 cd C:Matlab7work%设置Matlab当前目录为：C:Matlab7work10第10页，本讲稿共44页Matlab基础（实验二）n1.矩阵输入矩阵输入n2.特殊矩阵特殊矩阵n3.误差分析误差分析n4.内置函数内置函数11第11页，本讲稿共44页矩阵输入矩阵输入n a=%建立空矩阵建立空矩阵a,可在可在workspace中编辑中编辑n a=1,2,3;4 5 6%分行分行“,”或空格或空格 分列分列“;”n a=1:5%建立建立15矩阵矩阵(向量向量)a=(1,2,3,4,5)n a=0:pi/5:2*p
6、in%(pi=)建立建立111矩阵（向量）矩阵（向量）a：初始元：初始元0，步长，步长/5,终止元终止元2 n【注意注意“：”的用法的用法】12第12页，本讲稿共44页常用矩阵常用矩阵n1、零矩阵、零矩阵n z=zeros(3,4)%产生产生 34零矩阵零矩阵z；n zeros(5)%产生产生 5阶零矩阵；阶零矩阵；n2、单位矩阵、单位矩阵n E=eye(6)%产生产生6阶单位矩阵阶单位矩阵E；n2、幺矩阵、幺矩阵n ones(3,2);%产生产生3行行2列元素为列元素为1的矩阵；的矩阵；n3、随机矩阵、随机矩阵n r=rand(7)%产生产生01间分布的随机矩阵间分布的随机矩阵rn s=ro
7、und(rand(7)*30)%产生产生7阶阶030间均匀分部的随机矩阵间均匀分部的随机矩阵s13第13页，本讲稿共44页特殊矩阵特殊矩阵1、Hilbert矩阵矩阵 h=hilb(5)%产生产生 5阶阶Hilbert矩阵矩阵h h=sym(hilb(5)%产生产生 5阶阶Hilbert符号矩阵符号矩阵h2、Vandermonde矩阵矩阵 v=vander(1,2,3,4,5)%产生产生5阶阶Vandermonde矩阵矩阵v3、魔方矩阵、魔方矩阵 m=magic(3)%产生产生3阶魔方矩阵阶魔方矩阵3、Toeplitz矩阵矩阵 t=toeplitz(0:-1:-5,0:5)14第14页，本讲稿共
8、44页矩阵矩阵运算运算 a=magic(3);b=round(10*rand(3);r=(1:3);n a+b%矩阵加法矩阵加法n a-b%矩阵减法矩阵减法n a*b%矩阵乘法矩阵乘法n n=inv(a)%inv(a)=a(-1)=a的逆的逆n a/b%a/b=a*inv(b)=a*b(-1)n x=ar,a*x%x=ar=inv(a)*r=a(-1)*rn c=a%a=a的（共轭）转置的（共轭）转置15第15页，本讲稿共44页元素元素运算运算 a=magic(3);b=round(10*rand(3);r=(1:3);n a.*b%矩阵对应元素乘积矩阵对应元素乘积n a b a.*b,a*b
9、%比较比较 a.*b,a*bn a./b%矩阵对应元素右除矩阵对应元素右除n a.b%矩阵对应元素左除矩阵对应元素左除n a.(1/3)%矩阵对应元素的立方根矩阵对应元素的立方根16第16页，本讲稿共44页矩阵索引矩阵索引n a=1:30%产生产生120行向量行向量n a=reshape(a,5,6)%变更变更a的结构为的结构为35的矩阵的矩阵n a(3,2)%取元素取元素a（3,2）n a(3,:)%取取a第第3行，取行，取a第二列第二列n a(:,2)%取取a第第2列列n b=a(1,3,3:5)%取取a的的1,2行，行，2,4,5列元列元n m,n=size(a)%输出输出a的行列数的行
10、列数m、nn b=a(end,:)%b取取a的最后一行的最后一行17第17页，本讲稿共44页矩阵操作矩阵操作n a=1:36;a=reshape(a,6,6);t=toeplitz(0:-1:-5,0:5);n c=diag(a)%提取提取a的列向量的列向量n b=diag(c)%b为以为以c为对角元的对角阵为对角元的对角阵n d=diag(diag(a)n d=diag(diag(t,-1),-1)n l=tril(a)%l为为a的下三角阵的下三角阵n u=triu(a,1)n%u为为a从第从第1条对角线的开始取的上三角阵条对角线的开始取的上三角阵n l=tril(a,-2)n%l为为a从第
11、从第-2条对角线的开始取的下三角阵条对角线的开始取的下三角阵18第18页，本讲稿共44页矩阵分析矩阵分析n rank(a)%a的秩n norm(a)%a的2-范数n norm(a,inf)%a的无穷范数n cond(a)%a的谱（2-）条件数n cond(a,1)%a的1-条件数19第19页，本讲稿共44页矩阵分解与特征值矩阵分解与特征值n L,U=lu(a)%矩阵a的LU分解n Q,R=qr(a)%矩阵a的QR分解n eig(a)%矩阵a的特征值向量n V,D=eig(a)n%D主对角线元素为A的全部近似特征值n%V第k列元素为对应于A的特征值D(k,k)的特征向量20第20页，本讲稿共44
12、页最大元搜索最大元搜索n m=magic(5)n x,q=max(max(m)n%矩阵m每列最大元素向量构成x，x向量最大元下标n C,p=max(m(:,q)n%向量m(:,q)最大元素C，m(:,q)最大元下标pn%例：搜索A的非对角线上绝对值最大元素A(p,q)A=abs(m-triu(m);x,q=max(max(A);.M,p=max(A(:,q);p,q,A(p,q)21第21页，本讲稿共44页条件搜索条件搜索n m=magic(5),n,n=size(m);n s=find(m24,1)n%搜索m中大于24的元素的前1个，返回此元素下标sn q=ceil(s/n)%计算第s个元素
13、所在列n p=s-n*(q-1)%计算第s个元素所在行22第22页，本讲稿共44页二维绘图二维绘图（一）plot 最基本的二维图形指令plot的功能：n plot命令自动打开一个图形窗口Figuren 用直线连接相邻两数据点来绘制图形n根据图形坐标大小自动缩扩坐标轴，将数据标尺及单位标注自动加到两个坐标轴上，可自定坐标轴，可把x,y 轴用对数坐标表示23第23页，本讲稿共44页n如果已经存在一个图形窗口，plot命令则清除当前图形，绘制新图形n可单窗口单曲线绘图；可单窗口多曲线绘图；可单窗口多曲线分图绘图；可多窗口绘图n可任意设定曲线颜色和线型n可给图形加坐标网线和图形加注功能24第24页，本
14、讲稿共44页plot的调用格式的调用格式n plot(x)缺省自变量绘图格式，x为向量,以x元素值为纵坐标，以相应元素下标为横坐标绘图n plot(x,y)基本格式，以y(x)的函数关系作出直角坐标图，如果y为nm的矩阵，则以x 为自变量，作出m条曲线nplot(x1,y1,x2,y2)多条曲线绘图格式 25第25页，本讲稿共44页nplot(x,y,s)开关格式，开关量字符串s设定曲线颜色和绘图方式，使用颜色字符串的前13个字母，如 yellowyel表示等。或plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2，)26第26页，本讲稿共44页S的标准设定值的标准设定值 字母 颜色 标点 线型 y
15、黄色 点线 m 粉红 圈线 c 亮蓝 线 r 大红 字线 g 绿色 实线 b 蓝色 星形线 w 白色 ：虚线 k 黑色 (-)点划线27第27页，本讲稿共44页+、o、*、.、x、v、x=0:pi/100:2*pi;y=sin(x);y1=cos(x);plot(x,y,r:,x,y1,gp)29第29页，本讲稿共44页子图绘制子图绘制x=-3:0.1:3;y1=x;y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4;subplot(2,2,1);plot(x,y1);title(y1=x)subplot(2,2,2)plot(x,y2);title(y2=x2)subplot(2,2,3)plot(x
16、,y3);title(y3=x3)subplot(2,2,4)plot(x,y4);title(y4=x4)30第30页，本讲稿共44页图形标注图形标注标题函数：标题函数：tiltle x=0:0.1:5;y=exp(-0.2*x).*sin(x);plot(x,y)title(it e0.2xsin(x),FontWeight,Bold)31第31页，本讲稿共44页图形标注图形标注坐标轴标注：坐标轴标注：xlabel ,ylabel x=1990:2:2000;y=1.25 0.81 2.16 2.73 0.06 0.55;xin=1990:0.2:2000;yin=spline(x,y,x
17、in);plot(x,y,ob,xin,yin,-.r)title(1990年到2000年某地区年平均降水量图)xlabel(it 年份,FontSize,15)ylabel(降雨量,FontSize,8)32第32页，本讲稿共44页图形标注图形标注曲线标注：曲线标注：legend x=0:0.02*pi:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);y3=sin(3*x).*cos(x);plot(x,y1;y2;y3)axis(0 2*pi-1.5 1.5)legend(sin(x),cos(x),sin(3x)cos(x),-1)33第33页，本讲稿共44页TeX字符字符bf%粗体i
18、t%斜体rm%正常字体 fontname%指定字体fontsize%指定字号x%上标_x%下标pi ;lambda alpha ;beta ;34第34页，本讲稿共44页文本标注文本标注 textx=linspace(-1,1,500);f=exp(x);l2=0.9963+1.1036*x+0.5367*x.*x;l3=0.9963+0.9979*x+0.5367*x.*x+0.1761*x.*x.*x;plot(x,f,-b,x,l3,-r);xlabel(0 leq x leq1);ylabel(y);title(bf ex的3次最佳平方逼近多项式,fontname,隶书,fontsiz
19、e,12)legend(it f(x)=ex,it l_2=0.9963+0.9979*x+0.5367*x2+0.1761*x3,2)text(0.96,exp(0.96),it f(x)=ex,rightarrow,.HorizontalAlignment,right,fontsize,12,color,0,0,1,fontname,times new roman);text(0.6,0.9963+0.9979*0.6+0.5367*0.36+0.1761*0.36*0.6,it l_3=0.9963+0.9979*x+0.5367*x2+0.1761*x3,rightarrow,.Hor
20、izontalAlignment,right,fontsize,12,color,1,0,0,fontname,times new roman);35第35页，本讲稿共44页多项式函数多项式函数 p=1:5;v=1:3;poly2sym(p)r=roots(p)poly(v)y=polyval(p,1)y=polyval(p,p)conv(p,v)q,r=deconv(p,v)36第36页，本讲稿共44页多项式插值多项式插值p=polyfit(x,y,n)%将数据点x，y拟合为n次多项式p x=linspace(-5,5,11);y=5./(1+x.*x);p=polyfit(x,y,10);
21、%10次插值多项式t=linspace(-5,5);z=polyval(p,t);plot(t,z)hold on;x=linspace(-5,5,5);y=5./(1+x.*x);p=polyfit(x,y,4);%4次插值多项式t=linspace(-5,5);z=polyval(p,t);plot(t,z,r)37第37页，本讲稿共44页多项式插值多项式插值p=polyfit(x,y,n)%将数据点x，y拟合为n次多项式p x=linspace(-5,5,11);y=5./(1+x.*x);p=polyfit(x,y,10);t=linspace(-5,5);z=polyval(p,t)
22、;plot(t,z)yi=interp1(x,y,xi,method)%计算数据点(x,y)按method指定的插值函数在xi点的值，method参数：linear分段线性插值spline默认三次样条插值;cubic三次Hermite插值；x=0:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10;yi=interp1(x,y,xi);%默认为一维线性插值plot(x,y,o,xi,yi)38第38页，本讲稿共44页多项式插值多项式插值x=0:10;y=sin(x);xi=0:.25:10;yi=sin(xi);grid ony2=interp1(x,y,xi,spline);plot(x,y,
23、xi,yi,xi,y2,-.)%三次样条插值y3=interp1(x,y,xi,cubic);%三次多项式插值plot(x,y,o,xi,yi,xi,y3,-.)39第39页，本讲稿共44页多项式拟合函数多项式拟合函数%计算给定数据点的n次拟合多项式：n x=0.5,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2 5;ny=1.44./(x.*x)+0.24*x;ndxsnh(x,y,3)xi0.51.01.21.41.61.82.05.0yi5.88001.6800 1.2880 1.0707 0.9465 0.87640.8401.257640第40页，本讲稿共44页最小二乘逼近多项式最小二乘逼近
24、多项式n%计算sin(2x)在区间 0,1 三次最佳平方逼近多项式，作出最佳平方逼近多项式图形。n p,err,errinf=zjpfbj(3)41第41页，本讲稿共44页匿名函数匿名函数n f=(x)(x*exp(x)n%创建以 x 为输入参数的匿名函数：xexn y=feval(f,2)n%计算函数：f(x)=xex 在 x=2点的函数值 f(2)=2e242第42页，本讲稿共44页积分积分n F=int(x*exp(x)n%求以 x 为积分变量的函数 xex 的原函数Fn I=int(x*exp(x),1,2)n%求以 x 为积分变量的函数 xex 的在积分区间1，2上的定积分I43第43页，本讲稿共44页微分微分n syms xn f=exp(1/x)n%创建符号函数 f(x)=e(1/x)n d=diff(f)n subs(d,x,2)44第44页，本讲稿共44页