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1、第1页，本讲稿共54页一、无穷小一、无穷小一、无穷小一、无穷小1定义定义极限为零的变量称为无穷小量，简称极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小无穷小.例如例如第2页，本讲稿共54页而而注意注意（1）无穷小是以极限为零的变量）无穷小是以极限为零的变量,不能与很不能与很（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变小的常数混淆小的常数混淆;（3）常数中只有零是无穷小）常数中只有零是无穷小.化趋势；化趋势；第3页，本讲稿共54页2运算性质运算性质定理定理 在自变量同一变化过程中在自变量同一变化过程中,(1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无
2、穷小;(2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小;(3)无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.第4页，本讲稿共54页 例例11解解第5页，本讲稿共54页 例例11解解第6页，本讲稿共54页 例例11解解第7页，本讲稿共54页 例例11解解第8页，本讲稿共54页思考题思考题解解第9页，本讲稿共54页3无穷小与有极限函数的关系无穷小与有极限函数的关系第10页，本讲稿共54页第11页，本讲稿共54页二、无穷大二、无穷大二、无穷大二、无穷大特殊情形：正无穷大特殊情形：正无穷大(或负无穷大或负
3、无穷大)第12页，本讲稿共54页注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;第13页，本讲稿共54页三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.第14页，本讲稿共54页 例例22解解解解第15页，本讲稿共54页下面我们再来看一个现象下面我们再来看一个现象极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.第16页，本讲稿共54页定义定义*四、无穷小的比较四、无穷小的比较第17页，本
4、讲稿共54页由无穷小比较的定义知由无穷小比较的定义知第18页，本讲稿共54页思考题思考题解解第19页，本讲稿共54页练习题练习题第20页，本讲稿共54页五、函数极限的四则运算法则五、函数极限的四则运算法则五、函数极限的四则运算法则五、函数极限的四则运算法则法则1和法则2可推广到有限个函数情形.第21页，本讲稿共54页常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.第22页，本讲稿共54页1.1.解解 例例33第23页，本讲稿共54页解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得2.2.第24页，本讲稿共54页解解3.3.(约去零因子法约去零因子法)
5、第25页，本讲稿共54页4.4.解解(无穷小分出法无穷小分出法)第26页，本讲稿共54页5.5.解解(无穷小分出法无穷小分出法)(无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系)第27页，本讲稿共54页小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分子分母中自变量的最高次幂除分以分子分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第28页，本讲稿共54页 例例44解解先变形再求极限先变形再求极限.第29页，本讲稿共54页 例例55解解(不能用函数极限的四则运算法则2来求!)第30页，本讲稿共54页 例例66解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,第31页，本讲
6、稿共54页六、无穷递缩等比数列求和六、无穷递缩等比数列求和六、无穷递缩等比数列求和六、无穷递缩等比数列求和第32页，本讲稿共54页(1)(1)解解 例例77第33页，本讲稿共54页(2)(2)解解 例例77第34页，本讲稿共54页思考题思考题解解第35页，本讲稿共54页练习题练习题第36页，本讲稿共54页七、两个重要极限七、两个重要极限七、两个重要极限七、两个重要极限第37页，本讲稿共54页1 1 1 1重要极限重要极限重要极限重要极限第38页，本讲稿共54页1 1解解 例例 第39页，本讲稿共54页2 2解解 例例 第40页，本讲稿共54页3 3解解 例例 第41页，本讲稿共54页4 4解解
7、 例例 第42页，本讲稿共54页等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理第43页，本讲稿共54页 例例99解解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限代换，而不会改变原式的极限第44页，本讲稿共54页不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意注意 例例1010解解第45页，本讲稿共54
8、页 例例1111解解解解错错第46页，本讲稿共54页第47页，本讲稿共54页2 2 2 2重要极限重要极限重要极限重要极限2 2 2 2第48页，本讲稿共54页 例例12 12 求下列极限求下列极限解解第49页，本讲稿共54页 例例12 12 求下列极限求下列极限解解第50页，本讲稿共54页 例例12 12 求下列极限求下列极限解解第51页，本讲稿共54页思考题思考题求极限求极限第52页，本讲稿共54页练习题练习题第53页，本讲稿共54页通过本课题学习，学生应该达到：1熟记无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限；2会用无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限和等价无穷小求函数的极限。【课后练习课后练习】【授课小结授课小结】1P005 习题1-3（一）；2P005 习题1-3（二）；3P005 习题1-3（三）。第54页，本讲稿共54页