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1、第一节点估计问题概述现在学习的是第1页，共35页n在实际问题中,当所研究的总体分布类型已知,但分布中含有一个或多个未知参数时,如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.n参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.现在学习的是第2页，共35页n例如,灯泡的寿命X是一个总体,根据实际经验知道,X服从 ,但对每一批灯泡而言,参数 是未知的,要写出具体的分布函数,就必须确定出参数.此类问题就属于参数估计问题.现在学习的是第3页，共35页n参数估计问题的一般提
2、法:n设有一个统计总体,总体的分布函为 ,其中 为未知参数(可以是向量).现从该总体中随机地抽样,得一样本n再依据该样本对参数 作出估计,或估计参数 的某已知函数 现在学习的是第4页，共35页第一节第一节 点估计问题概述点估计问题概述n内容分布图示内容分布图示n n 引言n 点估计的概念 例1n 评价估计量的标准n 无偏性 例2 例3n 有效性n 例4 例5 例6n 相合性 例7 例8n 内容小结 课堂练习n 习题6-1 现在学习的是第5页，共35页内容要点：内容要点：n一、点估计的概念一、点估计的概念n设 是取自总体X的一个样本,是相应的一个样本值.是总体分布中的未知参数,为估计未知参数,需
3、构造一个适当的统计量n然后用其观察值n来估计 的值.n称 为的估计量.称 为的估计值.在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计,并简记为 .现在学习的是第6页，共35页n注:估计量 是一个随机变量,是样本的函数，即是一个统计量,对不同的样本值,的估计值 一般是不同的.现在学习的是第7页，共35页二、评价估计量的标准二、评价估计量的标准n从例1可见,参数点估计的概念相当宽松,对同一参数,可用不同的方法来估计,因而得到不同的估计量,故有必要建立一些评价估计量好坏的标准.n估计量的评价一般有三条标准:n1.无偏性;n2.有效性;n3.相合性（一致性）.n在本节的后面将逐一介绍之.现
4、在学习的是第8页，共35页n在具体介绍估计量的评价标准之前,需指出:评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量.因为估计量是样本的函数,是随机变量.故由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计,应在多次重复试验中体现出其优良性.现在学习的是第9页，共35页n1无偏性无偏性n估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到不同的估计值.一个自然的要求是希望估计值在未知参数真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入无偏性标准.现在学习的是第10页，共35页n定义定义1 设 是未知参数 的估计量,若 n则称 为的 无偏估计量.n注注:无偏性是对估计量的一个常
5、见而重要的要求,其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差.在科学技术中,称n为用 估计 而产生的系统误差.n例如,用样本均值作为总体均值的估计时,虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重要使用不会产生系统偏差.现在学习的是第11页，共35页n 对一般总体而言，我们有n定理定理1 设 为取自总体X的样本,总体X的均值为 ,方差为 .则n(1)样本均值 是 的无偏估计量;n(2)样本方差 是 的无偏估计量;n(3)样本二阶中心矩 是 的有偏估计量.现在学习的是第12页，共35页n2有效性有效性n一个参数 常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选
6、用对 的偏离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选估计量的另一标准有效性.现在学习的是第13页，共35页n定义定义2 设 和 都是参数的无偏估计量,若n则称 较 有效.n注注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计,其定义如下:n设 是取自总体X的一个样本,是未知参数 的一个估计量,若满足:n(1)即 为 的无偏估计;n(2)是 的任一无偏估计.n则称 为 的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).现在学习的是第14页，共35页n3相合性相合性(一致性一致性)n我们不仅希望一个估计量是无偏的,并且具有较小的方差,还希望当样本容量无限增大时,估计量能在某种意义下任意接近未知参数
7、的真值,由此引入相合性(一致性)的评价标准.现在学习的是第15页，共35页n定义定义3 设 为未知参数 的估计量,若依概率收敛于 ,即对任意 ,有n或n则称 为 的(弱)相合估计量.现在学习的是第16页，共35页n例题选讲：例题选讲：n 点估计的概念点估计的概念n（讲义例（讲义例1）设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：n 为未知参数,.现得样本值为n168,130,169,143,174,198,108,212,252,n试估计未知参数 .现在学习的是第17页，共35页n解解 由题意知,总体 的均值为 即 因此,如用样本均值 作为 的估计量看起来是最自然的.对给定的样
8、本值计算得n故 与 分别为 的估计量与估计值.现在学习的是第18页，共35页n评价估计量的标准评价估计量的标准n例例2（讲义例（讲义例2）设总体 ,是来自这一总体的样本.n(1)证明 是 的无偏估计;n(2)求现在学习的是第19页，共35页n解解(1)n故 是 的无偏估计.n(2)因 而n且它们相互独立,故依 分布定义n n由此知现在学习的是第20页，共35页n例例3（讲义例（讲义例3）设 是总体 n 的一个简单随机样本.求 使n 为 的无偏估计.现在学习的是第21页，共35页n解解 由于 且相互独立,于是当 时 n因为当 时,所以n故当 时,有 为 n 的无偏估计.现在学习的是第22页，共3
9、5页n例例4（讲义例（讲义例4）设 为来自总体X的样本,均为总体均值 的无偏估计量,问哪一个估计量有效?现在学习的是第23页，共35页n解解 由于 所以 为 和无偏估计量,但n故 较 更有效.现在学习的是第24页，共35页n例例5 设总体X在区间 上服从均匀分布,是取自总体X的简单随机样本,n求常数 使 均为的无偏估计,并比较其有效性.现在学习的是第25页，共35页n解解 已知 其分布函数为n因 故n当 时,为无偏估计,且n又n所以现在学习的是第26页，共35页n故 当 时,即 为 的无偏估计,且n所以 比 更有效.现在学习的是第27页，共35页 n例例6（讲义例（讲义例5）设分别自总体 和
10、n 中抽取容量为 的两独立样本.其样本方差分别为 .试证,对于任意常数 都是 的无偏估计,并确定常数 使 达到最小.现在学习的是第28页，共35页n解解 由第5章第三节的定理2,知n且相互独立,所以 故当 时,n即 是 的无偏估计.由 相互独立,及现在学习的是第29页，共35页n令 得驻点 n又 知该点为极小值点,所以,当 时,统计量 n具有最小方差.n(注注:此例结果表明,第5章第三节定理4中的统计量是方差的最佳无偏估计).现在学习的是第30页，共35页 n例例7（讲义例（讲义例6）设 是取自总体 n 样本,且 存在 为正整数,则 为 的相合估计量.现在学习的是第31页，共35页 n证证 事
11、实上,对指定的 ,令n由大数定理知 从而 是 的相合估计量.n作为特例,样本均值 是总体均值 的相合估计量.现在学习的是第32页，共35页n例例8（讲义例（讲义例7）设总体 ,为其样本.试证样本方差 是 的相合估计量.现在学习的是第33页，共35页 n证证 由本节定理1,又由第5章第三节定理2,知 n从而 故由切比雪夫不等式推得,对任意n当 时,上式左、右端均趋于0,根据相合性定义可知 是 的相合估计量.现在学习的是第34页，共35页 n课堂练习课堂练习n设总体X的k阶矩 存在,又设 n 是X的一个样本.试证明不论总体服从什么分布,k阶样本矩 是k阶总体矩 的无偏估计量.现在学习的是第35页，共35页