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1、第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换现在学习的是第1页，共49页第一节第一节 线性方程组的消元法线性方程组的消元法一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念1.1.线性方程组的定义线性方程组的定义有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2、A3，其年产量分别为40t，20t 和 10t，该产品每年有两个用户 B1、B2，其用量分别为 45t 和 25t现在学习的是第2页，共49页 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2、A3，其年产量分别为40t，20t 和 10t，该产品每年有两个用户 B1、B2，其用量分别为 45t 和 25t 不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元，问各厂的产
2、品如何调配才能使总运费最少？现在学习的是第3页，共49页解设各厂到各用户的产品数量如表 1-2依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：现在学习的是第4页，共49页再来看总运费，由表1-1：12于是，题目要解决的问题是：使之满足方程组 和 并使总运费最少.现在学习的是第5页，共49页 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为为 n，方程个数为，方程个数为 m，则线性方程组可以写成如下形式，则线性方程组可以写成如下形式 ：若常数项均为若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，则称方程组为齐次线性方程组，否则否则，称为非齐次线
3、性方程组，称为非齐次线性方程组.现在学习的是第6页，共49页2.2.线性方程组的线性组合线性方程组的线性组合线性方程的加法：线性方程的加法：将两个线性方程(1)(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：称为原来两个线性方程的和。现在学习的是第7页，共49页线性方程乘常数将线性方程两边同乘以已知常数 ，线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。线性方程的线性组合将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 再将所得的两个方程相加，得到新方程：得到一个新的线性方程：现在学习的是第8页，共49页(3)称为原来两个方程(1)和(2)的一个称为这个线性方程的组合系数。将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意
4、组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。线性组合，若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等价，等价的线性方程组一定同解。将方程组(I)变成方程组(II)的过程称为同解变换。现在学习的是第9页，共49页例例1二、线性方程组的消元法二、线性方程组的消元法求解线性方程组求解线性方程组1 1、线性方程组的初等变换、线性方程组的初等变换现在学习的是第10页，共49页解解现在学习的是第11页，共49页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：现在学习的是第12页，共49页于是解
5、得于是解得(2)现在学习的是第13页，共49页小结：小结：1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（以（以 替换替换 ）上述三种变换均称为线性方程组的初等变换上述三种变换均称为线性方程组的初等变换（以（以 替换替换）（与与 相互替换）相互替换）现在学习的是第14页，共49页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换
6、都是可逆的，所以变换前的方程组由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变同解变换换线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组程组 现在学习的是第15页，共49页2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组化为阶梯型方程组)现在学习的是第16页，共49页2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组化为阶梯型方程组)现在学习的是第17页，共49页2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变
7、换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组化为阶梯型方程组)现在学习的是第18页，共49页2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组化为阶梯型方程组)现在学习的是第19页，共49页2 2、利用初等变换解一般线性方程组、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组化为阶梯型方程组)现在学习的是第20页，共49页现在学习的是第21页，共49页现在学习的是第22页，共49页现在学习的是第23页，共49页在齐次线性方程组在齐次线性方程组证明：证明：显然显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程个数不会超过原方程组中方程个数方程个数不会超
8、过原方程组中方程个数，即，即现在学习的是第24页，共49页第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。现在学习的是第25页，共49页1.线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项常数项一、矩阵及其初等变换一、矩阵及其初等变换现在学习的是第26页，共49页对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表
9、的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为现在学习的是第27页，共49页 由 个数排成的 m 行 n 列矩阵的数表称为 m 行 n 列矩阵.简称 矩阵.记作现在学习的是第28页，共49页简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.现在学习的是第29页，共49页例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.现在学习的是第30页，共49页例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).(1)行数与
10、列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方阵.也可记作现在学习的是第31页，共49页只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角对角矩阵矩阵(或对角阵对角阵）.（3）形如 的方阵,不全为0现在学习的是第32页，共49页注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或 .现在学习的是第33页，共49页（5）方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为全为1现在学习的是第34页，共49页 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵 相等,记作例如为同型矩阵.现在学习的是第35页，共4
11、9页矩阵的转置矩阵的转置（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A（或AT）即A=现在学习的是第36页，共49页线性方程组称为方程组的系数矩阵；称为方程组的增广矩阵。现在学习的是第37页，共49页下面三种变换称为矩阵的初等行变换:现在学习的是第38页，共49页等价关系的性质：等价关系的性质：一般，将具有上述三条性质的关系称为等价一般，将具有上述三条性质的关系称为等价 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)初等行变换和初等列变换统称为矩初等行变换和初等列变换统称为矩阵的
12、阵的初等变换初等变换.现在学习的是第39页，共49页例例1求解线性方程组求解线性方程组解解 ：用矩阵的初等行变换解方程组：用矩阵的初等行变换解方程组现在学习的是第40页，共49页现在学习的是第41页，共49页现在学习的是第42页，共49页特点：特点：（1）、可划出一）、可划出一条阶梯线，线的下条阶梯线，线的下方全为零；方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元现在学习的是第43页，共49页注意：注意：行最简形矩
13、阵是由方程组唯一确定的，行阶梯行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的现在学习的是第44页，共49页例2求解方程组解对增广矩阵B进行初等行变换，得现在学习的是第45页，共49页显然无解,故方程组无解.现在学习的是第46页，共49页例如，例如，二二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准型标准型现在学习的是第47页，共49页例如，例如，二二、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型、用矩阵的初等变换化矩阵为标准型 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准型标准型现在学习的是第48页，共49页特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.现在学习的是第49页，共49页