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1、第5章空间力系5-1现在学习的是第1页，共39页5-25-1 5-1 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影M LM L一、一次投影法一、一次投影法二、二次投影法二、二次投影法 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先 F 投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即现在学习的是第2页，共39页5-35-2 5-2 力对空间坐标轴之矩力对空间坐标轴之矩二、计算二、计算1.异面垂直一、定义一、定义:力使刚体绕该轴转动效应的量度，记为Rz方向：右手法则2.平行与轴与轴相交即力与轴共面现在学习的是第3页，共39页5-43.一般情形abyxzc现在学习的是第4页，共39页5-55-3 5-3 力对点之矩
2、力对点之矩一、定义一、定义:力对点之矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，记为二、计算二、计算三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系现在学习的是第5页，共39页5-6=0=0=（4-74-7）已知：力已知：力已知：力已知：力,力力力力 在三根轴上的分力在三根轴上的分力在三根轴上的分力在三根轴上的分力 ，力，力，力，力 作作作作用点的坐标用点的坐标用点的坐标用点的坐标 x,y,zx,y,z求：力求：力求：力求：力 对对对对 x,y,zx,y,z轴的矩轴的矩轴的矩轴的矩现在学习的是第6页，共39页5-7=+0+0+0+0-=（4-84-84-84-8）=-=-=-
3、=-+0+0+0+0=（4-94-94-94-9）比较（比较（比较（比较（4-54-54-54-5）、（）、（）、（）、（4-74-74-74-7）、（）、（）、（）、（4-84-84-84-8）、（）、（）、（）、（4-94-94-94-9）式可得）式可得）式可得）式可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对该轴的矩。力对该轴的矩。力对该轴的矩。现在学习的是第7页，共39页 1、几何法、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边
4、形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和2、解析法、解析法：由于 代入上式合力由 为合力在x轴的投影，四、空间汇交力系的合成四、空间汇交力系的合成：8现在学习的是第8页，共39页五、合力投影定理五、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。9现在学习的是第9页，共39页六、空间汇交力系的平衡：六、空间汇交力系的平衡：称为平衡方程称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程解析法解析法平衡充要条件为：几何法几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭力多边形封闭。空间汇交力系平衡的充要条件是：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，力系的合力为
5、零，即：即：10现在学习的是第10页，共39页5-4 5-4 空间力偶系空间力偶系 由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。一、力偶矩用矢量表示：一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。空间力偶是一个自由矢量。11现在学习的是第11页，共39页 证证 作II/，cd/ab 作一对平衡力R,R(在E点,且 使-R=R)由反向平行力合成得：F1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2，R-F1=F2 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（F2，F2）二、空间力偶的等效定理二
6、、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。的大小相等，则两个力偶等效。12现在学习的是第12页，共39页由此可得出，空间力偶矩是自由矢量空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：力偶矩的大小力偶矩的大小=力偶矩的方向力偶矩的方向与力偶作用面法线方向相同 转向转向遵循右手螺旋规则。三、空间力偶系的合成与平衡三、空间力偶系的合成与平衡 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。合力偶矩=分力偶矩的矢
7、量和13现在学习的是第13页，共39页 投影式投影式为：显然空间力偶系的平衡条件是：14现在学习的是第14页，共39页 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。5-5 5-5 空间一般力系向一点简化空间一般力系向一点简化 设作用在刚体上有空间一般力系向向O点简化（点简化（O点任选）点任选）15现在学习的是第15页，共39页根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系：和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩。由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。16现在学习的是第16页，共39页合成 得主矢即（主矢 过简化中心O，且与O点的选择
8、无关）合成 得主矩即：（主矩 与简化中心O有关）17现在学习的是第17页，共39页若取简化中心简化中心O点为坐标原点，则：主矢大小主矢大小 主矢方向主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:则主矩大小主矩大小为：主矩方向主矩方向：18现在学习的是第18页，共39页 空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。5-6 5-6 空间一般力系简化结果的讨论空间一般力系简化结果的讨论1 1、若 ,则该力系平衡平衡（下节专门讨论）。2 2、若 则力系可合成一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。3 3、若 则力系可合成为
9、一个合力合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）19现在学习的是第19页，共39页 4 4、若 此时分两种情况讨论。即：由于做若时可进一步简化，将MO变成(R,R)使R与R抵消只剩下R。20现在学习的是第20页，共39页若 时，为力螺旋的情形为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）例例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线R不平行也不垂直M0，最一般的成任意角 在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。21现在学习的是第21页，共39页M 使主矢R搬家，搬家的矩离：所以在O点处形成一个力螺旋点处形成一个力螺旋。因为M
10、/是自由矢量，可将M/搬到O处M/不变，22现在学习的是第22页，共39页注意注意 力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R，M/简化中心为O时：为M 当简化中心为O时，为M 但M/总是不变的（它是它是 原力系中的力偶与简化原力系中的力偶与简化 中心无关中心无关）23现在学习的是第23页，共39页 空间力系向O点简化后得主矢R和主矩MO ,若MO R，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R。空间力系的合力矩定理空间力系的合力矩定理：24现在学习的是第24页，共39页 一、空间任意力系的平衡充要条件是：一、空间任意力系的平衡充要条件是：所以空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程
11、为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。5-7 5-7 空间一般力系的平衡方程及应用空间一般力系的平衡方程及应用25现在学习的是第25页，共39页空间汇交力系的平衡方程为：空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程，设各力线都空间平行力系的平衡方程，设各力线都/z 轴。轴。因为因为 均成为了恒等式。均成为了恒等式。26现在学习的是第26页，共39页1、球形铰链、球形铰链二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）
12、可能的运观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。动为反力，阻碍转动为反力偶。例例27现在学习的是第27页，共39页4、带有销子的夹板、带有销子的夹板 5、空间固定端、空间固定端2、向心轴承，蝶铰链、向心轴承，蝶铰链 3、止推轴承、止推轴承 28现在学习的是第28页，共39页滚珠（柱）轴承滚珠（柱）轴承 2、向心轴承，蝶铰链、向心轴承，蝶铰链29现在学习的是第29页，共39页滑动轴承滑动轴承止推轴承止推轴承30现在学习的是第30页，共39页
13、带有销子的夹板带有销子的夹板空间固定端空间固定端31现在学习的是第31页，共39页5-32例例 如图示，均质板重P，AB=a，BCb，30，求A、B处支反力。DABCExyz现在学习的是第32页，共39页5-335-8 5-8 重心重心一、空间平行力系的中心、物体的重心由合力矩定理：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。现在学习的是第33页，共39页5-34物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。二、重心坐标公式：如果把物
14、体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理现在学习的是第34页，共39页5-35 设 i表示第i个小部分的单位体积重量，Vi表示第i个小部分的体积，则代入上式并取极限，可得：式中重心重心C 坐标的公式坐标的公式三、形心坐标公式：对于均质物体，=恒量,上式成为：同理对于薄平面薄平面和细长杆细长杆均可写出相应的公式。现在学习的是第35页，共39页5-36四、重心的求法解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段1.积分法例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O O现在学习的是第36页，共39页5-372.组合法解解：例例 求：该组合体的重心。A1A21 正面积法正面积法2 负面积法负面积法A1A2A3现在学习的是第37页，共39页5-383.实验法2称重法1悬挂法现在学习的是第38页，共39页5-39作业M LM L3.26（a)(e)3.56 3.60现在学习的是第39页，共39页