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1、第三篇第三篇 动力学动力学理论力学理论力学第第11章章 动量矩定理动量矩定理第第11章章 动量矩定理动量矩定理 在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。同一类型的方程，即均为矢量方程。质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统统（动量系）的基本特征量（动量系）的基本特征量动量系的主矢和主矩。动量系的主矢和主矩。两者对时间的变化率等于两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量外力系的基本特征量力力系的主矢和主矩。系的主矢和主矩。本章主要研究：本章主要研究：1 1、质点系的
2、动量矩定理、质点系的动量矩定理2 2、刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程3 3、刚体平面运动微分方程、刚体平面运动微分方程？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题谁最先到谁最先到 达顶点达顶点第第11章章 动量矩定理动量矩定理？没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的猫在自由下落的过程中是如何转身的猫在自由下落的过程中是如何转身的 动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩质点系的动量矩 质质点系的点系的动动量矩定理量矩定理 第第11章章 动量矩定理动量矩定理 动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩质点系的动量矩 质点的动
3、量对点O之矩为 称为第i个质点对点O的动量矩。质点系的动量矩即是动量系的主矩，它是质点系中各质点的动量对点O之矩的矢量和：质点系相对固定点的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理 物理学中关于质点的动量矩定理：物理学中关于质点的动量矩定理：将等号两侧对整个质点系中所有质点求和，得到将等号两侧对整个质点系中所有质点求和，得到 动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 注注意意到到微微分分和和求求和和运运算算可可以以互互换换，以以及及内内力力必必成成对对出出现现，上上式可简化为式可简化为 或者写成或者写成 质质点点系系相相对对固固定定点点的的动动量量矩矩对
4、对时时间间的的一一阶阶导导数数等等于于作作用用在在该该质质点点系系上上的的外外力力系系对对同同一一点点的的主主矩矩。这这就就是是质质点点系系相相对对定定点点的的动动量量矩矩定定理理(theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 质点系相对固定点的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理 动动量矩定理的量矩定理的微分微分形式形式 动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 将上述二式积分，得到
5、将上述二式积分，得到动动量矩定理的量矩定理的积分积分形式形式 质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。动动量矩定理的量矩定理的投影投影形式形式质点系相对定轴的动量矩定理质点系相对定轴的动量矩定理 比比照照力力对对点点之之矩矩与与力力对对轴轴之之矩矩的的关关系系，可可以以得得到到动动量量对对点点之之矩在矩在过该过该点之点之轴轴上的投影等于上的投影等于该动该动量量对该轴对该轴之矩。之矩。动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 均质圆轮半径为均质圆轮半径为 R、质质量为量为 m。圆轮在重物圆轮在重物 带带动
6、下绕固定轴动下绕固定轴 O 转动，已转动，已知重物重量为知重物重量为 W。求：求：重物下落的加速度重物下落的加速度O OWW例例 题题 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 解：解：以圆轮和重物组成的质点系为研究对象。设圆轮的角速度和角加速度分别为 和，重物的加速度为 aP。圆轮对O轴的动量矩重物对O的轴动量矩系统对O的轴总动量矩 O OWWa a P P 例例 题题 2 2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 应用动量矩定理例例 题题 2 2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 O OWWa a P P 解：解：系统对O的轴总动量矩其中aP=R1 1、若外力矩、若外力矩 则则
7、这表明这表明质质点系点系对该对该点的点的动动量矩守恒量矩守恒 动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 动量矩定理动量矩定理的守恒形式的守恒形式 例如例如 2 2、当外力、当外力对对某定某定轴轴的主矩等于零，的主矩等于零，质质点系点系对该轴对该轴的的动动量矩守恒。量矩守恒。？谁最先到谁最先到 达顶点达顶点 动量矩定理与动量矩守恒动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 动量矩定理动量矩定理的守恒形式的守恒形式 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第第11章章 动量矩定理动量矩定理 设刚体饶定轴z转动，如图所示，其角速度与角加速度
8、分别为 和 。刚体上第i个质点的质量为mi，到轴z的距离为ri，则刚体对定轴的动量矩为 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 称为刚体对轴 z 的转转动动惯惯量量(moment of inertia)。其中该式即为刚刚体体定定轴轴转转动动微微分分方方程程。即刚体对定轴转动的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 例例 题题 1 1 图示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1、m2，杆长为l，圆盘直径为d。解解解解：摆绕O轴作定轴转动。设 为任意时刻转过的角度，规定逆时针为正。根据定轴转动的微分方程试试试试求：
9、求：求：求：钟摆作小摆动时的周期。刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 解解解解：分析受力，建立钟摆的运动微分方程m m1 1g gm2gFxFy例例 题题 1 1 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 微小摆动时，有 化为标准形式，摆的周期为 摆的周期为 根据物理学中关于转动惯量的定义 其中JO1和JO2分别为杆和圆盘对于转动轴的转动惯量。m m1 1m2例例 题题 1 1 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 第第11章章 动量矩定理动量矩定理 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 在在质质点点系系相相对对于于惯惯性性参参考考系系中
10、中固固定定点点（或或固固定定轴轴）的的动动量量矩矩定定理理中中，动动量量矩矩由由系系统统的的绝绝对对运运动动所确定。所确定。这这里里讨讨论论质质点点系系相相对对于于质质点点系系的的质质心心或或通通过过质质心心的的动动轴轴的的动动量量矩矩定定理理，一一方方面面是是因因为为它它有有广广泛泛的的应应用用价价值值，另另一一方方面面动动量量矩矩定定理理仍仍保保持持了了简简单单的形式。的形式。相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩质点系相对质心的动量矩 Oxyz为固定坐标系，建立在质心C上随质心平移的动坐标系为Cxyz。质点系内第i个质点的质量为mi，相对质心的位矢为 ri，相对
11、质心的速度为 vi r。根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩应为 其中 vi 为第 I 个质点的绝对速度。注意到 则有 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩质点系相对质心的动量矩 即有 质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系。质点系相对固定点的动量矩为 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩质点系相对质心的动量矩 因为因为所以有所以有根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 第第
12、11章章 动量矩定理动量矩定理 取质心C为基点，其坐标为xC、yC，设D为刚体上任意一点，CD与x轴的夹角为,则刚体的位置可由xC、yC和确定。将刚体的运动分解为随随质质心心的的平平移移和绕绕质质心心的的转转动动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为xCyC 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 其中JC为刚体对通过质心C且与运动平面垂直的轴的转动惯量，为角速度。xCyC 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质质心心运运动动定定理理和相相
13、对对质质心心动量矩定理动量矩定理，有 这就是刚体平面运动的微分方程刚体平面运动的微分方程。或者 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 例例 题题 3 3 半径为 r 的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为的斜面无滑动的滚下。试求：试求：试求：试求：1圆轮滚至任意位置时的质心加速度 aC ；2圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 aC 解：解：解：解：分析圆轮受力 圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，有 FFN1确定圆轮质心的加速度例例 题题 3 3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 运动学补充关系 aCFFN（4）式代入（3）式，得 代入（1）
14、式，得例例 题题 3 3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 解：解：解：解：2确定圆轮在斜面上不滑动的 最小静摩擦因数 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。aCFFN例例 题题 3 3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 均质杆AB长为l，放放置于铅垂平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂墙上，另一端B放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为0。然后，令杆由静止状态滑下。求：求：杆在任意位置时的角加速度。例例 题题 4 4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 F FA AF FB Bm mg g解解：以杆为研究对象，杆作平面运动，分析其受力列出平面运动微分方程例例 题题 4 4 刚
15、体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 式中有五个未知量 ，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。相相对对特特殊殊瞬瞬心心的的动动量量矩矩定定理理：平平面面运运动动过过程程中中，如如果果刚刚体体的的质质心心 C 到到速速度度瞬瞬心心 C*的的距距离离保保持持不不变变，则则质质点点系系相相对对速速度度瞬瞬心心的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数等于质点系外力对同一点的主矩等于质点系外力对同一点的主矩。即C*注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时，v vB Bv vA A例例 题题 4 4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。C*v vB Bv vA A例例 题题 4 4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程