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1、趋势2以给定定义、热点信息为背景一、单项选择题1. (2021 山西朔州市第一中学校)maxa,b,c表示b , c中的最大值，例如maxl,2,3 =3 ,假设 函数/(x) = maxY+4,x + 2,x + 3,那么/(x)的最小值为)A. 2.5B. 3C. 4D. 5【答案】B【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数y = -d+4 , y = -x + 2, y=x+3的图象，因为x) = max-+4,_x + 2,x + 3,所以的图象如图实线所示：叱二 0)可得A(T,3)，由工1。)可得B(冬岑),由图知/(%)在(f,T)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，在。，
2、与上单调递减，在(与,+8上单 调递增，所以当X = T时，y = (1+4 = 3,所以“X)的最小值为3,应选：B.2.2022 北京石景山曲线G的方程为/ + 丁=1,过平面上一点 0；当xl时，/(X)。恒成立.假设存在，求出。；假设不存在，请说明理由.【答案】1)证明见解析；(2)存在，。=2.【详解】(1) f(x)= (x-x +1 = (x-l)(eV-1 -1), xeR,当x1 时，x-1 0 ,己1一10,那么/(x)。；当xvl时 xIvO, ev-1 -l0,当x = l时，/(1)=。.所以当xgR时，/Xx)0, 在R上是增函数，又/=。，所以当时,/(%)/(1
3、)=0；当xvl时,f(x)0,又/(x) = max(x), g(x)2/(x),所以当xNl时，/。)0恒成立.由于当Tv九1时，/。)0恒成立，故尸。注。等价于：当-Ivxvl时，g(x)2。恒成立.g(x) = a-cosx-,g(x) = sinx +7 .(x + 1)2当一1 vxvO口寸,当一1 vxvO口寸,当0xl时,-1 sin x 1，故 g。) 。；0 0 ,故 g(x) 0 .(尤 + 1)从而当-ixo,炉(X)单调递增.假设，0,即，WC0S1 + ；,那么当X(1, 1)时，g(x)。，即。COSl+不，取-1,-1+-, 2 V tz + lj那么-1 -1
4、 + 0 ,且/() = -cosZ? 6Z + 1 0,Q +1/? +1/? +1故存在唯一x(-1，1),满足g(Xo)=。，当次(-1，X。)时，g(x)0, g(x)单调递增.假设/。，那么当xc(x。，。)时，g(x)单调递增，g(x)。)有“飘移点，求。的取值范围.【答案】1)有，/=。； (2)没有，理由见解析；(3(0,2).【详解】解：(1)函数/(x) = V有“飘移点，理由如下：设/(%) = /在定义域内有“飘移点 后,所以%+1) = /) + /(1),即(% + 1)2=考+1,解得7=0,所以函数/(x) = f有“飘移点 0；(2)函数/。)=，没有“飘移点
5、，理由如下: x设/(x) = L在定义域内有“飘移点 马, X所以/(%+1)=/(/)+/(1),即仁=;+1,“0 十“0那么x；+%o + l = O,方程无解，所以函数/(x) = L没有“飘移点.函数/(x) = ln(。)的定义域为x|x”,因为/(x) = ln一(。0)在定义域内有“飘移点，( ( 所以/+1) = /(%0)+ /，即In =ln +lng,=- ，即=-77 %+2 2 x0 +1J x0 +2 2(x0 + 1)因为q0, _1_ a加以 x0+ 2 2(/+ 1)可口么(Q 2)x()=2-2q , 当。=2时，方程无解, 所以。w2,.,.2 2i那
6、么不=不，因为函数/(x) = ln(o)的定义域为卜|%一1,u 2-2a1 nn a n故-1,即一-o, a 2a 2解得02, neNJ ,两式相减得3一4=3,那么a=32- (n2, hgNJ .当 =1时，b、=3,符合上式, 所以a=3?一 （N+）.（2）由1）知g=（2一1） +左（2 ） = （2 攵） + 2左一1.那么数列%是等差数列.因为对任意的正整数都有S 013 5攵01311解得13 11即实数的取值范围是亍了（2021 全国高二课时练习）任取一个正整数，假设是奇数，就将该数乘3再加上1；假设是偶数, 就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进
7、入循环圈1一4一2 1.这就是数学史 上著名的“冰雹猜测（又称“角谷猜测等）.如取正整数机=6,根据上述运算法那么得出6-310 5-16-8-4-2-1,共需经过8个步骤变成1简称为8步“雹程）,一. 当a为偶时现给出冰雹猜测的递推关系如下：数列满足：4=根加为正整数，向=23%+ 1,当q为奇数时（1）当机=17时，试确定使得%=1需要多少步雹程;（2）假设4=1,求机所有可能的取值集合【答案】 12； M = 2,3,16,20,21,128.【详解】当加=17时，即根据上述运算法得出：故当初=17时,使得% =1需要12步雹程；2）假设/=】，根据上述运算法进行逆推，% =2,a6=
8、4, a5 = 8 或% =1 ；假设。5 =8,那么4 =16吗=32或% =5；当 a3 = 32 时，= 64, a = 128 或 q = 21 ；假设q = 5时,4=1，4 = 2。或q = 3；当。5 = 1，那么 / = 2,% = 4,g=8 或% = 1;当外 =8时，0=16；当 2 = 1 时,4=2, 故4 =1,根所有可能的取值集合河=2,3,16,20,21,128.19. （2021 江苏丹阳高三月考）项数为皿根叱,旧2）的数列q满足如下条件：% N*（ = 1,2,4生品.假设数列也满足+6+：金）一%wN*,其中 =12,加,那么称也为4的m 1“心灵契合数
9、列.（I）数列1, 5, 9, 11, 15是否存在“心灵契合数列假设存在，写出其心灵契合数列，假设不存在请说明理由；（II）假设也为%的“心灵契合数列，判断数列也的单调性，并予以证明；（III）数列q存在“心灵契合数列也,且4=1,= 1025 ,求机的最大值.【答案】I）不存在，理由见解析；（II）单调递减，证明见解析；（HI） 33【详解】（I数列1, 5, 9, 11, 15不存在“心灵契合数列因为 1 + 5 + 9 + 11 + 15 = 41,.41 1* j 41 - 5 八 *h = 10e N , h = 9 g N ,15-1-5-141-9 5-141-9 5-1= 8
10、eN b4 =41-115-1所以数列1, 5, 9, 11, 15不存在“心灵契合数歹/ II）数列帆为单调递减数列.因为2+i=之11，lnm-l, eN* ,又因为 华4，所以有4 一4+1 ，/7 a所以2+=优 勿成立所以数列也为单调递减数列.(III) Vlzy用 1%.所以 bbjeN*,- - a ： 一*所以.A =kN*， m-1024m-1eN*因为履2=殳二竽N*, m-1所以见一N加一1,乂%_%=(4 -%-1) +(4-| -4-2) + +(4 -4)(m-l) + (/n-l)dF(m-1) = (m-1)2 ,1024那么(加一 41024,即m33, gN
11、 所以根433. m-1例如：a =32n-31(ln33),此时,此时,hn =32=-H + 530 eN：r,且也为单调递减数列，故满足题意.所以加的最大值是33.=5- 4cos(a - ) 3 = 1 + 2 ,同理可得：% =1 AA+Jmax = 2T + 211 _ 1工2- + 2“ 3 X 2t .数歹卜一 的前n项和S“ =；x + =(h一：UJ3 ,3122那么满足3-弓=一=0(2021安徽 冻至县第二中学(文)定义sgn(x)= 0,x =。，int(x)为不超过x的最大整数，例如int(3.l) = 3,-l,x。；当时，r（x）o；上单调递增，在上单调递减,.
12、(初侬=/()= 1+2,(12又/二=-2e- + m,2/(/)=+ 根，.a)而 n=2/+2,c由“稳定函数定义可知：2/（工）./（同皿，即2（-2/+2）, + 2,1o解得：相4/+,即实数m的取值范围为4/ eI应选：D.5. （2021 河南驻马店理）设函数y = 和y = 假设两函数在区间加河上的单调性相同,那么把区间加可叫做y = /（%）的“稳定区间.区间1,2021为函数），=数。的可能取值是a 3 c 5nA.B. C. -D4326【答案】B【详解】和 f (-X)= F +q ,当两个函数同增时，此时(1X+ , 在区间L 2021上恒成立,即（-3、a01_L
13、、 min，即-3工-工3当两个函数都是减函数时，止匕时X+ , 在区间1,2021上恒成立，即“a一）此时无解,综上可知：-3r/bcB. cbaC. acbl). b a c【答案】B【详解】由 g(x) = 2x 得 g1x) = 2,解方程 g(%) = gx),即 2% = 2,得 x = l,即 =1；由%(%) = %得(x) = L 解方程(%) = (%)，即lnx = L 令/(x) = lnx L 显然尸在(0,+g)单调递 XXX增，F(l) = -llnV-1 = 0,那么存在x e(1,2),使得/(%)=。，即 142； 乙乙由0(x) = x3(xwO)得”(尤
14、)=3X2,解方程e(x) = d(x),即x3 =3=2(xwO),得 = 3,即c = 3,所以应选：B6. (2021 全国)假设函数y = /(x)在区间。上是增函数，且函数y = /(x)在区间上也是增函数(其 中/(九)是函数/(x)的导函数)，那么称函数y = /(x)是区间。上“快增函数，区间。叫做“快增区间. 那么函数x) = sin2% + 2sin%在区间0,冗上的“快增区间为)【答案】A【详解】解：/(x) = sin2x+2sina:, xgO,1 ,所以/x) = 2sinxcosx+2cosx = 2cosx(sinx+l),因为sinx+lNO恒 成立，当xeo
15、，m时cosX20,所以/(%)之0,所以/(%)为增函数，(九 当-.71时-COSX0,对区间,切上任意划分：a = xQx -xn_ixn =b9和式2（七）一/（41）区M恒成立，那么称= /（%）为。力上的“绝对差有界函数，注：=4+4+/+ 4，假设/(x) = sinx + cosx , g(x) = Z = 171XCOS 2x0-1 0x = 0那么关于函数y = /。）、y = g。）在上是否为“绝对差有界函数的判断正确的选项是（y = /(x)与 y = g(x)者B是A. y = /(x)是而 y = g(x)不是)，= /。)不是而了 = 8。)是B. y = /(x
16、)与 y = g(x)都不是【答案】B【详解】函 数 /(x) = sin x + cos x = V2 sin x + I 4 )显然/（x）在上单调递增,对区间一1,0上任意划分：1 = /芯v七1=。，那么 |一（七）一/Q,t）| = /（x,） /（%_） ，= 1,2,）,nI （71 A所以21/（七）一/（4工=工（/（为）一/（4|）=/（七）一/（%。）= /（）/（T）= J&sin -1 3, i=i=I 47取M=3,对区间TO上任意划分：1 =xtz=。，|/（七） /（4J|/恒成立,Z=1故/（X）在T,o上是“绝对差有界函数；对于函数g（x） = 兀 1 ,
17、rxcos x。）满足条件,故g（x）在TO上不是“绝对差有界函数.应选：B.9. （2021 天津市第五十四中学高三期中）假设对于定义在R上的函数/（x）,当且仅当存在有限个非零自变量工,使得/（-%） = /（%）,那么称/（%）为类偶函数,假设函数/3 = /+（/一4一为类偶函数，那么。的取值范围为()A. (-2,2)B. (8,2U2,y)C. 0,2D. (-00,052, + oo)【答案】A【详解】由 f (-X)= /(x),得一V _(2 _4)X Q = X3 +(q2 -4)x-Z ,即 x3 +(/ -4)x = 0 ,根据类偶函数的定义，可知方程丁+(/_4口 =
18、 0存在有限个非零的实数解，故(2_4) = -2存在有限个非零的实数解，那么2_40,解得2”2,即。的取值范围为(一2,2).应选：A.10. 2021 吉林吉林高三月考(理)密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的z二称为1密位. oOOO用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在 百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如15密位记为“00-15，1个平角=30-00, 1个周角=60 -00.函数%) = %+2cosx,那么函数八)的最小值用密位制表示为()A. 15-00B. 30-00C. 05-00D. 10-0
19、0【答案】A【详解】由题知，/(x) = x+2cosx, xe 0,y令 r(x)=o 得 x=g oX)在0,-上单调递增，在上单调递递减 k 6J6 2)又() = 2,，图 g，即/图 0)./(X)的最小值为彳设g的密位为加271由密位制的定义可得：m 26000 2万解得：m= 1500二八X)的最小值彳用密位制表示为15-00.应选：A.11. (2021 黑龙江佳木斯一中高三月考(文)假设函数y = /(x)在定义域内的图象上的所有点均在 直线y 的下方，那么称函数y = /(x)为定义域内f的“下界函数.假设函数”x)=(Lx)e-2为定义域 内，Z)的“下界函数，那么，的最
20、大值减去,的最小值等于()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【详解】解：因为函数=2为定义域内，的“下界函数，即有力，恒成立,即/(力皿恒成立,因为=/ (，1)所以当时/(x)。，当时/(x)。，即/(同在(8J-1)上单调递增，在(-1,y)上单调递减，所以/(h3=/(1) = 61-2,依题意即-2“ 令 g(/) = eT 一 2七那么g) = ei1,因为g) = eil在定义域上单调递增，且g=0,所以当，1时 g。，1时ga)。，所以g(。在(口)上单调递减，在a+8)上单调递增，又g(-2)0, g(-l)0, g(2)0, g(3)0, g的函数图象如下所示:因为让
21、Z,所以T0,1,2,所以x% =2 (1) = 3 应选：B12. 2021 内蒙古赤峰二中(理)假设直角坐标平面内A、B两点满足点A、8都在函数八司的 图象上；点4、8关于原点对称，那么点(A3)是函数/(x)的一个“姊妹点对”.点对(A3)与(氏A)可 x2 +2x(x0)看作是同一个“姊妹点对，函数小)=2/八、，那么小)的“姊妹点对有 小。)A. 0个B.1个C.2个D. 3个【答案】C【详解】解：根据题意可知，“姊妹点对满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可作出函数y = x2+2x(xv0)的图像关于原点对称的图像，看它与函数y = ：(x20)交点个数即可.如下图:
22、2当户1时，。七 1e观察图象可得：它们有2个交点.应选：C.二、填空题13. （2021 内蒙古宁城理）假设/（的图像上存在两点AB关于原点对称，那么点对AM称为函数/（不）的“友情点对（点对A3与民用视为同一个“友情点对.假设/（x） = Fnx，Y,恰有两 ax ,x。个“友情点对，那么实数。的取值范围是.【答案】（0,-）e【详解】解：y = ax2（x 0）.j = x3 Inxx 0）的图像与y = -加（工2。）的交点个数即为方程启内=一江（工（）根的个数，即一 = xln%.设 y = xlnx ,于是 y =lnx+l当 次（0,）时，y 0, y = xlnx 单调递增；e
23、当 二，时，函数y = xlnx取最小值-L ee于是作出y = xlnx的图像如下图.即。，时y = -a与y = xlnx有两个交点，原函数有两对“友情对点.故实数。的取值 ee范围是（0,-）e故答案为：（。,-）e（2021 全国）假设集合至少含有两个元素实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2,那么称为成功集合，集合S = 1,2,3,10,那么s的子集中共有 个“成功集合.【答案】49【详解】设集合12,（之2）的子集中有个成功集合,那么%=q=0, %=1.对于25时，可将满足要求的子集分为两类：一类是含有的子集，去掉后剩下小于-2的单元素子集或12,-3满足要求的子集，前者
24、有3个,后者有乙一3个；另一类是不含的子集，即工2,-1满足要求的子集，有a,-个.于是，4 =（ - 3） +一3 + 一1 从而根据递推关系得：% = 3 ,6=6 , % =11, 8=19, a9 =31,。0=49,故答案为：49三、解答题14. (2021 上海南汇中学高三期中)对于定义在。上的函数/(x),假设对任意qeA,不等式+ 对一切恒成立，那么称函数X)是 A控制函数.当4 = 7,判断耳=一2%、g(x) = 6x+l是否是“ A控制函数； 当4 = (1,2)，/(x) = log2 Lr + - , xgzta-fw),假设函数/(x)是“ A控制函数，求正数2的取
25、值 x)范围； 当4 = -2/,止1,3,5,。为整数集,假设函数是 A控制函数且均为常值函数，求所有 符合条件的1的值.【答案】 /(%)是,g(x)不是 19+OO) 1, 3, 5二O) =-2x为减函数，. (x) gX- 1), g(x) = 6%+l不具有力性质; 依题意，对任意。金(1,2), fwr户m恒成立，丁 /(x) = log2 x + 一，&+00)应满足/。)(x + Q) x)而y = log2X为增函数，2所以 k(x) = x + 在 x 卜 -KX)应满足 k(m) 02化简可得 X,X即对于任意(1,2), XGzn,+oo),都有，_%恒成立,x_2而= -%在工引一)上是减函数， x2故只需12“即可，m解得mN /或mW -2 (舍去)故当勿21时，函数满足对任意(1,2), f外恒成立，