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1、结构力学龙驭球第八章第1页，本讲稿共28页(4)(4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。(2)利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程；(3)解方程求出结点位移解方程求出结点位移；2.2.基本体系基本体系法法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。(1)确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附加刚臂和附别加上阻止转动的刚臂和阻止
2、移动的支座链杆，附加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量；加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量；(2)由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kij j+Fi p=0(=0(i,j=1,2,n)；(3)在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移位位移j=1下的弯矩图下的弯矩图 及荷载作用下的弯矩图及荷载作用下的弯矩图MP 步骤：步骤：第八章第八章 位移法位移法总结总结第2页，本讲稿共28页由平衡条件求出系数由平衡条件求出系数kij和自由项和自由项Fi P；注意：一切计算注意：一切计算都
3、是在基本结构上进都是在基本结构上进行行!三、几个值得注意的问题三、几个值得注意的问题 (4)从材料性质看，只能用于弹性材料。从材料性质看，只能用于弹性材料。1.位移法的适用条件位移法的适用条件 (1)位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；(2)既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形；既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形；(3)可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构；结构；(5)按叠加原理计算杆端弯矩。按叠加原理计算杆端弯矩。(4)解方程求解方程求j；第八章第八章
4、 位移法位移法总结总结第3页，本讲稿共28页 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点线位移数。线位移数。2 2、位移法基本未知量的选取原则、位移法基本未知量的选取原则 (1)独立的结点角位移数目的确定：独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生角位为使结点不发生角位移，需要在结点施加附加刚臂，移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数附加刚臂数等于全部刚结点等于全部刚结点和半铰结点的结点转角数目。和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结点的角位移不作为但需注意：铰结点的角位移不作为基本未知量。基本未知量。例如图例如图a中中，
5、A为刚结点，为刚结点，B为半铰结点，故有两个独为半铰结点，故有两个独立角位移；而图立角位移；而图b中中B为刚结点，为刚结点，A为铰结点，故只取为铰结点，故只取B 点转角为点转角为独立角位移。独立角位移。第八章第八章 位移法位移法总结总结第4页，本讲稿共28页 与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基本与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基本未知量，应根据具体情况区别对待。图未知量，应根据具体情况区别对待。图a中中AB杆刚度无穷大，杆刚度无穷大，A=B=0，因此基本未知量只有一个线位移，因此基本未知量只有一个线位移；而图；而图b中有一中有一个角位移未知量。个角位移未知量。第八章第八章
6、位移法位移法总结总结第5页，本讲稿共28页 (2)独立的结点线位移的确定独立的结点线位移的确定较复杂，基本可以根据以较复杂，基本可以根据以下原则确定：下原则确定：附加链杆法。附加链杆法。在结点施加附加链杆，使其不发生线位移，在结点施加附加链杆，使其不发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。应用此法时则附加链杆数即为独立结点线位移数。应用此法时应注意应注意，自，自由端、滑动支承端或滚轴支承端的与杆轴垂直方向的线位由端、滑动支承端或滚轴支承端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。移不作为基本未知量。铰化法。铰化法。将刚架中的刚结点（包括固定端）变成将刚架中的刚结点（包括固定端）变成铰结点
7、，成为铰接体系，其自由度数即为独立线位移铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立线位移数。数。第八章第八章 位移法位移法总结总结第6页，本讲稿共28页 如，忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，无论梁如，忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而各柱顶有相同是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而各柱顶有相同的水平线位移。图的水平线位移。图a中中A、C 点的水平位移相同，结构只有一点的水平位移相同，结构只有一个位移未知量个位移未知量。第八章第八章 位移法位移法总结总结第7页，本讲稿共28页3.静定部分的处理静定部分的处理 例如，图例如，图a中中AB为静定部分，
8、很容易画出该部分的弯矩为静定部分，很容易画出该部分的弯矩图，将图，将MBA=Fa 反作用于反作用于B点，再计算点，再计算B点以右部分即可点以右部分即可（图（图b）。）。第八章第八章 位移法位移法总结总结第8页，本讲稿共28页 如图如图a所示，所示，可把与悬臂部分相连的杆件可把与悬臂部分相连的杆件BA看作是看作是在在A端铰接端铰接B端固定的单跨超静定梁（图端固定的单跨超静定梁（图b）。）。4.半铰悬臂的情况半铰悬臂的情况第八章第八章 位移法位移法总结总结第9页，本讲稿共28页 图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知量只有一图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知量只有一个个 B B。实
9、际上。实际上B结点处，梁端与柱端转角均不同，结点处，梁端与柱端转角均不同，C支杆由于弹性支杆由于弹性也可水平向移动，故基本未知量应为也可水平向移动，故基本未知量应为 B、B及及C。5.当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定第八章第八章 位移法位移法总结总结第10页，本讲稿共28页 如图，将如图，将BD杆分为杆分为BC和和CD两根杆件，则本题有三个未知量两根杆件，则本题有三个未知量 B，C，C。6.一根直杆的刚度不同时一根直杆的刚度不同时,位移基本未知量的位移基本未知量的确定确定第八章第八章 位移法位移法总结总结第11页，本讲稿共28页例：例：作
10、图作图a所示结构弯矩图，各杆所示结构弯矩图，各杆EI=常数。常数。7.有的超静定结构也有基本部分和附属部分有的超静定结构也有基本部分和附属部分,求解时求解时先解附属部分先解附属部分,再解基本部分再解基本部分 解：解：本题中刚架本题中刚架ECFHG是基本部分是基本部分，CBA是附属部分。首是附属部分。首先求附属部分：由于先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故可将点无水平和竖向线位移，故可将CBA化化为图为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所示。所示。第八章第八章 位移法位移法总结总结第12页，本讲稿共28页 再求基本部分：将附属部分的再求基本部分：将附属
11、部分的C点支座反力反作用于点支座反力反作用于基本部分。基本部分。最后的最后的M图如图图如图d d所示。所示。思考：思考：为什么基本部分各杆的弯矩为零？为什么基本部分各杆的弯矩为零？第八章第八章 位移法位移法总结总结第13页，本讲稿共28页8.斜刚架的计算。斜刚架的计算。例：例：作图作图a所示斜刚架的所示斜刚架的M图。图。解：解：本题有两个未知量，本题有两个未知量，B点的转角点的转角1和和C点的侧移点的侧移2，两个，两个附加约束如图附加约束如图b所示所示，由，由M1图和图和MP图易得图易得 F1P=0,F2P=-F,k11=10i计算计算 k12，k22:第八章第八章 位移法位移法总结总结第14
12、页，本讲稿共28页 (1)求求B和和2 之间的几何关系。之间的几何关系。取取BC杆研究（图杆研究（图e），发），发生侧移后，生侧移后，B点移至点移至B1，C点移至点移至C1。B在在BC杆上的水平投影杆上的水平投影为为BB2=B cos45。仅从水平方向观察可以看出仅从水平方向观察可以看出BC杆由原来的位置平移至杆由原来的位置平移至B2C1的位的位置，由于杆件不伸长，因此有置，由于杆件不伸长，因此有BB2=CC1 即即 又由于又由于 BB3是是BB1在垂直在垂直BC杆方向的投影，因此杆方向的投影，因此 B cos45=2BB3=B sin45=2 当当C点有水平向右的侧移点有水平向右的侧移2时，
13、时，B点将沿垂直于点将沿垂直于AB杆的方杆的方向运动向运动（图（图d），其中其中2和和B之间具有一定的几何关系。之间具有一定的几何关系。第八章第八章 位移法位移法总结总结第15页，本讲稿共28页 而而AB杆两端的相对侧移为杆两端的相对侧移为BB3，因此，因此 (2)作作M2图。图。由以上叙述可知由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移杆两端有相对侧移BB3，因此在，因此在图图f中中第八章第八章 位移法位移法总结总结第16页，本讲稿共28页(3)求求 k21=k12，k22。由。由M2图易得图易得，能求出轴力，能求出轴力FN。求求k22时取图时取图f中的中的BC 杆为隔离体（图杆为隔离体（图g），由
14、），由 再由再由 求出求出 第八章第八章 位移法位移法总结总结第17页，本讲稿共28页将系数带入位移法方程解得将系数带入位移法方程解得最后弯矩图如图最后弯矩图如图h所示。所示。本题在求解斜杆时应注意以下几点：本题在求解斜杆时应注意以下几点：第八章第八章 位移法位移法总结总结第18页，本讲稿共28页 由于刚架是斜的，由于刚架是斜的，BC杆不仅发生平动，还有一定的杆不仅发生平动，还有一定的转动，因此转动，因此BC杆两端有相对线位移。杆两端有相对线位移。求求FN时，对时，对C点取矩，不应漏掉刚臂上的力，因点取矩，不应漏掉刚臂上的力，因为只有加上该力，隔离体才可保持平衡。为只有加上该力，隔离体才可保持
15、平衡。计算计算M2时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因此建时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因此建立平衡方程时两者都要考虑。立平衡方程时两者都要考虑。第八章第八章 位移法位移法总结总结第19页，本讲稿共28页例：例：图图a 所示结构，所示结构，EI=常数，求结点常数，求结点K的转角。的转角。四、对称性的利用四、对称性的利用解：解：（1）作作M图图 此结构沿此结构沿45角斜线角斜线mn 对称，过对称，过C点的点的45方向斜线方向斜线mn,为此结为此结构的对称轴（构的对称轴（图图b），结点，结点C的转角为零。取半个结构如图的转角为零。取半个结构如图c c所示。所示。第八章第八章 位移法位移法总结总结第20
16、页，本讲稿共28页 再将图再将图c c荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半结够如图荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半结够如图d d（正对称（正对称 ）、图）、图e(e(反对称）所示。由叠加得：反对称）所示。由叠加得：（上拉）（上拉）（上拉）（上拉）（左拉）（左拉）（右拉）（右拉）第八章第八章 位移法位移法总结总结第21页，本讲稿共28页 结构结构M图图如如图图f所示。所示。第八章第八章 位移法位移法总结总结第22页，本讲稿共28页 2.求求K截面的转角截面的转角取图取图g所示的静定结构，在所示的静定结构，在K处加单位力作处加单位力作 图。图。（）另：另：取图取图h所示的静定结构，图乘时则
17、更简便。所示的静定结构，图乘时则更简便。第八章第八章 位移法位移法总结总结第23页，本讲稿共28页例例:用位移法作图用位移法作图a 所示单跨梁弯矩图，所示单跨梁弯矩图，k=i=EIl。解解：基本结构如图：基本结构如图b所示，基本未知量为所示，基本未知量为A端角位移。端角位移。将系数将系数 k11=3i+i=4i，,代入位移法方程代入位移法方程 五、弹性支撑超静定结构的计算五、弹性支撑超静定结构的计算第八章第八章 位移法位移法总结总结第24页，本讲稿共28页得得 按叠加原理按叠加原理 作出弯矩图，如图作出弯矩图，如图d所示。所示。第八章第八章 位移法位移法总结总结第25页，本讲稿共28页六、用位
18、移法求超静定结构的位移六、用位移法求超静定结构的位移 例：例：图图a 所示单跨梁，左端发生角位移所示单跨梁，左端发生角位移，求梁中点竖向，求梁中点竖向位移（向下为正）。位移（向下为正）。解解：直接画出：直接画出MP图如图如图图b所示所示，求，求C点的竖向位移时只需点的竖向位移时只需要在对应的静定结构中点加单位力（图要在对应的静定结构中点加单位力（图c），用图乘法可得），用图乘法可得 第八章第八章 位移法位移法总结总结第26页，本讲稿共28页例例:求图求图a 所示结构所示结构C点的竖向位移点的竖向位移CV。解解:该结构可以分解为正对称和反对称两部分（图该结构可以分解为正对称和反对称两部分（图b、
19、图、图c）。）。正正对称部分对称部分 两者相加得两者相加得反对称部分反对称部分CV=0，第八章第八章 位移法位移法总结总结第27页，本讲稿共28页七、力法与位移法的比较七、力法与位移法的比较 1相同之处相同之处 二者都要考虑力系的平衡条件和结构的变形协调条件。二者都要考虑力系的平衡条件和结构的变形协调条件。2不同之处不同之处 从基本未知量看，力法取的是力从基本未知量看，力法取的是力多余未知力；位移法取多余未知力；位移法取的是位移的是位移独立的结点位移，因此求超静定结构的位移时，独立的结点位移，因此求超静定结构的位移时，通常用位移法较方便。通常用位移法较方便。从基本体系看从基本体系看,力法是去约束，位移法是加约束。力法是去约束，位移法是加约束。从基本方程看，力法是位移协调方程，方程的系数是位移，位移从基本方程看，力法是位移协调方程，方程的系数是位移，位移法是力系平衡方程，其系数是力。力法只能分析超静定结构，位移法法是力系平衡方程，其系数是力。力法只能分析超静定结构，位移法则通用于分析静定和超静定结构。则通用于分析静定和超静定结构。第八章第八章 位移法位移法总结总结第28页，本讲稿共28页