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1、第四章正交矩阵第1页，本讲稿共21页2一、的标准正交基和正交矩阵平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和(0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这个标架得到新的标架 ,这两个向量仍然正交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交基.定义定义 中的中的n个向量个向量 的向量组的向量组,如果两两正交如果两两正交,并且每个向量的长度为并且每个向量的长度为1,则称则称为一个标准正交基为一个标准正交基.第2页，本讲稿共21页3第3页，本讲稿共21页4经典标架绕z轴旋转第4页，本讲稿共21页5我们知道一个标准正交基必定是一个线性无关的向量组,而n+1个n维向量必
2、定线性相关,故每个n维向量必定可以用标准正交基线性表示设是一个标准正交基,组成行列式第5页，本讲稿共21页6定义定义 如果如果 则称则称Q为正交矩阵为正交矩阵.第6页，本讲稿共21页7对于正交矩阵 Q,所以有正交矩阵等价定义正交矩阵等价定义列向量组是标准正交基列向量组是标准正交基行向量组是标准正交基行向量组是标准正交基第7页，本讲稿共21页8例例 设A是n阶正交矩阵，则对于任意n维向量 x有证明例例若对于任意n维向量 x有 则对于任意n维向量 有 证明证明第8页，本讲稿共21页9例例 若对于任意任意n维向量 x有 则A是正交矩阵.证明记证明记A的列向量为的列向量为为 的标准基,则根据上个例题,
3、即A的列向量组成的列向量组成 的一个标准正交基的一个标准正交基,故故A为正交矩阵为正交矩阵.第9页，本讲稿共21页10例例设 是 的一个标准正交基,向量 则证明第10页，本讲稿共21页11二、两组标准正交基之间的过渡矩阵设 和 是 的两个标准正交基,并且有关系 Q 的列向量正交,Q为正交矩阵.定理定理 两组标准正交基之间的过渡矩阵为两组标准正交基之间的过渡矩阵为 正交矩阵正交矩阵第11页，本讲稿共21页12定理定理 正交矩阵的行列式等于正交矩阵的行列式等于1.证明 定理定理 正交矩阵正交矩阵P,Q的乘积的乘积PQ是正交矩阵是正交矩阵.证明三、正交矩阵的性质第12页，本讲稿共21页13行向量组是
4、标准正交基行向量组是标准正交基列向量组是标准正交基列向量组是标准正交基正交矩阵的等价性质第13页，本讲稿共21页14四 施密特标准正交基的求法定理定理 对于一个线性无关的向量组对于一个线性无关的向量组,可以求得一可以求得一个等价的正交向量组个等价的正交向量组,并且过渡矩阵为三角矩阵并且过渡矩阵为三角矩阵.证明 设 是线性无关向量组,取取 与 正交,即取一般地,令第14页，本讲稿共21页15第15页，本讲稿共21页16以s=3为例,说明合理性有意义.可用 线性表示.而可用 线性表示.否则，可用 线性表示,此与 线性无关矛盾.第16页，本讲稿共21页17第17页，本讲稿共21页18证明 任意两个正交设 互相正交，则对于第18页，本讲稿共21页19例 设 为 的一组基，将其化为标准正交基。解 先正交化，再标准化，第19页，本讲稿共21页20第20页，本讲稿共21页21作业习题四18-24，25（1）,26第21页，本讲稿共21页