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1、重点题型训练三二次函数中的存在性问题题型一题型一 二次函数中几何图形面积问题二次函数中几何图形面积问题1.(20191.(2019凉山州中考凉山州中考)如图如图,抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象的图象过点过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式.(2)(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点在抛物线的对称轴上是否存在一点P,P,使得使得PACPAC的的周长最小周长最小,若存在若存在,请求出点请求出点P P的坐标及的坐标及PACPAC的周长的周长;若若不存在不存在,请说明理由请
2、说明理由;(3)(3)在在(2)(2)的条件下的条件下,在在x x轴上方的抛物线上是否存在点轴上方的抛物线上是否存在点M(M(不与不与C C点重合点重合),),使得使得S SPAMPAM=S=SPACPAC?若存在若存在,请求出点请求出点M M的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.【解析解析】(1)(1)抛物线与抛物线与x x轴交于点轴交于点A(-1,0),B(3,0),A(-1,0),B(3,0),可设交点式为可设交点式为y=a(x+1)(x-3),y=a(x+1)(x-3),把点把点C(0,3)C(0,3)代入得代入得:-3a=3,a=-1,:-3a=3,a=-1,y=-(
3、x+1)(x-3)=-xy=-(x+1)(x-3)=-x2 2+2x+3,+2x+3,抛物线解析式为抛物线解析式为y=-xy=-x2 2+2x+3.+2x+3.(2)(2)略略(3)(3)略略题型二题型二 二次函数与等腰三角形的综合问题二次函数与等腰三角形的综合问题2.(20192.(2019眉山中考眉山中考)如图如图1,1,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物抛物线线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(-5,0)A(-5,0)和点和点B(1,0).B(1,0).世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)(1)求抛物线的解析式及顶点求抛物线的解析式及顶点D D的坐标的坐标.
4、(2)(2)点点P P是抛物线上是抛物线上A,DA,D之间的一点之间的一点,过点过点P P作作PExPEx轴于轴于点点E,PGyE,PGy轴轴,交抛物线于点交抛物线于点G.G.过点过点G G作作GFxGFx轴于点轴于点F.F.当矩形当矩形PEFGPEFG的周长最大时的周长最大时,求点求点P P的横坐标的横坐标.(3)(3)如图如图2,2,连接连接AD,BD,AD,BD,点点M M在线段在线段ABAB上上(不与不与A,BA,B重合重合),),作作DMN=DBA,MNDMN=DBA,MN交线段交线段ADAD于点于点N,N,是否存在点是否存在点M,M,使得使得DMNDMN为等腰三角形为等腰三角形?若
5、存在若存在,求出求出ANAN的长的长;若不存在若不存在,请请说明理由说明理由.【解析解析】(1)(1)抛物线的解析式为抛物线的解析式为:y=-(x+5)(x-1):y=-(x+5)(x-1)=配方得配方得:y=-(x+2):y=-(x+2)2 2+4,+4,顶点顶点D D的坐标为的坐标为(-2,4).(-2,4).(2)(2)设点设点P P的坐标为的坐标为 ,-5a-2,-5a-2,则则PE=,PG=2PE=,PG=2(-2-a)=-4-2a.(-2-a)=-4-2a.矩形矩形PEFGPEFG的周长为的周长为2(PE+PG)=2(PE+PG)=-0,-0,当当a=-a=-时时,矩形矩形PEFG
6、PEFG的周长最大的周长最大,此时此时,点点P P的横坐标为的横坐标为-.-.(3)(3)略略题型三题型三 二次函数与直角三角形的问题二次函数与直角三角形的问题3.(20193.(2019潮州饶平县期末潮州饶平县期末)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx-3+bx-3交交x x轴于点轴于点A(-3,0),B(1,0),A(-3,0),B(1,0),在在y y轴轴上有一点上有一点E(0,1),E(0,1),连接连接AE.AE.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求二次函数的解析式求二次函数的解析式.(2)(2)若点若点D D为抛物线在为
7、抛物线在x x轴负半轴下方的一个动点轴负半轴下方的一个动点,求求ADEADE面积的最大值面积的最大值.(3)(3)抛物线对称轴上是否存在点抛物线对称轴上是否存在点P,P,使使AEPAEP为等腰三角为等腰三角形形?若存在若存在,请直接写出所有请直接写出所有P P点的坐标点的坐标;若不存在若不存在,请说请说明理由明理由.【解析解析】(1)(1)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx-3+bx-3经过点经过点A(-3,0),A(-3,0),B(1,0),B(1,0),解得解得:二次函数解析式为二次函数解析式为y=xy=x2 2+2x-3.+2x-3.(2)(2)略略(3)(3)略略题型四题型四
8、 二次函数与四边形的问题二次函数与四边形的问题4.(20194.(2019安徽模拟安徽模拟)已知已知:如图所示如图所示,在平面直角坐标在平面直角坐标系系xOyxOy中中,四边形四边形OABCOABC是矩形是矩形,OA=4,OC=3,OA=4,OC=3,动点动点P P从点从点C C出出发发,沿射线沿射线CBCB方向以每秒方向以每秒2 2个单位长度的速度运动个单位长度的速度运动;同时同时,动点动点Q Q从点从点O O出发出发,沿沿x x轴正半轴方向以每秒轴正半轴方向以每秒1 1个单位长度个单位长度的速度运动的速度运动.设点设点P P、点、点Q Q的运动时间为的运动时间为t(s).t(s).(1)(
9、1)当当t=1 st=1 s时时,求经过点求经过点O,P,AO,P,A三点的抛物线的表达式三点的抛物线的表达式.(2)(2)当当t=2 st=2 s时时,求求tanQPAtanQPA的值的值.(3)(3)当线段当线段PQPQ与线段与线段ABAB相交于点相交于点M,M,且且BM=2AMBM=2AM时时,求求t t的值的值.(4)(4)连接连接CQ,CQ,当点当点P,QP,Q在运动过程中在运动过程中,记记CQPCQP与矩形与矩形OABCOABC重叠部分的面积为重叠部分的面积为S,S,求求S S与与t t的函数表达式的函数表达式.【解析解析】(1)(1)当当t=1 st=1 s时时,则则CP=2,C
10、P=2,OC=3,OC=3,四边形四边形OABCOABC是矩形是矩形,P(2,3),P(2,3),且且A(4,0),A(4,0),抛物线过原点抛物线过原点O,O,可设抛物线表达式为可设抛物线表达式为y=axy=ax2 2+bx,+bx,解得解得 过过O,P,AO,P,A三点的抛物线的表达式为三点的抛物线的表达式为y=-xy=-x2 2+3x.+3x.(2)(2)略略(3)(3)略略(4)(4)略略题型五题型五 二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形5.(20195.(2019广东中考广东中考)如图如图1,1,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物抛物线线y=y=与与x x轴交于点轴交于点
11、A,B(A,B(点点A A在点在点B B右右侧侧),),点点D D为抛物线的顶点为抛物线的顶点.点点C C在在y y轴的正半轴上轴的正半轴上,CD,CD交交x x轴于点轴于点F,CADF,CAD绕点绕点C C顺时针旋转得到顺时针旋转得到CFE,CFE,点点A A恰好旋恰好旋转到点转到点F,F,连接连接BE.BE.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求点求点A,B,DA,B,D的坐标的坐标.(2)(2)求证求证:四边形四边形BFCEBFCE是平行四边形是平行四边形.(3)(3)如图如图2,2,过顶点过顶点D D作作DDDD1 1x x 轴于点轴于点D D1 1,点点P P是抛物线上是抛物线上
12、一动点一动点,过点过点P P作作PM xPM x轴轴,点点M M为垂足为垂足,使得使得PAMPAM与与DDDD1 1A A相似相似(不含全等不含全等).).求出一个满足以上条件的点求出一个满足以上条件的点P P的横坐标的横坐标,直接回答这样直接回答这样的点的点P P共有几个共有几个?【解析解析】(1)(1)由由y=y=(x+3)=(x+3)2 2-2 -2 得点得点D D坐标为坐标为(-3,-2 ),(-3,-2 ),令令y=0y=0得得x x1 1=-7,x=-7,x2 2=1,=1,点点B B坐标为坐标为(-7,0),(-7,0),点点A A坐标为坐标为(1,0).(1,0).(2)(2)
13、过点过点D D作作DGyDGy轴交轴交y y轴于点轴于点G,G,设点设点C C坐标为坐标为(0,n),(0,n),DGC=FOC=90DGC=FOC=90,DCG=FCO,DCG=FCO,DGCFOC,DGCFOC,由题意得由题意得CA=CF,CD=CE,DCA=ECF,CA=CF,CD=CE,DCA=ECF,OA=1,DG=3,CG=n+2 ,OA=1,DG=3,CG=n+2 ,COFA,FO=OA=1,COFA,FO=OA=1,解得解得n=,n=,点点C C坐标为坐标为(0,)(0,)(或先设直线或先设直线CDCD的函数解析式为的函数解析式为y=kx+b,y=kx+b,用用D,FD,F两点坐标求出两点坐标求出y=x+,y=x+,再求出点再求出点C C的的坐标坐标),CD=CE=6,),CD=CE=6,tanCFO=,CFO=60tanCFO=,CFO=60,FCAFCA是等边三角形是等边三角形,CFO=ECF,ECBA,CFO=ECF,ECBA,BF=BO-FO=6,CE=BF,BF=BO-FO=6,CE=BF,四边形四边形BFCEBFCE是平行四边形是平行四边形.(3)(3)略略