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1、导弹追踪问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2实验十一导弹追踪问题实验十一导弹追踪问题王汝军王汝军河西学院数学与统计学院河西学院数学与统计学院实验目的实验目的n1进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力。解能力。n2初步研究微分方程解的稳定性和数值解法。初步研究微分方程解的稳定性和数值解法。n3学习掌握用学习掌握用MATLAB软件求解常微分方程数软件求解常微分方程数值解的相关命令。值解的相关命令。3实验内容
2、实验内容 设位于坐标原点的甲舰向位于设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上轴上点点 A（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹始处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0 沿平行于沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是轴的直线行驶，导弹的速度是5 v0，求导弹运行的曲线。当乙舰行驶多，求导弹运行的曲线。当乙舰行驶多远时，导弹将它击中？远时，导弹将它击中？4实验准备实验准备5实验准备实验准备1n2求一维极小的二点二次插值方法求一维极小的二点二次插值方法n设设 是点是点 处的一个搜索方向，要在该方向上寻优问处的一个搜索方向，要在该方向上寻优问题，转化为求一维函
3、数题，转化为求一维函数 的求极值问的求极值问题。题。n最常用的一维搜索方法是插值法，即用某些点的函数值最常用的一维搜索方法是插值法，即用某些点的函数值（或导数值）构造插值函数，用插值函数的极小点来近（或导数值）构造插值函数，用插值函数的极小点来近似函数似函数 的极小点。的极小点。n这里介绍一种有效的插值方法，称为二点二次插值方法，这里介绍一种有效的插值方法，称为二点二次插值方法，即用二点处的函数值和一个点处的导数值构造二次函数，即用二点处的函数值和一个点处的导数值构造二次函数，反复用二次函数的极小点来逼近函数反复用二次函数的极小点来逼近函数 的极小点。的极小点。6实验准备实验准备17实验准备实
4、验准备1n3最速下降法最速下降法n前面介绍了一维搜索的二点二次插值方法，下面讨前面介绍了一维搜索的二点二次插值方法，下面讨论如何选择搜索方向的问题，我们先来看看两个概论如何选择搜索方向的问题，我们先来看看两个概念。念。n定义定义1称称n维向量维向量 为函数为函数 在在 处的梯度，记为处的梯度，记为n定义定义2设设d是任意的单位向量，若极限是任意的单位向量，若极限n存在，则称该极限为函数存在，则称该极限为函数 在在 处沿方向处沿方向d的一阶的一阶方向导数，简称为方向导数，记为方向导数，简称为方向导数，记为，8实验准备实验准备1n最速下降法的基本思想：选取一点最速下降法的基本思想：选取一点 作为初
5、始作为初始点，计算该点的梯度点，计算该点的梯度 ，求该点处的最速，求该点处的最速下降方向，即令下降方向，即令 ，再沿，再沿 方向前方向前进，寻找该方向上的极小点，得到点进，寻找该方向上的极小点，得到点 ，再，再计算计算 ，令，令 ，沿，沿 方向前进，方向前进，得到点得到点 ，如此下去，如此下去具体算法如下具体算法如下9实验准备实验准备110实验准备实验准备1n在算法中，在算法中，为精度要求，即当梯度接近于为精度要求，即当梯度接近于0时，我时，我们就认为达到极小点，终止计算。这样做的目的是们就认为达到极小点，终止计算。这样做的目的是避免算法产生死循环，算法中的一维搜索可用算法避免算法产生死循环，
6、算法中的一维搜索可用算法1来求解。来求解。n最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位。其优点是工作量小，存储变量较中占有重要地位。其优点是工作量小，存储变量较少，初始点要求不高；少，初始点要求不高；n缺点是收敛慢，效率不高，有时达不到最优解。缺点是收敛慢，效率不高，有时达不到最优解。n下面介绍一种简单而直观的方法下面介绍一种简单而直观的方法Newton法。法。11实验准备实验准备112实验准备实验准备113实验准备实验准备214nx=fmin(fun ,x1,x2)求一元函数求一元函数y=f(x)在在 x1,x2 内的极小值内的极小
7、值nx=fmin(fun ,x1,x2,options)同上，参同上，参数数options的定义由表的定义由表1给出给出n x,options =fmin(.)同上，同时返回参同上，同时返回参数数options的值的值nfmin函数采用黄金分割法和抛物线插值法，函数采用黄金分割法和抛物线插值法，fun可可直接用函数表达式表示，也可以是用直接用函数表达式表示，也可以是用M文件定义的文件定义的函数名。函数名。实验准备实验准备215nx=fmins(fun ,x0,options)求多元函数以求多元函数以x0为迭代初值为迭代初值的局部极小值，参数的局部极小值，参数options的定义由表的定义由表1
8、给出给出n x,options =fmins(.)同上，同时返回参数同上，同时返回参数options的值的值nfmins函数采用函数采用NelderMeade单纯形搜索法，单纯形搜索法，fun可直接用函数表可直接用函数表达式表示，也可以是用达式表示，也可以是用M文件定义的函数名。文件定义的函数名。nx=fminu(fun ,x0)求多元函数以求多元函数以x0为迭代初值的局部极小为迭代初值的局部极小值值nx=fminu(fun ,x0,options)同上，参数同上，参数options的定义由的定义由表表1给出给出n x,options =fminu(fun ,x0,.)同上，同时返回参数同上，
9、同时返回参数options的值的值nfminu函数为无约束优化提供了三种算法，由函数为无约束优化提供了三种算法，由options（6）控制，）控制，为步长一维搜索提供了二种算法，由为步长一维搜索提供了二种算法，由options（7）控制。这里，）控制。这里，fminu必须先用必须先用M文件定义函数文件定义函数fun。实验准备实验准备216nfminbnd替代替代fmin求解一元函数极值，使用格式、搜索算法与之相求解一元函数极值，使用格式、搜索算法与之相同，同，x,Fval =fminbnd(fun ,x0,.)同时返回解同时返回解x处的函处的函数值，而不是参数数值，而不是参数options的返
10、回值的返回值nfminsearch替代替代fmins求解多元函数（求解多元函数（1）极值，使用格式、搜索算）极值，使用格式、搜索算法与之相同法与之相同nfminunc替代替代fminu求解多元函数（求解多元函数（1）极值，使用格式、搜索算法）极值，使用格式、搜索算法与之相同与之相同n有关上述命令的详细信息和使用方式可在帮助文件中了解，或在命令有关上述命令的详细信息和使用方式可在帮助文件中了解，或在命令框里输入框里输入help“命令名命令名”查阅。在查阅。在MATLAB5.3以上的各种最新版以上的各种最新版本中本中fmin、fmins和和fminu命令仍然有用，但在命令仍然有用，但在MATLAB
11、的未来版的未来版本将可能删除这些命令。本将可能删除这些命令。实验准备实验准备2n（3）命令中参数）命令中参数options的有关定义的有关定义n在大多数在大多数MATLAB优化命令函数中有一个控制参数优化命令函数中有一个控制参数options，它是一个有，它是一个有18个分量的向量，包含了在个分量的向量，包含了在优化程序中要用到的参数，以便在计算最优值时控优化程序中要用到的参数，以便在计算最优值时控制精度要求、输出形式、搜索算法、迭代次数、步制精度要求、输出形式、搜索算法、迭代次数、步长等等是。在对优化命令函数的第一次调用时，向长等等是。在对优化命令函数的第一次调用时，向量量options会自
12、动使用缺省值；当然在调用前，可会自动使用缺省值；当然在调用前，可以对以对options的某些分量进行赋值，以达到控制要的某些分量进行赋值，以达到控制要求。求。17实验准备实验准备218实验准备实验准备219命令使用命令使用n1MATLAB优化工具箱中解无约束问题的命优化工具箱中解无约束问题的命令和参数令和参数options的基本用法的基本用法202122问题分析及模型建立问题分析及模型建立23问题求解问题求解24问题求解问题求解nx=n 35.8482n 54.7380nfval=n -1.0015e+004n甲种品牌产量为甲种品牌产量为35.8482，乙种品牌产量为，乙种品牌产量为54.7380，最大利润和为，最大利润和为1.0015e+004。n用用fminu可得到同样结果，同时根据参数可得到同样结果，同时根据参数options可观察到函数采用拟牛顿的可观察到函数采用拟牛顿的DFP公式并迭代计算了公式并迭代计算了20次。次。25思考与练习思考与练习26