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1、第第2 2页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2 2页页 这一节将介绍这一节将介绍LaplaceLaplace变换的几个重要性质变换的几个重要性质.为了叙述方便为了叙述方便,假定在这些性质中假定在这些性质中,凡是需要求凡是需要求LaplaceLaplace变换的函数都满足变换的函数都满足LaplaceLaplace积分定理中的积分定理中的条件条件.在证明这些性质时在证明这些性质时,不再重述这些条件不再重述这些条件.说明说明注意和注意和FourierFourier变换比较区分变换比较区分.七、小结七、小结一、线性性质一、线性性质二、二、微分性质微分性质
2、六、六、初值定理与终值定理初值定理与终值定理三、三、积分性质积分性质四四、位移性质位移性质五、五、延迟定理延迟定理第第4 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4 4页页 这个性质表明了函数线性组合的这个性质表明了函数线性组合的LaplaceLaplace变变换等于各个函数换等于各个函数LaplaceLaplace变换的线性组合变换的线性组合.它的它的证明只需根据定义就可推出证明只需根据定义就可推出.一线性性质一线性性质设设a,b a,b 是常数是常数,则则第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5
3、5页页二微分性质二微分性质证明证明:由由LaplaceLaplace变换的定义变换的定义,可得可得(分部积分分部积分)第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6 6页页二微分性质二微分性质第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第7 7页页注：注：此性质可以使我们有可能将此性质可以使我们有可能将 的微分方程的微分方程转化为转化为 的代数方程的代数方程。第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第8 8页页二微分性质二微分性质第第9 9页页主页主页上一页
4、上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第9 9页页利用微分性质求函数利用微分性质求函数 f(t)=cos kt 的的LaplaceLaplace变换变换.移项化简得移项化简得由于由于则则即即第第1010页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1010页页利用微分性质求函数利用微分性质求函数f(t)=tm的的LaplaceLaplace变换变换(其中其中m是正整数是正整数).).由于由于而而所以所以即即而而第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1111页页象函数的微分性质象函数的微
5、分性质若若则则推论推论:象函数的微分性质象函数的微分性质:第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1212页页求函数求函数 f(t)=tsin kt 的的LaplaceLaplace变换变换.因为因为由象函数的微分性质由象函数的微分性质,有有同理同理第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1313页页三三.积分性质积分性质根据微分性质根据微分性质:第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1414页页三三.积分性质积分性质第第1515页页主页
6、主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1515页页 由由LaplaceLaplace变换存在定理变换存在定理,可得象函数积分可得象函数积分性质性质.（证证略）略）若若L L f(t)=F(s),则则三三.积分性质积分性质第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1616页页四四.位移性质位移性质证明证明:根据根据LaplaceLaplace变换式变换式,有有L L eat f(t)=F(s-a)(Re(s-a)c)若若L L f(t)=F(s),则有则有第第1717页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积
7、分变换积分变换积分变换积分变换第第1717页页上式右边只是在上式右边只是在F(s)中将中将s换为换为s-a,得得 L L e at f(t)=F(s-a)(Re(s-a)c)性质表明了一个象原函数乘以指数函数性质表明了一个象原函数乘以指数函数e eatat的的LaplaceLaplace变换等于其象函数做位移变换等于其象函数做位移a.四四.位移性质位移性质由定义可知由定义可知第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1818页页求求L L ea t t m.利用位移性质，利用位移性质，第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分
8、变换积分变换积分变换积分变换第第1919页页求求L L e at sin k t.利用位移性质，利用位移性质，第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2020页页证明证明:由由拉普拉斯拉普拉斯变换的定义，得变换的定义，得五五.延迟性质延迟性质 若若L L f(t)=F(s),又又tc)位移性质：位移性质：延迟性质：延迟性质：七、七、小结小结第第2525页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2525页页初值定理：初值定理：七、七、小结小结第第2626页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2626页页 若若 且且 的奇点全在的奇点全在s s平平面的左半部面的左半部,则则终值定理：终值定理：七、七、小结小结