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1、解析几何二次曲线的一般理论第1页，本讲稿共75页 在平面上，由二元二次方程在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。最后对二次曲线进行分类。二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第2页，本讲稿共75页为了方便起见，特引进一些记号：第3页，本讲稿共75页第4页，本讲稿共75页二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置讨论二次曲线与直线的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程（1
2、）（2）第5页，本讲稿共75页（3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：第6页，本讲稿共75页第7页，本讲稿共75页第8页，本讲稿共75页二次曲线的渐近方向 定义满足条件定义满足条件(X X,Y Y)=0)=0的方向的方向X X:Y Y叫做二次曲线叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做的渐近方向，否则叫做非渐近方向非渐近方向.定义定义 没有实渐近方向的二次曲线叫做没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型椭圆型的，的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型抛物线型的，有两的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的双曲型的.1)1)椭圆型椭圆型
3、：I I2 20 0 2)2)抛物型抛物型：I I2 20 0 3)3)双曲型双曲型：I I2 200第9页，本讲稿共75页第10页，本讲稿共75页二次曲线的中心与渐近线 定义定义 如果点如果点C C是二次曲线的通过它的所有弦的中点是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C(C是二次曲线的对称中心是二次曲线的对称中心)，那么点，那么点C C叫做叫做二次曲线的中二次曲线的中心心.定理定理 点点C(C(x x0 0,y,y0 0)是二次曲线是二次曲线(1)(1)的中心，其充要条的中心，其充要条件是：件是：推论推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.第11页，本讲稿共75
4、页二次曲线二次曲线(1)(1)的的中心坐标由下方程组决定：的的中心坐标由下方程组决定：如果如果I I2 200，则，则(5.2(5.22)2)有唯一解，即为唯一中心坐标有唯一解，即为唯一中心坐标如果如果I I2 20 0，分两种情况：，分两种情况：第12页，本讲稿共75页 定义定义1 1 有唯一中心的二次曲线叫有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线中心二次曲线，没有，没有中心的二次曲线叫中心的二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线，有一条中心直线的二，有一条中心直线的二次曲线叫次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为统称为非中心二次曲线非中心二次曲
5、线.定义定义2 2 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的向的直线叫做二次曲线的渐近线渐近线.定理定理 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分曲线的组成部分.第13页，本讲稿共75页第14页，本讲稿共75页二次曲线的切线二次曲线的切线 定义定义1 1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线切线，这个重合的
6、，这个重合的交点叫做交点叫做切点切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点点.定义定义2 2 二次曲线二次曲线(1)(1)上满足条件上满足条件F F1 1(x x0 0,y y0 0)=0)=0F F2 2(x x0 0,y y0 0)=0)=0的点的点(x x0 0,y y0 0)叫做二次曲线的叫做二次曲线的奇异点奇异点，简称，简称奇点奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点正常点.第15页，本讲稿共75页 定理定理1 1 如果
7、如果(x x0 0,y y0 0)是二次曲线是二次曲线(1)(1)的的正常点正常点，那么，那么通过通过(x x0 0,y y0 0)的切线方程是的切线方程是 (x x-x x0 0)F F1 1(x x0 0,y y0 0)+()+(y y-y y0 0)F F2 2(x x0 0,y y0 0)=0)=0，(x x0 0,y y0 0)是它的切点是它的切点.如果如果(x x0 0,y y0 0)是二次曲线是二次曲线(1)(1)的的奇异点奇异点，那么通过，那么通过(x x0 0,y y0 0)的切线不确定，或者说过点的切线不确定，或者说过点(x x0 0,y y0 0)的的每一条直线都是二次曲
8、线每一条直线都是二次曲线(1)(1)的切线的切线.推论推论 如果如果(x x0 0,y y0 0)是二次曲线是二次曲线(1)(1)的正常点，那么的正常点，那么通过通过(x x0 0,y y0 0)的切线方程是：的切线方程是：第16页，本讲稿共75页 例例1 1 求二次曲线求二次曲线x x2 2-xyxy+y y2 2+2+2x x-4-4y y-3=0-3=0在点在点(2,1)(2,1)的切的切线方程线方程 解：因为解：因为F F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且且 F F1 1(2,1)=5/20,(2,1)=5/20,F F 2 2 (2,1
9、)=-2 0(2,1)=-2 0 所以所以(2,1)(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在是二次曲线上的正常点，因此得在点点(2,1)(2,1)的切线方程为：的切线方程为：5/2(5/2(x x-2)-2(-2)-2(y y-1)=0-1)=0 即：即：5 5x x-4-4y y-6=0-6=0第17页，本讲稿共75页二次曲线的直径二次曲线的直径 定理定理1 1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线条直线.定义定义 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的次曲线的直径直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这，它所对应的平行
10、弦，叫做共轭于这条直径的条直径的共轭弦共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径的直径.推论推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为二次曲线的一族平行弦的斜率为k k，那么共，那么共轭于这族轭于这族平行弦直径方程平行弦直径方程为为 F F1 1(x x,y y)+)+kFkF2 2(x x,y y)=0)=0第18页，本讲稿共75页 定理定理 2 2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线径只有一条，即
11、曲线的中心直线第19页，本讲稿共75页共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向向.定义定义 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对径叫做一对共轭直径共轭直径.第20页，本讲稿共75页第21页，本讲稿共75页第22页，本讲稿共75页第23页，本讲稿共75页第24页，本讲稿共75页第25页，本讲稿共75页第26页，本讲稿共75页n定义定义1 1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲二次曲线
12、的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向做二次曲线的主方向n显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点二次曲线的主直径与主方向二次曲线的主直径与主方向第27页，本讲稿共75页主方向与主直径的求法主方向与主直径的求法第28页，本讲稿共75页第29页，本讲稿共75页第30页，本讲稿共75页第31页，本讲稿共75页第32页，本讲稿共75页第33页，本讲稿共75
13、页第34页，本讲稿共75页第35页，本讲稿共75页第36页，本讲稿共75页第37页，本讲稿共75页二次曲线方程的化简与分类1.平面直角坐标变换平面直角坐标变换为转轴公式，其中为坐标轴的旋转角.第38页，本讲稿共75页第39页，本讲稿共75页第40页，本讲稿共75页第41页，本讲稿共75页第42页，本讲稿共75页第43页，本讲稿共75页第44页，本讲稿共75页第45页，本讲稿共75页第46页，本讲稿共75页第47页，本讲稿共75页第48页，本讲稿共75页第49页，本讲稿共75页第50页，本讲稿共75页第51页，本讲稿共75页第52页，本讲稿共75页第53页，本讲稿共75页第54页，本讲稿共75页
14、第55页，本讲稿共75页第56页，本讲稿共75页第57页，本讲稿共75页第58页，本讲稿共75页第59页，本讲稿共75页第60页，本讲稿共75页第61页，本讲稿共75页二次曲线方程的化简和分类二次曲线方程的化简和分类 定理定理1 1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：化成下列三个简化方程中的一个：定理定理2 2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：可以写成下面九种标准方程的一种形式：第62页，本讲稿共75页第63页，本讲稿共75页第64页，本讲稿共75页第65页，本讲稿共75页第66页，本讲稿共75页第67页，本讲稿共75页第68页，本讲稿共75页第69页，本讲稿共75页第70页，本讲稿共75页第71页，本讲稿共75页第72页，本讲稿共75页第73页，本讲稿共75页第74页，本讲稿共75页本章学习结束本章学习结束谢谢大家第75页，本讲稿共75页