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1、第四章频率响应法第1页，本讲稿共51页本章主要内容：本章主要内容：1、频率特性的定义；、频率特性的定义；2、频率特性的几种图示方法；、频率特性的几种图示方法；极坐标图极坐标图对数坐标图（伯徳图）对数坐标图（伯徳图）Bode对数幅相图（尼柯尔斯图）对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols3、利用频率特性方法分析和设计控制系统、利用频率特性方法分析和设计控制系统第2页，本讲稿共51页4.1频率特性及其图示法频率特性及其图示法4.1.1频率特性频率特性4.1.1.1频率特性的定义频率特性的定义系系统统或或环环节节对对正正正正弦弦弦弦输输入入信信号号的的稳稳稳稳态态态态响响应应与与输输入入函函数数之比之
2、比之比之比为频率特性。为频率特性。r=AsintG(s)y(t)A是幅值，是幅值，是角频率是角频率.稳态响应 ，是频率的函数。第3页，本讲稿共51页一阶线性系统一阶线性系统Y(s)r=AsintR(s)当输入 时，第4页，本讲稿共51页经拉氏反变换，有：经拉氏反变换，有：频率特性是研究系统稳态响应的，频率特性是研究系统稳态响应的，其中 可以按复变函数中求系数的留数方法求得：第5页，本讲稿共51页 式中：整理可得：整理可得：注：欧拉公式：注：欧拉公式：第6页，本讲稿共51页稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生了变化，稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生了变化，角频率角频率没变。没
3、变。稳态输出与输入 比较可得：幅值幅值比比比比相位相位差差差差A ABr=Asint它们都是它们都是和系统特征参数的函数。和系统特征参数的函数。第7页，本讲稿共51页推广到一般，得出以下推广到一般，得出以下结论结论：1、对线性系统作用正弦信号，其稳态输出仍是一、对线性系统作用正弦信号，其稳态输出仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。2、幅值比 和相位差和相位差都是输入信号频率都是输入信号频率的函数，的函数，其函数关系统称为其函数关系统称为频率特性频率特性。的关系称为的关系称为幅频特性幅频特性。的关系称为的关系称为相频特性相频特性。频率特性频率特性
4、第8页，本讲稿共51页4.1.1.2频率特性的获取频率特性的获取三种方法：三种方法：1解解析析法法如如前前例例一一阶阶系系统统，输输入入正正弦弦信信号号，求求时时域域解解y(t)，t，求求yss，与输入之比；与输入之比；2直接由传递函数得知；直接由传递函数得知；3由实验测取。由实验测取。第9页，本讲稿共51页(1)、已知系统传递函数，求频率特性、已知系统传递函数，求频率特性对于线性定常系统，将传递函数中的变量对于线性定常系统，将传递函数中的变量s用用j代替，就得到了频率特性代替，就得到了频率特性G(j)。G(s)G(j)第10页，本讲稿共51页以一阶环节为例，以一阶环节为例，相位差：相位差：传
5、递函数直接变换后，传递函数直接变换后，其中，为频率特性，是一复数，模 为系统的幅，其相角 为系统的相位差。值比输出的幅值比：输出的幅值比：第11页，本讲稿共51页推广到一般的情况，推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只对于任何线性定常系统，只要将传递函数中的变量要将传递函数中的变量s用用j代替，便得到了系统的频代替，便得到了系统的频率特性。率特性。G(j)用复数表示：用复数表示：模 为系统的幅频特性其相角为系统的相频特性。第12页，本讲稿共51页关于频率特性的总结：关于频率特性的总结：1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳态后输出也是正弦
6、信号，频率相同，幅值和相位态后输出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位都发生变化，而且它们都是频率的函数。都发生变化，而且它们都是频率的函数。3、频率特性能反映系统的动态特性。、频率特性能反映系统的动态特性。2、将传递函数、将传递函数 中的中的s用用 代替得代替得即为频率特性。为幅值比，又称幅频特性。为相位差，又称相频特性。第13页，本讲稿共51页(2)、实验测定频率特性、实验测定频率特性 用用频频率率或或超超低低频频信信号号发发生生器器，作作为为输输入入信信号号加加在在系系统统的的输输入入端端，当当系系统统稳稳定定后后，同同时时记记录录系系统统输输入入和和输输出出数数据据。找找到到在在此此刻刻
7、频频率率下下的的幅幅值值比比和和相相位位差差。然然后后改改变变，逐逐一一记记录录B/A()B/A()和和()()，就就获获得得了了频率特性。频率特性。直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y记录仪上显示 。方法方法方法方法第14页，本讲稿共51页 例例1：某系统的传递函数为：某系统的传递函数为：当输入信号为：求出它的稳态输出响应。解：解：如何求模和相角？如何求模和相角？第15页，本讲稿共51页4.1.2频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图常用的图示方法：常用的图示方法：3、对数幅相图（尼柯尔斯图）、对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols2、对数坐标图（伯徳图）、对数坐标图（伯徳图）Bode1、极
8、坐标图、极坐标图典型环节：一阶环节，二阶环节，放大环节，纯滞后环节等第16页，本讲稿共51页4.1.2.1极坐标图极坐标图是是的复变函数的复变函数。(1)(1)、定义、定义、定义、定义当当从从0变变化化时时，矢矢量量的的端端点点在在复复平平面面上上画出的轨迹叫作画出的轨迹叫作G(j)的极坐标图。的极坐标图。即：即：ImReU()V()矢量 的端点在实轴与虚轴上的投影分别为的实部 和虚部坐标 ，它们分别叫作实频特性和虚频特性，第17页，本讲稿共51页(2)(2)、极坐标图的获得、极坐标图的获得、极坐标图的获得、极坐标图的获得 根据频率特性的两种表示方式做图。根据频率特性的两种表示方式做图。2、已
9、知、已知，将不同的，将不同的代入，计算实部和虚部，代入，计算实部和虚部，做图。极极坐坐标标图图在在概概念念分分析析上上比比较较清清楚楚、直直观观，特特别在分析系统稳定性上经常用到。别在分析系统稳定性上经常用到。极坐标图画起来复杂，运算也较繁琐，要遵循极坐标图画起来复杂，运算也较繁琐，要遵循矢量运算规则。矢量运算规则。优点：优点：缺点：缺点：1、已知、已知，将不同的，将不同的代入，计算代入，计算做图；和第18页，本讲稿共51页4.1.2.2一些典型环节的极坐标图一些典型环节的极坐标图（1）一阶惯性环节）一阶惯性环节当 时，当 时，当 时，ImReK第19页，本讲稿共51页（2）放大环节）放大环节
10、其幅频特性和相频特性均为常数。其幅频特性和相频特性均为常数。不随不随变化。变化。（3）纯滞后环节）纯滞后环节幅频特性不变，恒为幅频特性不变，恒为1，相频特性为，相频特性为的线性函数，的线性函数，周期变化。频率特性是一周期变化的单位圆。周期变化。频率特性是一周期变化的单位圆。01ImReK分别为：分别为：ImRe第20页，本讲稿共51页（4）积分环节与微分环节）积分环节与微分环节ww第21页，本讲稿共51页（5）二阶环节）二阶环节第22页，本讲稿共51页第23页，本讲稿共51页分析：分析：当 时，（低频特性）（低频特性）当当 时，时，（高频特性）（高频特性）1ImRe当 时，与虚轴相交 第24页
11、，本讲稿共51页u随着随着的增加，相位滞后越大，的增加，相位滞后越大，0180u与虚轴交点频率与虚轴交点频率nu幅频特性不仅是幅频特性不仅是的函数，也是的函数，也是的函数。的函数。第25页，本讲稿共51页绘制概略极坐标图的方法如下：绘制概略极坐标图的方法如下：(1)计算和绘制极坐标图的起点计算和绘制极坐标图的起点(=0)和终和终点点(=)；(2)计算和绘制极坐标图与实轴的交点；计算和绘制极坐标图与实轴的交点；令令系系统统开开环环传传递递函函数数的的虚虚部部为为零零，求求出出与与实实轴轴的的交交点点频率频率x。即：即：其中其中x称为穿越频率，称为穿越频率，而频率特性曲线与实轴的交点为：而频率特性
12、曲线与实轴的交点为：(4)估算极坐标图的变化范围，包括曲线的象估算极坐标图的变化范围，包括曲线的象限和单调性等。限和单调性等。(5)描绘完整的极坐标图。描绘完整的极坐标图。(3)计算和绘制极坐标图与虚轴的交点；计算和绘制极坐标图与虚轴的交点；第26页，本讲稿共51页1、0型系统（型系统（=0，没有积分环节）没有积分环节）一阶一阶二阶二阶三阶三阶特点：特点：起始点在正实轴，终止在原点。起始点在正实轴，终止在原点。常见极坐标图有三种形式（没有零点）：常见极坐标图有三种形式（没有零点）：第27页，本讲稿共51页2、1型系统（型系统（=1，有一个积分环节），有一个积分环节）3、2型系统（型系统（=2，
13、2个积分环节串联）个积分环节串联）例：例：例：例：ImReTWImRe第28页，本讲稿共51页4.1.3典型环节的对数坐标（典型环节的对数坐标（Bode）图）图幅频特性图幅频特性图相频特性图相频特性图4.1.3.1坐标的选择坐标的选择（1）横坐标都取）横坐标都取的对数刻度，以的对数刻度，以10为底。但仍标以为底。但仍标以角频率角频率。0.11101001012每一大格，频率变化了每一大格，频率变化了10倍，叫一个倍，叫一个十倍频程十倍频程，记做，记做/dec。选择频率范围时，一般在感兴趣的频率范围附近取选择频率范围时，一般在感兴趣的频率范围附近取23个个dec即可。即可。第29页，本讲稿共51
14、页（2）相频特性采用半对数坐标纸。相频特性采用半对数坐标纸。13504590 45 900.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 2 3 4 5 6 7 10相频特性相频特性的纵坐标，为相角，以度为单位，取的纵坐标，为相角，以度为单位，取等分刻度。等分刻度。第30页，本讲稿共51页(3)幅频特性幅频特性的纵坐标的纵坐标一般取一般取 的对数的对数采用等分刻度，采用半对数坐标纸。采用等分刻度，采用半对数坐标纸。换算关系：换算关系：402002040210120.010.11101000102010200.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1 2 3 4 5 6 7 1020的值。单位是分贝（的
15、值。单位是分贝（db）。）。第31页，本讲稿共51页4.1.3.2对数坐标图的特点对数坐标图的特点（1）画法很简单，利用渐近线迅速画出各典型环节）画法很简单，利用渐近线迅速画出各典型环节的对数坐标图。的对数坐标图。如：如：幅频特性相加幅频特性相加相频特性相加相频特性相加（3）对横坐标）对横坐标取对数刻度，可以扩大横坐标的频率取对数刻度，可以扩大横坐标的频率范围，既可以看到高、中频段的特性，又不降低范围，既可以看到高、中频段的特性，又不降低低频段（工作频率）的准确度。低频段（工作频率）的准确度。（2）运算方便，串联环节总的对数频率特性，很容）运算方便，串联环节总的对数频率特性，很容易通过各典型环
16、节的对数频率特性叠加得到。易通过各典型环节的对数频率特性叠加得到。第32页，本讲稿共51页4.1.3.3典型环节的对数坐标图典型环节的对数坐标图（1）比例环节）比例环节分析：分析：0.1110020200.1110G090 90ImReK第33页，本讲稿共51页（2）一阶惯性）一阶惯性（滞后）（滞后）环节环节如如RC滤波器：滤波器：将将T作为变量，以使不同作为变量，以使不同T的环节能用相同的图形的环节能用相同的图形表示。表示。RCU1U2第34页，本讲稿共51页画法：画法：a）逐点计算法：逐点计算法：第35页，本讲稿共51页0.10.5121002020G900900.10.51210l l相
17、角对于相角对于=1/T频率点频率点()是斜对称的是斜对称的第36页，本讲稿共51页b）渐近线法）渐近线法画法：画法：低频段：低频段：一条一条0db的直线。的直线。高频段：高频段：当当直线斜率为直线斜率为20db/dec与低频段渐近线交于与低频段渐近线交于T=1,叫作转折频率。叫作转折频率。0.1 1 10 02020第37页，本讲稿共51页l l在转折频率处，幅频特性的误差最大。其误差值：在转折频率处，幅频特性的误差最大。其误差值：l l若需精确，可用校正曲线加以校正，一般校正以若需精确，可用校正曲线加以校正，一般校正以上三点。上三点。0.1 0.5 1 2 10 200db020第38页，本
18、讲稿共51页讨论：讨论：2）一阶惯性环节，相位角始终为负，输出相位落后）一阶惯性环节，相位角始终为负，输出相位落后于输入，所以称为滞后环节，倒数称为超前环节。于输入，所以称为滞后环节，倒数称为超前环节。如 ，互为倒数。3）一阶滞后环节具有低通滤波特性）一阶滞后环节具有低通滤波特性即：在低频段，即：在低频段，高频段，高频段，输出复现输入。输出复现输入。输入信号被衰减。输入信号被衰减。1)相角 对于转折频率点是斜对称的。第39页，本讲稿共51页（3）纯积分环节）纯积分环节横坐标取 。幅频特性是一条斜率为-20db/dec直线，且该直线通过 的点。为一平行线。0.1110200200.1110G0
19、90第40页，本讲稿共51页若传递函数中有若传递函数中有2个积分器串联，个积分器串联，幅频特性：幅频特性：斜率为斜率为-40db/dec的直线。的直线。相频特性：相频特性：若若有有几几个个积积分分环环节节可可以以以以此此类推。类推。0.1110400400.1110G0 180第41页，本讲稿共51页（4）纯滞后环节）纯滞后环节横坐标：横坐标：纯滞后环节不影响幅频特性，只纯滞后环节不影响幅频特性，只影响相频特性（与比例环节恰相影响相频特性（与比例环节恰相反）。反）。180 900.1110G00.111020020相角滞后随相角滞后随增加而迅速线性增加。纯滞后引起增加而迅速线性增加。纯滞后引起
20、的高频滞后是极为严重的。的高频滞后是极为严重的。第42页，本讲稿共51页（8）二阶惯性（滞后）环节：）二阶惯性（滞后）环节：第43页，本讲稿共51页以以为为横横坐坐标标，为为参参变变量。取不同量。取不同值，算出值，算出:1）逐点计算作图）逐点计算作图020402040600.1 1 1004590135180第44页，本讲稿共51页2）渐近线法作图）渐近线法作图低频段：低频段：高频段：高频段：当当时，即 时，时，即 时，第45页，本讲稿共51页两条渐近线交于两条渐近线交于点，点，n称为转折频率。称为转折频率。每变化10倍频程，幅频特性下降-40db，是一条斜率为-40db/dec的直线。0.1
21、11040040在高频段：在高频段：第46页，本讲稿共51页总结：总结：求出转折频率。绘制低频段渐近线。绘制高频段渐近线。如果需要精确曲线，用误差曲线校正。利用渐近线法绘出典型环节的对数坐标图方法：利用渐近线法绘出典型环节的对数坐标图方法：第47页，本讲稿共51页4.1.3.5绘制一般系统的对数坐标图的步骤绘制一般系统的对数坐标图的步骤1）把系统频率特性改写成典型环节频率特性的乘积。）把系统频率特性改写成典型环节频率特性的乘积。2）先不考虑）先不考虑K值。值。3)找出各典型环节频率特性的转折频率。找出各典型环节频率特性的转折频率。5）确定纵坐标的分度范围，根据典型环节的幅频、）确定纵坐标的分度
22、范围，根据典型环节的幅频、相频特性（低频、高频）确定。注意单位：相频特性（低频、高频）确定。注意单位：db，度。度。4)确定横坐标的分度范围，根据转折频率确定。确定横坐标的分度范围，根据转折频率确定。如有如有3个转折频率，个转折频率，小小，中中，大大。取值为：取值为：0.1小小10大大。一般取整倍的一般取整倍的10倍频程倍频程。注意：注意：第48页，本讲稿共51页6)绘制低频段的折线图，点斜式：绘制低频段的折线图，点斜式：w=1,20lgK的点，的点，-20vdb/dec斜率。斜率。7)低频段折线向右延伸，每经过一个转折频率斜率低频段折线向右延伸，每经过一个转折频率斜率改变一次：改变一次：过一
23、阶惯性环节的转折频率，斜率过一阶惯性环节的转折频率，斜率-20bd/dec;过一阶微分环节的转折频率，斜率过一阶微分环节的转折频率，斜率+20bd/dec;过二阶振荡环节的转折频率，斜率过二阶振荡环节的转折频率，斜率-40bd/dec;过二阶微分环节的转折频率，斜率过二阶微分环节的转折频率，斜率+40bd/dec;第49页，本讲稿共51页例例4-3：已知某系统的对数幅频特性如图所示，求传递函数。已知某系统的对数幅频特性如图所示，求传递函数。分析：分析：低频段斜率低频段斜率20db/dec，说明有一微分环节；说明有一微分环节；0过过3，斜率为斜率为20db/dec，说明以说明以3为转折频率，为转折频率，有一个有一个一阶惯性环节。一阶惯性环节。过过2，为一直线，说明以为一直线，说明以2为转折频率，有为转折频率，有一个一阶惯性环节；一个一阶惯性环节；第50页，本讲稿共51页传递函数可写成：传递函数可写成：确定确定K值：值：0在在2时，微分环节的模为时，微分环节的模为K。根据图示，有：根据图示，有：因此，传递函数为：因此，传递函数为：K第51页，本讲稿共51页