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1、第八章图像几何变换的基本理论第1页，本讲稿共14页 图像的几何变换是在图像的几何变换是在不改变不改变内容的前提下对图像内容的前提下对图像像素进行空间几何变换的一种处理方式，它主要包括像素进行空间几何变换的一种处理方式，它主要包括图像的图像的平移变换、镜像变换、图像的转置、缩放和旋平移变换、镜像变换、图像的转置、缩放和旋转转等内容。等内容。第2页，本讲稿共14页8.1 图像几何变换的基本理论图像几何变换的基本理论 本节对图像几何变换的概念及相关基础知识进行简单概述，内容包本节对图像几何变换的概念及相关基础知识进行简单概述，内容包括括几何变换的映射关系几何变换的映射关系及及对应的数学表示法对应的数
2、学表示法。第3页，本讲稿共14页8.1.1 图像几何变换概述图像几何变换概述 图像几何变换用于改变图像中像素与像素之间的空图像几何变换用于改变图像中像素与像素之间的空间关系，从而重构图像的空间结构，达到处理图像的目间关系，从而重构图像的空间结构，达到处理图像的目的。的。简而言之，图像几何变换就是建立一种源图像像素简而言之，图像几何变换就是建立一种源图像像素与变换后的图像像素之间的映射关系。与变换后的图像像素之间的映射关系。通过这种映射关系能够知道源图像任意像素点变换通过这种映射关系能够知道源图像任意像素点变换后的坐标，或者变换后的图像像素在源图像的坐标位置后的坐标，或者变换后的图像像素在源图像
3、的坐标位置等。等。第4页，本讲稿共14页数学公式描述如下：数学公式描述如下：其中其中 表示输出图像像素的坐标，表示输出图像像素的坐标，表示输入图像像素的坐表示输入图像像素的坐标。标。表示两种映射关系，它们通过输入的表示两种映射关系，它们通过输入的 来确定相应的来确定相应的 。第5页，本讲稿共14页映射关系可以是线性关系，如：映射关系可以是线性关系，如：也可以是多项式关系，如：也可以是多项式关系，如：第6页，本讲稿共14页从上述的映射关系中，可以看到，只要给出图像上从上述的映射关系中，可以看到，只要给出图像上任意像素的坐标，都能通过对应的映射关系获得几何变任意像素的坐标，都能通过对应的映射关系获
4、得几何变换后的像素坐标位置。换后的像素坐标位置。这种将输入映射到输出的过程称为这种将输入映射到输出的过程称为“向前映射向前映射”。通过向前映射能够确定源图像在经过变换后各像素的坐标。通过向前映射能够确定源图像在经过变换后各像素的坐标。由于多个输入坐标可以对应同一个输出坐标，所以向前映射是由于多个输入坐标可以对应同一个输出坐标，所以向前映射是一个一个满射满射。第7页，本讲稿共14页在使用向前映射处理图像的几何变换时需要解决下面的在使用向前映射处理图像的几何变换时需要解决下面的问题：问题：、浮点数坐标、浮点数坐标对于数字图像而言，像素坐标是用离散型的对于数字图像而言，像素坐标是用离散型的非负正数非
5、负正数表示的，但是通过映表示的，但是通过映射函数变换后可能产生浮点数的坐标。射函数变换后可能产生浮点数的坐标。如：源图像（如：源图像（3,3）点在缩小一倍后将变成（）点在缩小一倍后将变成（1.5,1.5），这是一个无效的坐），这是一个无效的坐标，可以用插值算法来处理在几何变换中出现的浮点坐标像素，它可以通过一系标，可以用插值算法来处理在几何变换中出现的浮点坐标像素，它可以通过一系列算法获得浮点坐标像素的近似值。列算法获得浮点坐标像素的近似值。第8页，本讲稿共14页2、映射不完全和映射重叠、映射不完全和映射重叠 （1）映射不完全：指输入图像的像素总数小于输出图像的像素总数，这）映射不完全：指输入
6、图像的像素总数小于输出图像的像素总数，这会使得输出图像的部分像素与原始图像没有映射关系，如图会使得输出图像的部分像素与原始图像没有映射关系，如图8-1所示。所示。（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）放大一倍放大一倍（0,0）（0,1）（0,2）（0,3）（1,0）（1,1）（1,2）（1,3）（2,0）（2,1）（2,2）（2,3）（3,0）（3,1）（3,2）（3,3）输入图像像素坐标输入图像像素坐标输出图像像素坐标输出图像像素坐标图图8-1 映射不完全映射不完全 一个一个22的图像被放大一倍后大小变为的图像被放大一倍后大小变为44。输入图像的像素总数为。输入图像的像素总数为4，经过向前
7、映射建，经过向前映射建立关联的像素坐标只有立关联的像素坐标只有4个（图中阴影部分）。而输出图像的像素总数为个（图中阴影部分）。而输出图像的像素总数为16，所以有，所以有12个像个像素没有有效值，这就是不完全映射不完全。素没有有效值，这就是不完全映射不完全。第9页，本讲稿共14页（2）映射重叠：如果将图）映射重叠：如果将图8-1中的输入图像和输出图像交换，就会中的输入图像和输出图像交换，就会出现新的问题出现新的问题映射重叠，如图映射重叠，如图8-2所示。所示。（0,0）（0,1）（0,2）（0,3）（1,0）（1,1）（1,2）（1,3）（2,0）（2,1）（2,2）（2,3）（3,0）（3,1
8、）（3,2）（3,3）输入图像像素坐标输入图像像素坐标缩小一倍缩小一倍（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）输入图像像素坐标输入图像像素坐标 源图像像素坐标为（源图像像素坐标为（0,0）、（）、（0,1）、（）、（1,0）、（）、（1,1）经过缩小）经过缩小一倍后对应的输出图像坐标分别为（一倍后对应的输出图像坐标分别为（0,0）、（）、（0,0.5）、（）、（0.5,0）、）、（0.5,0.5），取整后坐标都为（），取整后坐标都为（0,0）。）。那么输出图像坐标为（那么输出图像坐标为（0,0）的像素值究竟由源图像的哪个像素决定呢）的像素值究竟由源图像的哪个像素决定呢？同样，输出图像的其他？同
9、样，输出图像的其他3个像素值也存在同样的问题。个像素值也存在同样的问题。第10页，本讲稿共14页向后映射：向后映射：数学表达式为：数学表达式为：其中其中 表示输出图像像素的坐标，表示输出图像像素的坐标，表示输入图像像素的坐标。表示输入图像像素的坐标。表示两种映射关系。表示两种映射关系。向后映射与向前映射刚好相反，它是由输出图像像素坐标来推向后映射与向前映射刚好相反，它是由输出图像像素坐标来推算该像素在源图像的坐标位置。这样，输出图像的每个像素都能通算该像素在源图像的坐标位置。这样，输出图像的每个像素都能通过映射找到对应的位置，而不会产生映射不完全和映射重叠的现象过映射找到对应的位置，而不会产生
10、映射不完全和映射重叠的现象了。了。在实际处理中，基本是运用在实际处理中，基本是运用向后映射向后映射来进行图像的几何变换的。来进行图像的几何变换的。第11页，本讲稿共14页运用：运用：向前映射：向前映射：主要运用在一些不改变图像大小的几何变换中。主要运用在一些不改变图像大小的几何变换中。向后映射：向后映射：主要运用在图像的旋转和缩放中，这些几何变换都会主要运用在图像的旋转和缩放中，这些几何变换都会改变图像的大小。改变图像的大小。第12页，本讲稿共14页8.1.2 图像几何变换的数学描述图像几何变换的数学描述 本章的几何变换全部采用统一的本章的几何变换全部采用统一的矩阵表示法矩阵表示法。向前映射的基本公式：向前映射的基本公式：其中其中 表示输出图像像素的坐标，表示输出图像像素的坐标，表示输入图像像表示输入图像像素的坐标。素的坐标。矩阵表示法：矩阵表示法：第13页，本讲稿共14页向后映射向后映射的矩阵表示为：的矩阵表示为：得得 其基本公式：其基本公式：向后映射的矩阵表示刚好是向前映射的逆变换。向后映射的矩阵表示刚好是向前映射的逆变换。第14页，本讲稿共14页