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1、一、无穷小量一、无穷小量1、定义、定义:若在自变量若在自变量 x 的某一变化过程中，的某一变化过程中，函数函数f(x)的极限为零，的极限为零，则把函数则把函数 f(x)称为在自变量的这一变化过称为在自变量的这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为即：极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。）无穷小必须指明自变量的变化趋势。2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极
2、限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性注意注意：无穷多个无穷小的代数和未无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小必是无穷小.（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.（3）有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小例例1、求下列极限、求下列极限解：解：因为=0,而即即sin x 有界有界,由无穷小性质得由无穷小性质得原式原式=0解：解：0 原式原式=0二、无穷大量二、
3、无穷大量即绝对值无限增大的变量称为即绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.例如例如,特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界但是无界 变量未必是无穷大变量未必是无穷大.如：不是无穷大不是无穷大无界，无界，三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数恒不为零的无穷小的倒数为无穷大为无穷大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大
4、的讨论,都可归都可归结为关于无穷小的讨论结为关于无穷小的讨论.解：由无穷小与无穷大的倒数关系得由无穷小与无穷大的倒数关系得四、无穷小的比较四、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限定义定义:例如，例如，例例1:1:解解例例解解常用等价无穷小常用等价无穷小:四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;两个定理两个定理;三个性质三个性质.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.思考题思考题思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有P57:习题2-3 1,2,3