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1、等差数列与等比数列的运用等差数列与等比数列的运用 储蓄问题储蓄问题 学习目标：1、了解银行存款模型中的基本概念：本金、利率、利息、期数、本息和、单利、复利；2、理解掌握利用数列知识计算利息的方法；3、能灵活运用利息的计算方法解决实际问题。4、在社会实践、合作交流、自主探究中，体验学习数学带来的自信和成功感，激发数学的兴趣。教学重点与难点：重点：根据不同的储蓄方式来计算利息；难点：将实际问题提炼为数学问题，建立数学模型，解决实际问题。利息一般分为单利和复利两种利息一般分为单利和复利两种一个月后一个月后 本息和本息和 单利单利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限
2、后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息不计入到本金中。计息，在下一个计息期限中，利息不计入到本金中。例如：某种储蓄规定按月以单利计息，月利率是例如：某种储蓄规定按月以单利计息，月利率是1%，若，若某人存入某人存入1000元作为本金，元作为本金，两个月后两个月后 本息和本息和 三个月后三个月后 本息和本息和 n个月后个月后 本息和本息和 1000+10n1000+10=10101000+102=10201000+10 3=1030单利单利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息计息，在下一个计息
3、期限中，利息不计入不计入到本金中。到本金中。（等差数列）（等差数列）复利：复利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。金中，作为新的本金。复利：复利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入计入到本到本 金中，作为金中，作为新新的本金。的本金。单利单利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的
4、利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息不计入到本金中。计息，在下一个计息期限中，利息不计入到本金中。单利单利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息计息，在下一个计息期限中，利息不计入不计入到本金中。到本金中。（等差数列）（等差数列）利息一般分为单利和复利两种利息一般分为单利和复利两种例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%，若某人存入若某人存入1000元作为本金，元作为本金，一个月后一个月后 本息和本息和 两个月后两
5、个月后 本息和本息和 三个月后三个月后 本息和本息和 n个月后个月后 本息和本息和 1000(1+1%)1000(1+1%)21000(1+1%)n1000(1+1%)3复利：复利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入计入到本到本 金中，作为金中，作为新新的本金。的本金。（等比数列）（等比数列）利息一般分为单利和复利两种利息一般分为单利和复利两种1.五一节期间，高二同学杨磊从他回国探亲的舅舅处得到五一节期间，高二同学杨磊从他回国探亲的舅舅处得到一笔钱一笔钱a
6、元，这笔钱是给他明年读大学时用的，距今还有元，这笔钱是给他明年读大学时用的，距今还有16个月个月.于是他决定立刻把这笔钱存入银行，直到明年于是他决定立刻把这笔钱存入银行，直到明年9月月初全部取出。现在有两家银行供他选择，一家银行是按月初全部取出。现在有两家银行供他选择，一家银行是按月息息0.201%单利计息，另一家银行是按月息单利计息，另一家银行是按月息0.2%复利计息，复利计息，请大家帮助杨磊同学计算一下，存入哪家银行更合算？请大家帮助杨磊同学计算一下，存入哪家银行更合算？a+16 a+16 0.201%0.201%a=1.03216a a=1.03216a a a（1+0.2%)1+0.2
7、%)16 16 =1.03248a=1.03248a故存入按复利计息的银行更合算。故存入按复利计息的银行更合算。（整存整取）（整存整取）1.03216a 1.03216a 解：单利计息解：单利计息复利计息复利计息（零存整取）（零存整取）2.另外从另外从5月起，杨磊的父母决定每月给他月起，杨磊的父母决定每月给他300元作零用钱元作零用钱直到明年直到明年8月份，期间一共月份，期间一共16个月，但他是一勤俭的学生，个月，但他是一勤俭的学生，他准备每月省下他准备每月省下100元于月初（从元于月初（从5月起）存入银行，若按月起）存入银行，若按0.2%的月息复利计息，到明年的月息复利计息，到明年9月初，一
8、共可省下多少元月初，一共可省下多少元？（零存整取）（零存整取）2.另外从另外从5月起，杨磊的父母决定每月给他月起，杨磊的父母决定每月给他300元作零用钱元作零用钱直到明年直到明年8月份，期间一共月份，期间一共16个月，但他是一勤俭的学生，个月，但他是一勤俭的学生，他准备每月省下他准备每月省下100元于月初（从元于月初（从5月起）存入银行，若按月起）存入银行，若按0.2%的月息复利计息，到明年的月息复利计息，到明年9月初，一共可省下多少元月初，一共可省下多少元？解：设解：设a an n为存入银行为存入银行n n个月的本息数个月的本息数.8 8月：月：a a3 3=100=100(1.002(1.
9、0022 2+1.002)+100+1.002)+1001.0021.0026 6月：月：7 7月：月：a a1 1=100=100(1+0.2%)(1+0.2%)a a2 2=(100=(1001.002+100)1.002+100)1.0021.002.=100=1001.0021.002=100=100(1.002(1.0022 2+1.002+1.002）aa1616=100=100(1.0021.0021616+1.002+1.0021515+1.002+1.002）=1627.47=1627.47100100(1.002(1.0022 2+1.002+1.002）=100=100(
10、1.002(1.0023 3+1.002+1.0022 2+1.002)1.002)100100(1.002(1.0023 3+1.002+1.0022 2+1.002)1.002)1001001.0021.002=100=1001.002(1-1.0021.002(1-1.0021616)1-1.0021-1.002120001.0023-x（1.0022+1.002+1）120001.0022-x（1.002+1）120001.002-x（整存零取）（整存零取）3.3.如果在明年如果在明年9 9月份初杨磊把上面两笔钱的本息全部取出，月份初杨磊把上面两笔钱的本息全部取出，（令（令a=1000
11、0元），凑足元），凑足12000元按月息元按月息0.2%复利计息，又复利计息，又 立刻存入银行，然后从下一个月起每月初取出数目相同立刻存入银行，然后从下一个月起每月初取出数目相同 的一笔钱供零用的一笔钱供零用，问每次最多取出多少元才能维持四年，问每次最多取出多少元才能维持四年（48个月）的大学生活？个月）的大学生活？一个月后：一个月后：解：设解：设an是取出是取出n个月后所剩的金额数个月后所剩的金额数,每次最多取出每次最多取出x元。元。二个月后：二个月后：a1=12000（1+0.2%）-xa2=(120001.002-x)1.002-x=120001.0022-x（1.002+1）.三个月后
12、：三个月后：a3=120001.0023-x（1.0022+1.002+1）a48=120001.00248-x（1.00247+1.00246+1）0 x 262=120001.002-x小结：小结：单利：单利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息计息，在下一个计息期限中，利息不计入不计入到本金中。到本金中。（等差数列）（等差数列）复利复利：指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计息，在下一个计息期限中，将所得的
13、利息计入计入到本到本 金中，作为金中，作为新新的本金。的本金。（等比数列）（等比数列）1.单利和复利的定义，及与等差数列和等比数列的关系。单利和复利的定义，及与等差数列和等比数列的关系。拓展拓展1.（利息税利息税）甲乙两人于同一天分别携款甲乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，万元到银行储蓄，甲存五年定期储蓄，年利率为甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%，乙存一年，乙存一年期定期储蓄，年利率为期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计息将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计息时，储户须交纳利息的时，储户须交纳利息的20%作为利息税。作
14、为利息税。若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为与乙所得本息之和的差为_元。（假定元。（假定利率五年内保持不变，结果精确到分）利率五年内保持不变，结果精确到分）解：甲存满解：甲存满5年所得金额：年所得金额：A=1+12.88%80%5 =1+2.88%80%5 乙存满乙存满1年所得金额：年所得金额：1+12.25%80%=1+2.25%80%乙存满乙存满5年所得金额：年所得金额：B=(1+2.25%80%)5 乙存满乙存满n年所得金额：年所得金额：(1+2.25%80%)n A B=1+2.88%80%5(1+2.25%80%)5
15、 0.021901(万元万元)=219.01 元元乙存满乙存满2年所得金额：年所得金额：(1+2.25%80%)+(1+2.25%80%)2.25%80%=(1+2.25%80%)22.某种细胞在培养过程中某种细胞在培养过程中,每每20分钟分裂一次分钟分裂一次(1个分为个分为2个个),经过经过3小时小时,1 个这样的细胞可个这样的细胞可繁殖为繁殖为_个。个。512分析分析:2,22,23,.,29a1=2,q=2,a9=a1q8 3.3.一弹性小球从一弹性小球从100100米高处自由落下，每次米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半，再落下，求着地后又跳回到原高度的一半，再落下，求该小球
16、第该小球第1010次着地时所经过的路程次着地时所经过的路程.分析分析4.某工厂年产值某工厂年产值150万元，每年增长万元，每年增长5%，则，则5年后的产值是年后的产值是 万元万元（列式表示，（列式表示，不必计算结果）。不必计算结果）。150(1+5%)5分析分析:150,150(1+5%),150(1+5%)2,150(1+5%)5,a1=150,q=1+5%,a6=a1q5 5.某工厂去年十二月份的月产值为某工厂去年十二月份的月产值为a，已，已知月平均增长率为知月平均增长率为P,今年十二月份的产今年十二月份的产值比去年同期增加的倍数是值比去年同期增加的倍数是_。(1+p)121分析分析:a,
17、a(1+p)1,a(1+p)2,a(1+p)12a1=a,a13=a(1+p)12小结：小结：1.单利和复利的定义，及与等差数列和等比数列的关系。单利和复利的定义，及与等差数列和等比数列的关系。3.逐步学会建模、化归等数学思想方法，加强运用意识。逐步学会建模、化归等数学思想方法，加强运用意识。2.了解银行中的整存整取、零存整取、整存零取等方式的了解银行中的整存整取、零存整取、整存零取等方式的 求解规律。求解规律。（零存整取）（零存整取）2.另外从另外从5月起，杨磊的父母决定每月给他月起，杨磊的父母决定每月给他300元作零用钱元作零用钱直到明年直到明年8月份，期间一共月份，期间一共16个月，但他
18、是一勤俭的学生，个月，但他是一勤俭的学生，他准备每月省下他准备每月省下100元于月初（从元于月初（从5月起）存入银行，若按月起）存入银行，若按0.2%的月息复利计息，到明年的月息复利计息，到明年9月初，一共可省下多少元？月初，一共可省下多少元？解：设解：设a an n为存入银行为存入银行n n个月的本息数个月的本息数.6 6月：月：a a1 1=100(1+0.2%)=100(1+0.2%)=100.2100.2由题可知由题可知 a an+1n+1=1.0021.002(a(an n+100)=+100)=1.0021.002a an n+100.2+100.2a an+1 n+1-x-x =
19、1.0021.002(a(an n-x)-x)a an+1n+1+50100+50100 =1.0021.002(a(an n+50100)+50100)则则bbn n 是首项为是首项为a a1 1+50100=50200.2+50100=50200.2，公比为，公比为1.0021.002的等的等比数列。比数列。设设b bn n=a=an n+50100+50100b bn n=50200.250200.21.0021.002n-1n-1=a=an n+50100+50100故故a a16 16=50200.250200.21.0021.0021515-50100-50100=1627.47=
20、1627.47（零存整取）（零存整取）2.另外从另外从5月起，杨磊的父母决定每月给他月起，杨磊的父母决定每月给他300元作零用钱元作零用钱直到明年直到明年8月份，期间一共月份，期间一共16个月，但他是一勤俭的学生，个月，但他是一勤俭的学生，他准备每月省下他准备每月省下100元于月初（从元于月初（从5月起）存入银行，若按月起）存入银行，若按0.2%的月息复利计息，到明年的月息复利计息，到明年9月初，一共可省下多少元？月初，一共可省下多少元？解：解：1001001.0021.0021616=1627.47=1627.47=100=1001.002(1-1.0021.002(1-1.0021616)1-1.0021-1.0021001001.0021.0021515+1001001.0021.002小结：小结：