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1、主讲人曹光宇The History of Math数学史(二)l六、几何作图三大难题的历史l七、集合论发展的历史l八，随机思想发展的历史l九、算法思想发展的历史l十、近代数学史上的两大巨匠l十一、近代中学数学教育改革概况（一）几何作图三大难题（一）几何作图三大难题 三等分角问题：将任意一个给定的角三等分立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍 化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等 六、几何作图三大难题的历史六、几何作图三大难题的历史大约在公元前世纪至世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何作图三
2、大难题（二）从（二）从阿贝尔阿贝尔到到伽罗瓦伽罗瓦 解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，尺规作图三大难题的解决，同解代数方程挂上了钩,由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它的一般解，于是很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历世纪的后半叶、世纪、世纪,直到世纪初,很多数学家和数学爱好者,都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外，他们都失了年,挪威22岁的数学家阿贝尔，利用置换群的理论证明了一般五次以上代数方程，它们的根式解法是不存在的。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解、另一方面也举例证明有的方程能用根式解。于是,能用根式解或者
3、不能用根式解的方程,到底用什么来判断呢?阿贝没来得及回答,就匆匆过世了。在阿贝尔去世后的第二年，法国数学家伽罗瓦完成了这一项艰巨的工作。并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的息想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为该方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群称为该方程的伽罗瓦群，伽罗瓦的子域和伽罗瓦的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群是，该方程是根式可解的。作为这个理论的推论，可以得出用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论六、几何作图三大难题的历史六、几何作图
4、三大难题的历史（一）集合论的诞生（一）集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。他对集合所下的定义是:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素七、集合论发展的历史七、集合论发展的历史（二）集合论的发展（二）集合论的发展到20世纪初,集合论已得到数学家们的认同。他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学大厦。但罗素悖论的提出指出了集合论的漏洞。罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于BR则R满足R的定义,因此R不应属于自身,
5、即R不属于R:另一方面,如果R不属于R则不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R。这样,不论何种情况都存在着矛盾。这个仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了,以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地,绝对严密的数学陷人了自相矛盾之中,这就是数学史上的第三次数学危机,危机产生后,众多数家投入到解块危机的工作中去。1908年,策梅洛提出公理化集合论,后经改进形成无予盾的集合论公理系统,简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段:公理化集合论。与此相对应,由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的
6、严格处理。七、集合论发展的历史七、集合论发展的历史八，随机思想发展的历史（一）概率论概率论的起源与赌博问题有关。16世纪,意大利的学者吉罗拉莫,卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶,有人对博弈中的一些问题发生争论,其中的一个问题是“赌金分配问题”,他们决定请教法国数学家帕斯卡和费马,并最终解决了这个问题,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。论文结论瑞士数学家伯努利使概率论成为数学的一个分支,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作
7、的基础上写出了分析的概率理论,明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末,俄国数学家切比雪夫、马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。如何把概率论建立在严格的逻辑基础上,是概率理论发展的困难所在,对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论,为概率公理体系的建立奠定了基础,在这种背景下,苏联数学家柯尔莫哥洛夫在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系,他的公理化方法成
8、为现代概率论的基础,使概率论成为严谨的数学分支,对概率论的迅速发展起了积极的作用。论文结论(二)近代统计学近代统计学指的是18世纪末到19世纪末的描述统计学，其发展过程与概率论的广泛研究和应用密切相关，目前在统计分析中经常使用的一些基本方法和术语都处于这一个时期、比如最小平方法、正态分布曲线、误差计算等。在近代统计发展的一百年中、也形成了许多学派、其中以数理统计学派和社会统计学派最为著名。数理统计学派的原创始人是比利时的凯特靳,其最大的贡献就是将法国的古典概率引入统计学,用纯数学的方法对社会现象进行研究;社会统计学派的首倡者是德国的克尼斯,他认为统计研究的对象是社会现象,研究方法为大量观察法,
9、在近代统计学的发展过程中,这两学派的矛盾是比较大的。论文结论九、算法思想发展的历史(一)算法思想的历史在“算法”这个词被提出之前,人们早就知道了有关算法的实例,如现在被称作欧几里得算法的找两个数最大公约数的步骤。特别是,中国古代数学源于生活,贴近实际,实用性强,形成了以算为主,使用算器的一套算法体系。虽然在中国古代数学典籍中并未明确提出“算法”一词,但实际上已经孕育了构造算法的基本思想即程序思想。刘徽的九章算术注开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式,之后这种机械化思想一直贯穿于中国古代数学中。如“贾宪三角”“增乘开方法”“正负开方术”“大衍求一术”“天元术”和“四元术”(高次方程组的解法
10、)等都是中国古代数学中的算法,其算法思想对我们解决数学问题有极大的启发作用。(二)计算机算法计算机算法是以一步接一步的方式来详细描述计算机如何将输入转化为所要求的输出的过程。或者说,算法是对计算机上执行的计算过程的具体描述。一个算法必须具备以下性质:第一,算法首先必须是正确的,即对于任意一组输入,包括合理的输入与不合理的输入,总能得到预期的输出,如果一个算法只是对合理的输入才能得到预期的输出,而在异常情况下却无法预料输出的结果,那么它就不是正确的。第二,算法必须是由一系列具体步骤组成的,并且每一步都能够被计算机所理解和执行,而不是抽象和模糊的概念。第三,每个步骤都有确定的执行顺序,即上一步在哪
11、里,下一步是什么,都必须明确,无二义性。第四,无论算法有多么复杂,都必须在有限步之后结束并终止运行,即算法的步骤必须是有限的,在任何情况下,算法都不能陷入无限循环中。九、算法思想发展的历史论文结论十、近代数学史上的两大巨匠（一）欧拉欧拉，瑞士数学家和物理学家。他与高斯被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家。欧拉是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉大力引进和推广数学符号，他是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,他还推广使用三角函数现代符号、用e表示自然对数的底,用字母i来表示虚数单位、此外还发现了著名的欧拉公式欧拉在1736年解决了柯尼斯堡七桥问题、对一笔画问题进行了
12、阐述、是最早运用图论和拓扑学的典范，欧拉还发现了单连通多面体顶点、边和面的数量关系:F-E+V=2。其中，F为给定多面体的面数之和、E为边数之和、V为顶点数之和。欧拉是世界上最杰出的科学家之一,他的科学论著有70多卷。欧拉的努力使纯数学和应用数学领域都得到了充实,他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。论文结论(二)高斯高斯,德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明了最小二乘法原理,高斯的算术研
13、究莫定了近代数论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得出非欧几何的原理。他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念,发现了著名的柯西积分定理,他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来。高斯撰写的关于曲面的一般研究,全面系统地闸述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论。十、近代数学史上的两大巨匠(一一)贝利贝利一一克莱因克莱因运动运动1901年,英国数学家贝利发表了论数学教学的著名演讲,提出了“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应
14、用”的思想,以及改革数学教育的鲜明主张,其中多数是针对几何课程的。与此同时,著名的数学家克莱因也在各种场合发表自己对数学教育的看法,并提出了所谓的“米兰大纲”,这些观点对当时的数学界以强烈的抨击，作为对贝利和克莱因的响应,法国的波利尔和美国的穆尔也纷纷提出了数学教育改革的主张,于是就形成了后来被称为贝利一克莱因运动的20世纪第一个数学教育现代化运动。十一、近代中学数学教育改革概十一、近代中学数学教育改革概(二二)新数学运动新数学运动1950年代初期,新数学运动就已经作为美国战后数学教育计划之一悄悄地开始了,其最初的想法主要基于下面两个方面的变革:首先是数学本身的变革。二战以后,数学抽象化、公理
15、化、结构化的程度越来越高,并使得古典几何被排除在现代数学之外,在这种情况下,许多数学家都竭力主张彻底改革中学数学课程,用现代数学的思想方法和语言来重建传统的初等数学,并引进新的现代数学内容。其次是课程观念上的转变。传统的数学课程存在着明显的不足:一是过分强调运算技巧,学习数学退化成为死记公式、模仿例题的工作,缺乏必要的数学理解;二是忽视数学的逻辑结论和系统性,人为的把数学分割成些互不相通的部分。正是在这种课程思想指导下,人们开始考虑制定新的数学课程。继美国、欧洲推进数学教育现代化后,非洲、拉丁美洲、东南亚地区都相继成立了地区性的机构,召开会议推进“新数学运动”，于是“新数学运动“波及全球,于1
16、960年形成高潮。十一、近代中学数学教育改革概十一、近代中学数学教育改革概（三）回到基础运动（三）回到基础运动与“新数学运动”的轰轰烈烈成鲜明对比的是，“回到基础”几乎是悄无声息的进行的，既没有响亮的口号，也没有统一的纲领,其出发点是希望重新引起对基本技能的重视、但令人遗憾的是,回到基础不没有提高教学水平，反而使数学教学回落到历史的最低谷。十一、近代中学数学教育改革概十一、近代中学数学教育改革概(四四)多样化改革发展多样化改革发展（1）大众数学;（2）问题解决（3）服务性学科。总结总结伽罗瓦伽罗瓦罗素康托尔集合论创始人悖论策梅洛1980年提出公理化集合论阿贝尔阿贝尔伯努利伯努利一个分支,两个定
17、理,即伯努利大数定律,中心极限定理总结总结高斯欧拉贝利一克莱因运动刘徽刘徽九章算术注克尼斯克尼斯社会统计学派凯特靳凯特靳 数理统计学派柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫概率论基础本世纪初，法国著名科学家普恩凯莱曾本世纪初，法国著名科学家普恩凯莱曾说过：说过：“如果我们想要预见数学的将来，如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现适当的途径是研究这门科学的历史和现状状”而了解数学的历史，不仅对有志而了解数学的历史，不仅对有志于数学研究的研究人员来说是十分重要于数学研究的研究人员来说是十分重要的，就是对高、中、初级各类学校中的的，就是对高、中、初级各类学校中的数学教育工作者以及更为广大的数学爱数学教育工作者以及更为广大的数学爱好者讲来，其重要意义都是极为显而易好者讲来，其重要意义都是极为显而易见的见的