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1、第二章第二章 线性平稳过程线性平稳过程 2.1一般线性过程一般线性过程2.2 平稳序列的线性数学模型平稳序列的线性数学模型 2.3 ARMA序列的因果可逆性序列的因果可逆性2.4 ARMA模型的平稳性条件模型的平稳性条件和可逆条件和可逆条件 在应用时间序列分析中，最常用的平稳在应用时间序列分析中，最常用的平稳序列是线性平稳序列，即由白噪声的线性序列是线性平稳序列，即由白噪声的线性组合构成的平稳序列组合构成的平稳序列.定义定义 零均值序列零均值序列 称为称为白噪声白噪声不相关不相关若其自相关函数满足若其自相关函数满足一、线性平稳序列一、线性平稳序列2.1一般线性过程一般线性过程又若又若 是正态时
2、间序列，称为是正态时间序列，称为正态正态白噪声白噪声（WN(0,2)）.若存在非负整数若存在非负整数 q 和常数和常数a0,a1,aq，使使时间序列时间序列Xt可表示为可表示为称为白噪声的滑动平均称为白噪声的滑动平均.注注1 可将可将Xt 视为线性滤波器的输出，白视为线性滤波器的输出，白噪声看成驱动系统的扰动序列噪声看成驱动系统的扰动序列(激励激励).线性滤波器线性滤波器白噪声白噪声 注注2 Xt,tZ 是平稳序列是平稳序列.例例 发声系统发声系统二、线性过程的两种等价形式二、线性过程的两种等价形式1.传递形式传递形式时间序列分析中建立随机模型的时间序列分析中建立随机模型的思想思想：将顺序值之
3、间高度依赖的时间序列将顺序值之间高度依赖的时间序列 Xt 看成由一系列独立看成由一系列独立“冲击冲击”序列所生成序列所生成.通常将通常将“冲击冲击”序列理想化为白噪声序列理想化为白噪声过程过程 ，时间序列，时间序列 Xt 取为白噪取为白噪声的加权和声的加权和.Wold 分解式分解式（正交分解）：任意零均（正交分解）：任意零均值值纯非确定纯非确定的平稳过程都可表示为线性形的平稳过程都可表示为线性形式式(2.1.1)无穷阶滑动平均无穷阶滑动平均权系数权系数称为称为沃尔德系数沃尔德系数(格林函数格林函数、传递函数传递函数)，其，其中中是白噪声序列是白噪声序列.注注1（）式可表示为算子形式（）式可表示
4、为算子形式 其中其中称为称为传递函数传递函数或沃尔德系数的或沃尔德系数的生成函数生成函数.(2.1.1)注注2 对动态数据进行适当的预处理，可对动态数据进行适当的预处理，可将非平稳序列平稳化与零均值化将非平稳序列平稳化与零均值化.线性滤波器线性滤波器 将时间序列将时间序列Xt 视为线性滤波器的输出，视为线性滤波器的输出，白噪声看成驱动系统的扰动序列白噪声看成驱动系统的扰动序列(激励激励)注注3（）式的工程解释（）式的工程解释输入输入输出输出线性滤波线性滤波器模型器模型传递函数传递函数2.自回归形式自回归形式无穷阶自回归无穷阶自回归在适当条件下在适当条件下 可表示为线性形式可表示为线性形式(2.
5、1.2)是白噪声序列是白噪声序列或或XtXt2Xtp Xt1例例2.1.1 考虑单摆运动考虑单摆运动 X0是单摆的初始振幅，是单摆的初始振幅，Xt 是第是第t 次摆动的最次摆动的最大振幅，大振幅，是空气振动造成的随机干扰，是空气振动造成的随机干扰，式式(2.1.2)与式与式(2.1.1)互为逆转形式：互为逆转形式：3.生成函数的关系生成函数的关系单摆受扰图单摆受扰图将生成函数将生成函数 作用于作用于(2.1.2)式式得得(2.1.3)或或白噪声白噪声传递形式：传递形式：满足一满足一定条件定条件收敛收敛.逆转形式：逆转形式：例例 若平稳序列的自回归形式为若平稳序列的自回归形式为求得传递形式为求得
6、传递形式为三、线性过程的均值函数与自协方差函数三、线性过程的均值函数与自协方差函数 定理定理2.1.1(单调收敛定理单调收敛定理)若非负随机若非负随机变量序列变量序列 单调不减，则当单调不减，则当 推论推论 若时间序列若时间序列Yt满足下式左端的级满足下式左端的级数收敛条件数收敛条件,则有则有 定理定理(控制收敛定理控制收敛定理)若随机变量序列若随机变量序列n满足满足 则当则当 时，有时，有 ，且，且注注 几乎处处收敛几乎处处收敛,若二阶矩荐在，则一定若二阶矩荐在，则一定均方收敛，故均方收敛，故 有有 定理定理2.1.3 线性过程线性过程 若传递函数绝对可和若传递函数绝对可和 ,则有则有(2.
7、1.4)均值函数均值函数 ，自相关函数为自相关函数为 证明证明由单调收敛定理之推论由单调收敛定理之推论特别特别(2.1.5)级数可和保级数可和保证过程有有证过程有有限方差限方差 思考：思考：？命题命题 线性过程线性过程若满足以下条件之一，序列具有平稳性若满足以下条件之一，序列具有平稳性.1）沃尔德系数绝对可和：）沃尔德系数绝对可和：四、线性过程的平稳性四、线性过程的平稳性定理之证定理之证明明解释解释 在单位圆上或单位圆内级数收敛在单位圆上或单位圆内级数收敛.当当 收敛收敛.注注 若条件若条件1）成立有）成立有 概率为概率为1地收敛（地收敛（a.s.）2）沃尔德系数的生成函数）沃尔德系数的生成函
8、数续例续例 已知满足已知满足的平稳序列有传递形式的平稳序列有传递形式递推可得到递推可得到即随机变量序列即随机变量序列均方收敛于均方收敛于 WN(0,32)(1/n)(5/4)五、线性过程的可逆性条件五、线性过程的可逆性条件 平稳序列存在传递形式，表示为白噪声的平稳序列存在传递形式，表示为白噪声的无穷加权平均无穷加权平均.逆问题？逆问题？在什么条件下，可由序列在什么条件下，可由序列 的加权和表的加权和表示白噪声序列？示白噪声序列？过程的等过程的等价形式价形式定义定义2.1.1 平稳线性过程平稳线性过程 称为可逆称为可逆的，的，若存在常数序列若存在常数序列 ，满足，满足(2.1.6)使使 注注 条
9、件条件(2.1.6)成立，即在单位圆上或单位成立，即在单位圆上或单位圆内级数收敛，表达式惟一圆内级数收敛，表达式惟一.由平稳线性过程的两个等价形式，有由平稳线性过程的两个等价形式，有 作用于传递形式作用于传递形式即即 故当故当 时线性过程可逆时线性过程可逆.软腭悬雍垂咽后壁口咽舌扁桃体会厌谷X X线侧位片口线侧位片口咽部结构咽部结构会厌软骨喉会厌部 杓状软骨 喉会厌下部 颈部气管 舌骨 喉前庭 假声带 喉室 真声带 所给的图片正面图大片红色的部分，靠所给的图片正面图大片红色的部分，靠近眉毛的是额窦，在鼻子两旁的是上颌近眉毛的是额窦，在鼻子两旁的是上颌窦，都参与发声；侧位图中靠耳前上方窦，都参与发声；侧位图中靠耳前上方的红色窦腔是蝶窦。的红色窦腔是蝶窦。初值为初值为0.3，扰动方差为，扰动方差为9