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1、1v其中其中a-1就称为就称为f(z)在在z0的的留数留数,记作记作Resf(z0),即即复复 习习1 1 留数留数2 2 留数定理留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 b1,b2,.,bn 外处处解析.l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则包括无限远点和包括无限远点和有限远的奇点有限远的奇点)()(lim00zfzzzz-=非零有限值)()(lim00zfzzmzz=-非零有限值判断极点的阶判断极点的阶)()(lim00zfzzzz-=)()()(lim0000zQzPzzzz-=)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz-=-求留数求留数3
2、4.24.2 应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分留数定理的一个重要应用是计算实变函数的定积分留数定理的一个重要应用是计算实变函数的定积分,我们需要把我们需要把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来,才能应用才能应用.yxOBl2l1ab的积分区间的积分区间a,b可以看做复数平面可以看做复数平面上实轴的一端上实轴的一端l1,如图如图,或者或者利用自变数的变换利用自变数的变换把把l1变换为某个新的复数平面上的回路变换为某个新的复数平面上的回路,这样就可以利用留数定理了这样就可以利用留数定理了;或者或者另外补另外补上一段曲线上一段曲
3、线l2,使使l1和和l2组成回路组成回路l,包围区域包围区域B把把f(z)解析延拓到闭区域解析延拓到闭区域B(延拓把延拓把f(x)该为该为f(z),并沿着并沿着l积分得积分得左边利用留数定理左边利用留数定理,右边第一个为所求右边第一个为所求,第二个较容易算出第二个较容易算出(或为零或为零),问题解问题解决决!4类型一类型一类型一类型一()的有理函数的有理函数.为为其中其中yxyxR,()dRsin,cos20 xxp px,x=iez作变换作变换5例例例例1 1计算计算解解由公式得由公式得而由上节例题可知而由上节例题可知故可得结果为故可得结果为6例例例例2 2解解由公式得由公式得计算计算此回路
4、积分的被积函数有两个单极点此回路积分的被积函数有两个单极点:而前者而前者1在回路之外在回路之外,不予考虑不予考虑,而单极点而单极点 在在|z|=1内内,必须必须考虑考虑,下面计算在下面计算在 的留数的留数:由留数定理可得由留数定理可得7类型二类型二类型二类型二积分区间为积分区间为复变函数复变函数f(z)在实轴在实轴上没有奇点上没有奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的在上半平面除有限个奇点外是解析的,且当且当z在上半平面在上半平面和在实轴上和在实轴上时时,zf(z)一致地一致地如果如果f(x)是有理分式是有理分式上述条件意味着上述条件意味着 没有实的零点，没有实的零点，的次数至少高于的次数至少
5、高于 两次两次此积分可以理解为此积分可以理解为若此极限存在若此极限存在,则称则称此极限此极限为反常积分的值为反常积分的值,当当极限存在的话极限存在的话,称称 该极限为积分该极限为积分 的的主值主值主值主值在这里我们主要计算类型二的积分主值在这里我们主要计算类型二的积分主值我们考虑如下图的半圆形积分回路我们考虑如下图的半圆形积分回路l:8x xy yO O+R+R-R-RC CR RR R根据留数定理可得根据留数定理可得然后令然后令上式上式左边趋于左边趋于右边第一个积分右边第一个积分趋于所求的定积分趋于所求的定积分而而第二项积分第二项积分可以证明可以证明趋于零趋于零其中其中,max|zf(z)|
6、,max|zf(z)|指的是指的是|zf(z)|zf(z)|在在C CR R上的最大值上的最大值,由此可得由此可得+=+-RCRRdzzfdxxfzfi)()()(2数和数和所围半圆内各奇点的留所围半圆内各奇点的留在在lp9例例例例3 3解解计算计算本题中本题中,具有单极点士具有单极点士i,i,其中其中+i+i在在上半平面上半平面,并且有并且有利用公式可得结果利用公式可得结果先求上半平面极点先求上半平面极点,然后求留数然后求留数,最后得结果最后得结果10例例例例4 4解解计算计算本题中本题中,在上半平面的奇点是在上半平面的奇点是n n阶极点阶极点+i+i11然后应用公式可求得结果然后应用公式可
7、求得结果例例例例5 5解解计算计算这里积分区间为这里积分区间为不符合条件不符合条件,不能直接应用公式不能直接应用公式!但被积函数但被积函数1/(1+x1/(1+x2 2)n n是偶函数是偶函数,故有故有则有以下结论则有以下结论引用上题结果可得引用上题结果可得12类型三类型三类型三类型三这里积分区间为这里积分区间为偶函数偶函数F(x)F(x)和奇函数和奇函数G(x)G(x)在实轴上没有在实轴上没有奇点奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的在上半平面除有限个奇点外是解析的,当当z z在上半平面或在上半平面或实轴上实轴上 时时,F(z),F(z)和和G(z)G(z)一致地一致地首先我们把积分的形式变
8、换如下首先我们把积分的形式变换如下:右边第二个积分中作代换右边第二个积分中作代换x=-y,x=-y,考虑到考虑到F(x)F(x)是偶函数有是偶函数有对于定积分来说对于定积分来说,其值与积分变数符号无关其值与积分变数符号无关,则有则有13同理有同理有由此我们把由此我们把类型三化为类型二类型三化为类型二来来处理处理!在类型二中在类型二中,要求要求z z在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上 时，时，zF(z)ezF(z)eimzimz和和zG(z)ezG(z)eimzimz一致地一致地 ，但我们希望条件可以放宽一些但我们希望条件可以放宽一些,由此由此我们引入我们引入约当引理约当引理约当引理约当引理,
9、此时我们可以把条件放宽为此时我们可以把条件放宽为F(z)F(z)和和G(z)G(z)一致地一致地14约当引理约当引理约当引理约当引理设当设当z z在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上时，时，F(z)F(z)一致地一致地，则有，则有证明证明:设当设当z z在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上时时,F(z),F(z)一致地一致地,所以有所以有只需证明只需证明有界即可有界即可!m m为整数为整数,以原点为圆心而位于上半平面的半圆周以原点为圆心而位于上半平面的半圆周x xy yO O+R+R-R-RC CR RR R15如图如图:在在有有令令上式趋于有限值上式趋于有限值,另一个类似另一个类似证明证明!
10、若若m m是负数是负数,则约当引理形式为则约当引理形式为:其中其中 是是 对于实轴的映像对于实轴的映像由此我们得到在放宽的条件下类型三的计算公式如下由此我们得到在放宽的条件下类型三的计算公式如下:16例例例例6 6解解计算计算本题中本题中,有两个单极点士有两个单极点士aiai其中其中,+ai,+ai在上半平面在上半平面,且上述函数在单极点且上述函数在单极点+ai+ai的留数为的留数为于是我们可以得到结果如下于是我们可以得到结果如下例例例例7 7解解计算计算本题中本题中,有两个二级极点士有两个二级极点士aiai17其中其中,+ai,+ai在上半平面在上半平面,且上述函数在二级极点且上述函数在二级
11、极点+ai+ai的留数为的留数为由此我们可以得到结果由此我们可以得到结果18类型四类型四类型四类型四 实轴上有单极点的情况实轴上有单极点的情况考虑积分考虑积分,被积函数被积函数f(x)f(x)在实轴上有某个单极点在实轴上有某个单极点另外另外f(z)f(z)满足类型二的条件满足类型二的条件,由于存在极点由于存在极点,以以 为圆心为圆心,而而充分小的正数充分小的正数 为半径做半圆弧饶过奇点为半径做半圆弧饶过奇点 构成积分回路构成积分回路则有则有取极限取极限则左边积分为则左边积分为，右边第一二项之和为所求积分，右边第一二项之和为所求积分,由约当引理知由约当引理知第三项为零第三项为零,然后来看然后来看
12、第四项第四项,按以下方法计算按以下方法计算:19将将f(z)f(z)在在 的邻域展开为洛朗级数的邻域展开为洛朗级数,由于由于 是单极点是单极点其中其中 为级数解析部分为级数解析部分,在在上连续且有界上连续且有界,则有则有同时同时取极限取极限可得原积分为可得原积分为20如果实轴上有有限个单极点如果实轴上有有限个单极点,则可有则可有实轴上有奇点的时候实轴上有奇点的时候,仍然归结为留数的计算仍然归结为留数的计算,但要注意但要注意(1)(1)不是闭合曲线不是闭合曲线,f(z),f(z)洛朗展开的解析部分的积分值由于洛朗展开的解析部分的积分值由于 才趋于零才趋于零.(2)(2)实轴上的奇点只能是单极点实
13、轴上的奇点只能是单极点,不能是二阶或者以上的极点不能是二阶或者以上的极点,更不能是本性奇点更不能是本性奇点,否则否则 时时,积分积分将趋于将趋于(极点情形极点情形)或者不存在或者不存在(本性奇点情形本性奇点情形)21例例例例8 8解解计算计算将积分写为将积分写为此积分的被积函数此积分的被积函数e eixix/x/x除了在实轴上有单极点除了在实轴上有单极点x=0 x=0外外,满足类型三满足类型三且被积函数在上半平面没有奇点且被积函数在上半平面没有奇点,利用公式有利用公式有即即22()()().0,022222的值计算练习1+=-babxaxdxxI .23解解本题中本题中,有两个单极点士有两个单极点士aiai其中其中,+ai,+ai在上半平面在上半平面,且上述函数在单极点且上述函数在单极点+ai+ai的留数为的留数为于是我们可以得到结果如下于是我们可以得到结果如下().0sin022的值计算练习2.+=adxaxxxI