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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型；种模型,而 自相关函数和偏自相关函数1、自相关函数定义实际中单凭对时间序列的观看很难确定其属于哪一 是分析随机过程和识别模型的有力工具；在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念；由第一节知随机过程tx 中的每一个元素tx ,t = 1, 2, 都是随机变量；对于平稳的随机过程,其期望为常数,用表示,即即E x t,t1,2,k,随机过程的取值将以为中心上下变动；平稳随机过程的方差也是一个常量Var x t2,t1,2,x2 x用来度量随机过程取值对其均值的离散程度；相隔 k 期的两个
2、随机变量tx 与x t k的协方差即滞后k 期的 自协方差 ,定义为：kCov x x tkE x tx tk自协方差序列：k,k0,1,2,称为随机过程 tx 的自协方差函数 ；当 k = 0 时,0Var x t2；x自相关系数定义：kCov x x tkkVar x Var x t由于对于一个平稳过程有：Var x tVar x tk2x所以kCov xt,x tkkk,当k = 0 时,有01；22xx0以滞后期 k 为变量的自相关系数列kk0,1,2,称为 自相关函数 ；由于kCov x tk,x t= Cov x x t k,自相关函数是零对称的,所以实际讨论中只给出自相关函数的正
3、半部分即可；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、自回来过程的自相关函数1平稳 AR1 过程的自相关函数AR1 过程：x t 1 x t 1 u , 1；已知 E x t 0why. ；用 x t k 同乘上式两侧tx x t k 1 x t 1 x t k u x t k上式两侧同取期望：k 1 k 1其中 E u x t k 0why.由于 xt= ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 +,所以 xt-k = ut-k + 1 ut-k- 1 + 12 ut-k- 2 + ,而 ut 是白噪音与其 t
4、 - k 期及以前各项都不相关；两侧同除 0 得：k 1 k 1 1 2k 2 1 k0由于 o = 1,所以有 k 1 k k 0对于平稳序列有；所以当 1 为正时,自相关函数按指数衰减至零；当 1 为负时,自相关函数正负交叉地指数衰减至零；见以下图； 由于对于经济时间序列,1 一般为正,所以第一种情形常见；指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长,变量之间的关系变得越来越弱；.8.4.6.446.014.2-.4.0-.2-.82810121424681012同理,对于1 0 -1 情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如以下图；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,
5、共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.543 21.00.510-10.0-0.5-2-3-1.0-42468101214-1.52468101214 = 1.1 强非平稳过程 = 1随机游走过程2AR p 过程的自相关函数用 x t k k 同乘平稳的 p 阶自回来过程 x t 1 x t 1 2 x t 2 p x t p u t的两侧,得：x t k x t 1 x t k x t 1 2 x t k x t 2 p x t k x t p x t k u t对上式两侧分别求期望得：k 1 k 1 2 k 2 p k p,k 0 用 0 分别除上式的两侧得 Y
6、ule-Walker 方程 ：k = 1 k -1 + 2 k -2 + + p k - p , k 0 p令 1 1 L 2 L 2p L p1- G L,其中 L 为 k 的滞后算子, 这里 G i 1, i 1i = 1, 2, p 是特点方程 0 的根；为保证随机过程的平稳性,要求 G i 1；就：1 2 p k k 1 k 2 k p1 1 G i 2 G i p G i 0,也即 G i 1 G i 2 G i p G i；k k k可证：k AG 1 A G 2 A G * 其中 Ai, i = 1, ,p 为待定常数；提示： 可把*式代入到 Yule-Walker 方程中证明
7、由 *式知道会遇到如下几种情形； 当G 为实数时,* 式中的AGk将随着 k 的增加而几何衰减至零,2称为 指数衰减 ；i 当设G iabi ,Gjabi ,ab2= R,就G , G 和G 表示一对共轭复数时,G 的极座标形式是：G ijR cosisin GR cosisin 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设 AR p 过程平稳,就G i1,所以必有R 2；24、 ARMA 1, 1 过程的自相关函数ARMA 1, 1 过程的自相关函数k 从1 开头指数衰减；1 的大小取决于1 和1, 的符号取决于1
8、 -1 ；假设1 0,指数衰减是平滑的,或正或负；假设1 0 ,相关函数为正负交替式指数衰减；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于 ARMA p, q 过程, p, q 减、正弦衰减或二者的混合衰减； 2 时,自相关函数的表现形式比较复杂,可能是指数衰5、相关图 correlogram,或估量的自相关函数,样本自相关函数对于一个有限时间序列x1, x2, , xT用样本平均数T1x = txT t 1估量总体均值,用样本方差Ts 2 = 1 x t x 2T t 1估量总体方差 x2；当用 样本矩 估量随机过
9、程的自相关函数,就称其为 相关图 或估量的自相关函数,记为rk = C k , k = 0, 1 , 2, K, , K 1 时,kk0；所以 AR1过程的偏自相关函数特点是在k = 1 显现峰值11 = 1然后截尾；1012140.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.82468101214246811 0 11 2 时,kk0；偏自相关函数在滞后期2以后有截尾特性；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于 AR p过程,当kp 时
10、,kk0；当 k p 时,kk0；偏自相关函数在滞后期p 以后有截尾特性,因此可用此特点识别 AR p过程的阶数；对于 MA1 过程 tx = tu + 1 ut-1,有 1/ 1+ 1 L tx = tu ,1- 1 L + 1 2 L 2 - tx = tu ,tx = 1 x t-1 - 12x t-2 + 13x t-3 - + tu当 1 0 时,自回来系数的符号是正负交替的；当 1 0 1 2 K p q ,就拒绝 H0；其中 表示检验水平；p, q 分别表示时间序列模型中自回来和移动平均滞后项的个数；实际检验中, K 取 15 左右即可；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页