《2022年初三数学试题初三数学《三角形中作辅助线的常用方法举例》 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初三数学试题初三数学《三角形中作辅助线的常用方法举例》 .docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、_精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角形中作帮助线的常用方法举例 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或延长某 边构成三角形,使结论中显现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如：例 1：已知如图 1-1 ：D、E为 ABC内两点 , 求证 :ABACBDDECE. 证明：（法一） 将 DE两边延长分别交 AB、AC 于 M、N,在 AMN中, AMAN MDDENE;（1）在 BDM中, MBMDBD；（2）在 CEN中, CNNECE；（3）由（ 1）（ 2）（
2、 3）得： AMANMB MDCNNEMDDENEBD CE ABACBD DEEC BMDAENBGAFCED图 11C图 12（法二：）如图 1-2 , 延长 BD交 AC 于 F,延长 CE交 BF 于 G,在 ABF和 GFC和 GDE中有： AB AF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边）（ 1） GF FC GECE（同上） （2） DG GE DE（同上） （3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： AB AF GFFCDGGEBDDGGF GECEDE ABACBD DEEC；二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,
3、使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于 这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图2-1 ：已知 D为 ABC内的任一点,求证：BDC BAC；分析： 由于 BDC与 BAC不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使BDC处于在外角的位置,BACBGAEC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E,这时 BDC是 EDC的D外角, BDC DEC,同理 DEC BAC, BDC BAC 证法二：连接AD,并延长交BC于 F F 图 21 BDF是 ABD的外角 BDF BAD,同理, CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即：
4、 BDC BAC；留意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置 上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1 ：已知AD为 ABC的中线,且 1 2, 3 4, 求证： BECFEF；分析：要证 BE CFEF
5、 ,可利用三角形三边关系定理证明,须把 BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知 1 2,3 4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把 EN,FN,EF移到同一个三角形中；A证明： 在 DA上截取 DNDB,连接 NE,NF,就 DNDC,在 DBE和 DNE中：BENFCDNDB帮助线的作法12 已知1 2 34EDED公共边 DBE DNE （SAS）DBENE（全等三角形对应边相等）图 31同理可得： CFNF 在 EFN中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECF EF；留意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用
6、全等三角形的性质得到对应元素相等；四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形；例如：如图 4-1 ：AD为 ABC的中线,且 1 2, 3 4,求证： BECFEF 证明 ：延长 ED至 M,使 DM=DE,连接CM,MF；在BDE和 CDM中,ABD CD 中点的定义 1 CDM 对顶角相等 ED MD 帮助线的作法 E F BDE CDM （SAS）又 1 2, 3 4 （已知）1 2 34 C1 2 3 4180 （ 平角的定义 ）B D 3 2=90即：EDF90 FDM EDF 90图41M在 EDF和 MDF中EDMD帮助线的作法EDFFDM 已证DFDF 公
7、共边 EDF MDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在 CMF中, CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECF EF注：上题也可加倍 FD,证法同上；留意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形；例如：如图5
8、-1 ：AD为 ABC的中线,求证：ABAC2AD；ABAC 而由 2AD分析：要证ABAC2AD,由图想到： ABBDAD,ACCDAD,所以有 BDCDADAD2AD,左边比要证结论多BDCD,故不能直接证出此题,想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去；证明： 延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE,就 AE2AD AAD为 ABC的中线（已知）BDCD （中线定义）在 ACD和 EBD中BDCD 已证BDCADCEDB 对顶角相等ADED帮助线的作法 ACD EBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）E1在ABE中有： AB BEAE（三角形两边
9、之和大于第三边）图 5ABAC 2AD；（常延长中线加倍,构造全等三角形）练习：已知ABC,AD是 BC边上的中线,分别以ABEAF边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图 5-2 ,求证 EF2AD；六、截长补短法作帮助线；例如：已知如图6-1 ：在 ABC中, ABAC, 12,P为 AD上任一点；求证： ABAC PBPC；分析：要证： AB ACPBPC,想到利用三角形三边 关系定理证之,由于欲证的是线段之差,故用两边之差小BDC图52于第三边,从而想到构造第三边ABAC,故可在AB上截取 AN等于 AC,得 ABACBN, 再连接 PN,就 PC PN,又在PNB中, PBP
10、NBN,即： ABAC PBPC；证明：（截长法）在 AB上截取 AN AC连接 PN , ANAC 帮助线的作法12 已知APAP公共边 APN APC （SAS）PCPN （全等三角形对应边相等）在 APN和 APC中在BPN中,有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC 证明：（补短法）延长 AC至 M,使 AMAB,连接 PM,BNA1C在 ABP和 AMP中1 2ABAM 帮助线的作法12 已知PAPAP 公共边D_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ 图6M 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
11、- - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 ABP AMP （SAS）PB PM （全等三角形对应边相等）又在PCM中有： CMPMPC三角形两边之差小于第三边 AB ACPBPC；七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 ：已知 ACBD, ADAC于 A ,BCBD于 B,求证： ADBC 分析：欲证 ADBC,先证分别含有 AD,BC的三角形全等,有几种方案：ADC与BCD, AOD与 BOC, ABD与 BAC,但依据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角
12、；证明 ：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点,EADAC BC BD （已知） CAE DBE 90（垂直的定义）在 DBE与 CAE中EE公共角AOBDBECAE 已证BDAC 已知 DBE CAE （ AAS）EDEC EBEA （全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即： ADBC；D图71C（当条件不足时,可通过添加帮助线得出新的条件,为证题制造条件；）八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决；例如：如图8-1 ：AB CD,AD BC 求证： AB=CD；分析：图为四边形,我们只学了三角形的有关学问,必需把它转化为三角形来解决；证明 ：连接 AC（或 BD
13、）AB CD AD BC （已知） 1 2, 3 4 （两直线平行,内错角相等）在 ABC与 CDA中BA1图3142D12 已证ACCA 公共边34 已证 ABC CDA （ASA）8CABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长；例如：如图 9-1 ：在 Rt ABC中, ABAC, BAC90 , 1 2,CEBD的延长 于 E ；求证： BD2CE 分析： 要证 BD2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与 ABC 的平分线垂直,想到 F要将其延长；证明：分别延长BA,CE交于点 F；BECF （已知）AE BEF BEC90（垂直的定义）在 BE
14、F与 BEC中,_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - -B1 2DC图 91 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载12 已知BEBE公共边BEFBEC 已证 BEF BEC（ASA） CE=FE= 1 CF （全等三角形对应边相等）2 BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF90 BDA BFC 在 ABD与 ACF中1 BDA90 1 BFC90BAC CAF 已证 BDA BFC 已证 ABAC 已
15、知 ABD ACF （AAS） BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE 十、连接已知点,构造全等三角形；例如：已知：如图 10-1 ；AC、BD相交于 O点,且 ABDC,ACBD,求证： A D；分析：要证 A D,可证它们所在的三角形ABO和 DCO全等,而只有 ABDC和对顶角两个条件,差一个条件,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由 ABDC,AC BD,如连接 BC,就 ABC和 DCB全等,所以,证得A D；证明：连接 BC,在 ABC和 DCB中AB DC 已知 A DAC DB 已知 OBC CB 公共边 ABC DCB SSS A D 全等三角形对应边相等 B
16、C十一、取线段中点构造全等三有形；图 10 1例如：如图 11-1 ：ABDC,A D 求证：ABC DCB；分析：由 ABDC, A D,想到如取 AD的中点 N,连接 NB,NC,再由 SAS公理有 ABN DCN,故 BNCN, ABN DCN；下面只需证 NBC NCB,再取 BC的中点 M,连接 MN,就由 SSS公理有NBM NCM,所以 NBC NCB；问题得证；中证明：取 AD,BC的中点 N、M,连接 NB,NM,NC；就 AN=DN,BM=CM,在 ABN和 DCNANDN帮助线的作法AD 已知 ABN DCN （SAS）ABDC 已知 ABN DCN NB NC （全等三
17、角形对应边、角相等）在 NBM与 NCM中BAN1DNBNC 已证BMCM帮助线的作法MCNMNM 公共边 NMB NCM,SSS NBC NCB （全等三角形对应角相等） NBC ABN NCB DCN 图 11即 ABC DCB； 第 5 页,共 8 页 _名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载巧求三角形中线段的比值例 1. 如图 1,在 ABC中,BD：DC1：3,AE：ED2：3,求 AF
18、：FC；解：过点 D作 DG/AC,交 BF于点 G 所以 DG：FCBD：BC 由于 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4 即 DG：FC1：4,FC4DG 由于 DG：AFDE：AE 又由于 AE：ED2：3 所以 DG：AF3：2 即所以 AF：FC：4DG1：6 例 2. 如图 2,BCCD,AFFC,求 EF：FD 解：过点 C作 CG/DE交 AB于点 G,就有 EF：GCAF：AC 由于 AFFC 所以 AF：AC1：2 即 EF：GC1：2 由于 CG：DEBC：BD 又由于 BCCD 所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 即 DE2GC 由于 FDEDEF所以 EF：
19、FD小结：以上两例中,帮助线都作在了“ 已知” 条件中显现的两条已知线段的交点处,且所作的帮助线与结论中显现的线段平行；请再看两例,让我们感受其中的奥妙；_名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例 3. 如图 3,BD：DC1：3,AE：EB2：3,求 AF：FD；解：过点 B 作 BG/AD,交 CE延长线于点 G；所以 DF：BGCD：CB 由于 BD：DC1：3 所以
20、 CD：CB3：4 即 DF： BG3：4 所以 AF：BG2：3 所以 AF：DF由于 AF：BGAE：EB 又由于 AE：EB2：3 即例 4. 如图 4,BD：DC1：3,AFFD,求 EF：FC；图 4 解：过点 D作 DG/CE,交 AB于点 G 所以 EF：DGAF：AD 由于 AFFD 所以 AF：AD1：2 即 EF：DG1：2 _名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - _精品资料_ _汇总精选总结_ - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载由于 DG：CEBD：BC 又由于 BD：CD1：3 所以 BD：BC1：4 即 DG：CE1：4 CE4DG 由于 FCCEEF所以 EF：FC1：7 练习：1. 如图 5,BDDC,AE：ED1：5,求 AF：FB；2. 如图 6,AD：DB1：3,AE：EC3：1,求 BF：FC；答案： 1. 1 ：10；2. 9 ：1 _名师严选资料_ _归纳总结汇总_ - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -