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1、方程的根与函数的零点2021/8/9 星期一1 在人类用智慧架设的无数座从在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月漫长的岁月.我国古代数学家已比较系统地我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如解决了部分方程的求解的问题。如约公元约公元50年年100年编成的年编成的九章九章算术算术，就给出了求一次方程、二，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的
2、具体方法次方程和三次方程根的具体方法 2021/8/9 星期一2花拉子米花拉子米(约约780780约约850)850)给出了一次方程和二次方给出了一次方程和二次方程的一般解法。程的一般解法。阿贝尔阿贝尔(1802(18021829)1829)证明了五次以上一般证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程没有求根公式。秦九韶（公元秦九韶（公元1202120212611261），），系统地总结和发展了高次方系统地总结和发展了高次方程数值解法，提出了程数值解法，提出了“正负正负开方术开方术”，此法可以求出任，此法可以求出任意次代数方程的正根意次代数方程的正根 2021/8/9 星期一3问题问题探探究究2
3、021/8/9 星期一4 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y=x22x+3问题问题探探究究问题问题2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图数图象象的简图，并写出函数的图象与的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标轴的交点坐标20
4、21/8/9 星期一5方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2问题问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，轴交点的关系，上述结论是否仍然成
5、立？上述结论是否仍然成立？2021/8/9 星期一6 对于函数对于函数y=f(x),叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数函数函数的的的的零点定义：零点定义：零点定义：零点定义：等价关系等价关系等价关系等价关系使使f(x)=0的实数的实数x零点的求法零点的求法零点的求法零点的求法 代数法代数法图图象象法法2021/8/9 星期一7互动交流互动交流2、区别：区别：1、联系：联系：数值上相等：求函数零点就是求方程的根数值上相等：求函数零点就是求方程的根.存在性相同
6、：函数存在性相同：函数y=f(x)有零点有零点 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言零点对于函数而言，根对于方程而言问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？2021/8/9 星期一8求下列函数的零点求下列函数的零点65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和和30 例例1：求函数：求函数f（x）=lg(x-1)的零点的零点求函数零点的步骤：求函数零点的步骤：(1)令令f(x)=0;(2)解方程解方程f(x)=0；(3)写出零点写出零点2021/8/9 星期一9观察下列观察下列三三组画面，
7、请你推断哪组画面一定能组画面，请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？说明小马已经成功过河？2021/8/9 星期一10观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”)在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c)_ 0(“”或或“”)在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d)_ 0(“”或或”)在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyOabcd问题问题探探究究问题问题5 5：函数：函数y yf(x)f
8、(x)在某个区在某个区间上是否一定有零点？间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数怎样的条件下，函数y yf(x)f(x)一定有零点？一定有零点？2021/8/9 星期一11观察下面函数图象思考:虽然函数虽然函数f(x)满足了满足了f(-1)f(1)0,但它在区但它在区间间(-1,1)上却没有零点上却没有零点,为什么为什么?2021/8/9 星期一12 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是连续不断的一条曲线象是连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得，
9、使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc2021/8/9 星期一13练习：练习：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数）已知函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（）（3）已知函数）已知函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且在区间上连续，且在区间(a,b)内存在内存在零点，则有零点，则有 f(a)f(b)0（）（4）已知函数）已知函数y=f(x)在区间在区间a
10、,b 满足满足f(a)f(b)0，则，则f(x)在区在区间间(a,b)内存在零点内存在零点.（）abOxyabOxyabOxy函数零点存在性定理的理解函数零点存在定理的函数零点存在定理的四四个注意点：个注意点：1 1 函数是连续的。函数是连续的。2 2 定理不可逆。定理不可逆。3 3 至少存在一个零点，不排除更多。至少存在一个零点，不排除更多。4 4 在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数性，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上存在唯一零点。上存在唯一零点。2021/8/9 星期一14由表由表3-1和图和图3.13
11、可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13）4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题 2 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x x x xf f f f（x x x x）.
12、x0246105y241086121487643219函数零点存在性定理的应用2021/8/9 星期一15你能判断出方程你能判断出方程 x=-x2+3 实数根的个数吗？实数根的个数吗？试一试：试一试：12021/8/9 星期一16口诀：口诀：函数零点方程根，函数零点方程根，形数本是同根生。形数本是同根生。是否存在端点判，是否存在端点判，函数连续要记清。函数连续要记清。2021/8/9 星期一17归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识本节课你收获了什么？本节课你收获了什么？2021/8/9 星期一18一个关系：一个关系：函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系:函数方程零点根数 值存在性个 数
13、两种思想：两种思想：函数方程思想；数形结合思想函数方程思想；数形结合思想 三种题型：三种题型：求函数零点、确定零点个数、求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间求零点所在区间 归纳整理，整体认识2021/8/9 星期一19布置作业：1利用函数利用函数图图象判断下列方程有几个根：象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2)3；（；（2）ex144x2写出并写出并证证明下明下列函数零点所在的大致区列函数零点所在的大致区间间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)3(x2)(x3)(x4)x3思考思考题题：方程：方程2-x=x在区在区间间_内有解，如何求内有解，如何求出出这这个解的近似个解的近似值值？请预习请预习下一下一节节 2021/8/9 星期一20