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1、第十三章第十三章计数的原理2021/8/9 星期一1两个两个计数原理与排列、数原理与排列、组合合第第6767讲讲2021/8/9 星期一21.下列问题：从1到10十个自然数中任取两个不同的数组成点的坐标，可以得到多少个不同点的坐标？从学号为1到10的十名同学中任选两名去开座谈会，有多少种不同的选法？平面上有5个点，其中任意三点不共线，则这5个点最多可确定多少条直线？2021/8/9 星期一3平面上有5个点，其中任意三点不共线，则这5个点最多可确定多少条射线？属于排列问题的序号为_(选出你认为正确的序号)解析：根据排列的定义，有顺序的问题是排列问题，点的坐标和射线都是有顺序的，所以答案为.202
2、1/8/9 星期一42.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有_种解析：甲选修2门，有6种选法；乙选修3门，有4种选法；丙选修3门，有4种选法所以不同的选修方案共有644=96(种)962021/8/9 星期一51722021/8/9 星期一64.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，且比20000大的五位偶数共有_个解析：分两类：首位是2或4，有4A=96个；首位是3或5，有6A=144个故符合条件的五位数有96+144=240个2402021/8/9 星期一75.从班委会5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育
3、委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)362021/8/9 星期一82021/8/9 星期一9两个计数原理的应用两个计数原理的应用2021/8/9 星期一10【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，知共有3333=81种不同的报名方法.2021/8/9 星期一11 (2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种可能，他受到第一位学生得冠军的可能性的影响，因为第二位学生要获得冠军，要除去与第一位学生
4、获得冠军的相同的情况，考虑第三位、第四位获得冠军，相同的情况就会变得越来越复杂.显然，以学生获得冠军的可能性来分步，会使解决问题更加困难.2021/8/9 星期一12 若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为444=64种.2021/8/9 星期一13点评 应用分步计数原理时，也要明确分步的标准.分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤完成了，这件事才算完成.本题中第(1)问，是以人来分步的，每
5、人选报一个项目，都有三种选法，4个人都选定了项目，这件事就完成了；第(2)问是以项目分步的，每个项目的冠军都有4种可能的结果，三个项目的冠军确定了，这件事就完成了.2021/8/9 星期一142021/8/9 星期一152021/8/9 星期一16排列问题排列问题2021/8/9 星期一172021/8/9 星期一18点评排列问题中的难点就是定位排列，捆绑和插入是两种重要的解题思想方法.元素相邻，先将其捆绑并看成一个“大”的元素与其他元素进行排列，再对捆绑的元素进行排列，这就是“捆绑法”；元素不相邻，先把其他元素进行排列，再把不相邻元素插入先排好的元素(包括两端的空隙)之间，这就是“插空法”.
6、2021/8/9 星期一19【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数2021/8/9 星期一20组合问题组合问题【例3】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A、B必须当选；(2)A、B都不当选；(3)A、B不全当选；(4)至少有2名女同学当选；(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任.2021/8/9 星期一21【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有 =120种；(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有 =252种
7、；(3)直接法:分两类：A、B一人当选，有 =420种；A、B都不当选，有 =252种；所以总的选法有420+252=672种；间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，得到总的选法有 =672种；2021/8/9 星期一22 (4)直接法:分四步：选2名女生，有 =1035=350种；选3名女生，有 =210种；选4名女生，有 =35种；选5名女生，有 =1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种；间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即总选法有 =596种；2021/8/9 星期一23 (5)分三步：先
8、选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有 =35种；再选出2男1女，补足5人的方法有 =60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有 =6种方法.所以总的选法有35606=12600种.2021/8/9 星期一24点评 组合应用题是计数问题中的核心问题，题目呈现方式通常由关键词表现出来，如“至多”“至少”“平均分摊”等.解决的方法一般有分组法、排除法、间接法.要注意掌握几何问题、分配问题、分组问题的处理方法.2021/8/9 星期一252021/8/9 星期一262021/8/9 星期一27排列与组合的综合应用排列与组合的综合应用 2021/8/9 星期一28【解析】分三步：先确定一个空盒，
9、有 =4种方法；选出2个小球捆绑，有 =6种方法；将捆绑的小球与其余2个小球看成3个小球，再放入3个盒中，有 =6种方法.于是共有 =466=144种方法.2021/8/9 星期一29点评 恰有一个空盒，说明必定有一个盒子内放2个球，这样问题就分解为三个子问题，即哪一个盒子不放球；哪两个球放在同一个盒子里；将球放入盒子里有没有顺序.这三个问题是相互依存的，故要用分步计数原理.本题在将空盒留下后，问题就转化为“4个不同的小球放入3个不同的盒子里，且每个盒子里至少放一个球”，2021/8/9 星期一30点评可以这样分析：先每个盒子中放一个球，有 =24种放法；再将第4个球放入3个盒子的任何一个，有
10、 =3放法，于是放法总数为 =288种，这一结果与上述结论不吻合，原因出在将第4个球放入盒子中时，使盒子中的两个球无意识地加入了顺序，当两个球无顺序时，即为288 =144.2021/8/9 星期一31【变式练习4】有6本不同的书.(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆一本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人一本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？2021/8/9 星期一32 (5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(6)摆在3层书架上，每层
11、2本，有多少种不同的摆法？2021/8/9 星期一33【解析】(1)在6本书中，先取2本给甲，从剩下的4本中取2本给乙，最后2本给丙，有 =90种分法；(2)6本书平均分成3堆，共有 =15种分堆方法；(3)从6本书中先取1本作一堆，在剩下的5本中，取2本作一堆，最后的3本作一堆，共有 =60种分堆方法；2021/8/9 星期一34【解析】(4)在(3)中，甲、乙、丙3人任取一堆，共有 =360种分堆方法 (5)平均分堆要除以堆数的全排列，不平均分堆则不除，共有 =15种分堆方法;(6)与6本书放在6个位置上同意义，共有 =720种不同的摆法.2021/8/9 星期一35【解析】(先填数字1，
12、有3种方法；其次任选一个数字填入符合条件的方格中，有3种方法；最后两个数字唯一选择，故不同的填法有331=9种.1.将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有_种.92021/8/9 星期一36 2.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 .1102021/8/9 星期一372021/8/9 星期一382021/8/9 星期一39 5.7名师生站成一排，其中老师1人，男生4人，女生2人.在下列情况下，各有不同站法多少种 (1)两名女生相邻；(2)4名男生不相邻；(3)老师不
13、站中间，女生不站两端.2021/8/9 星期一40 【解析】(1)2名女生站在一起有 种站法，她们与其余5人全排列，有 种方法.故有 =1440种站法.(2)老师和女生先站好，有 种方法，再将4名男生插入其中，插法有 种.故有 =144种站法.2021/8/9 星期一412021/8/9 星期一42 1.两个计数原理的应用方法 在处理具体的应用问题时，必须先分清是分类还是分步.具体来讲，要根据元素的不同性质进行“分类”，根据事件发生的过程进行“分步”.两种计数方法，都必须弄清按什么标准进行“分类”或“分步”，在分类中，“类”与“类”之间是确定的和并列的；在分步中，“步”与“步”之间是相依的和连
14、续的.2021/8/9 星期一43 2.排列与组合综合理解组合问题与排列问题的共同点都是“从n个不同的元素中选出m个元素”，区别在于，组合是取出的元素集中成一组，没有顺序，而排列是取出的元素要按顺序排成一列.解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步.(2)分清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算.在综合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类.2021/8/9 星期一44 (3)要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想方法.(4)排列、组合问题的答案一般数字比较大，不易直接验证.因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过一题多解验证结论.2021/8/9 星期一45