微积分解题方法选讲.ppt

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1、微积分解题方法选讲微积分解题方法选讲引引 言言1.开课目的开课目的 中国数学会自2009年起于每年的10月底举行全国大学生数学竞赛。在已经举行的三届全国大学生数学竞赛中，安徽理工大学取得了较好成绩。2011年，安徽理工大学成为安徽赛区的三个考点之一。前3年的竞赛选拔、培训均从9月份开始，时间比较匆忙，致使选拔环节存在不少问题，培训也不太充分。适逢学校实行学分制，各院系可以自主开设各类公共选修课。教务处破例允许数学系对一年级学生开设“微积分解题方法选讲”公选课，目的是及早进行数学竞赛的选拔、培训，使选拔和培训工作更合理、充分，力争安徽理工大学在全国大学生数学竞赛中取得更好成绩。2.授课方式授课方

2、式 由于上课的学生较多，不可能像正式培训那样为每个学生提供纸质资料，批改作业。本课程拟采用如下授课方式：(1)学生按教师要求对下次授课所涉及到的概念、方法进行复习；(2)教师在课堂上对重点问题、重要题目进行详细讲解，学生做相应课堂练习；(3)课后学生要仔细研读课堂所讲内容,独立动手演算例题，认真完成作业；作业每周交一次，次周会对作业进行讲评；(4)本课程将有两次单元测验和一次最终的选拔考试。本课程的PPT及相关电子资料见信箱:MM:matlabmaple3.授课内容及特点授课内容及特点 考虑到与学生现在所学高数内容的衔接，本课程只讲授高数下内容，包括：空间解析几何，多元函数微积分及其应用，级数

3、和常微分方程。由于本课程属竞赛培训性质，根据竞赛要求，本课程的授课内容有如下特点：(1)宽本课程要介绍一些课本上没有涉及到的内容，如重积分的换元法，正项级数的广义比较审敛法等；(2)难本课程所讲例题及作业大部分难度较大；(3)繁部分题目中的计算相当繁琐,如多元微分学中的变量代换,多元积分学中的应用问题等。4.课程考核及最终选拔课程考核及最终选拔 由于本课程实际上是为数学竞赛选拔而专门开设的公选课，所以本课程的考核方式是最终的选拔赛。正式参赛的50名学生将依据选拔赛成绩、单元测验成绩、期末成绩及完成作业情况而选拔产生。正式名单放假前公布。欢迎名单外的学生参与听课、选拔、参赛。一、空间解析几何一、

4、空间解析几何 空间解析几何不是全国大学生数学竞赛的重点内容，所占比例很小。有时仅将此内容与多元函数微分学几何应用、多元函数积分学结合考察，并不单独命题。空间解析几何重点要掌握的内容是：旋转曲面方程；点到直线的距离；异面直线间的距离；异面直线的公垂线方程。1.旋转曲面方程旋转曲面方程 本部分要求理解、掌握建立旋转曲面方程的思路和方法，特别要注意空间曲线绕非坐标轴旋转而成的旋转曲面。例例1 设曲线L是抛物柱面 x=2y2与平面 x+z=1的交线。(1)求曲线L在各坐标面上的投影曲线;(2)求曲线L分别绕各坐标轴旋转一周而成的旋转曲面方程。如图，设旋转曲面S上某一点M(x,y,z)由空间曲线C上点

5、M1(x0,y0,z0)绕z轴旋转所生成。根据旋转曲面的概念，z=z0，且这两点到z轴的距离相等。将C写为z的参数方程再令 ，即得旋转曲面方程 例例2 求直线 绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程。练习练习1 求直线 在平面 上的投影绕y旋转而成的旋转曲面方程。练习练习2 求直线 绕直线 l0:x=y=z 旋转一周所得旋转曲面方程。2.点到直线的距离点到直线的距离 点到直线的距离是诸如转动惯量等问题的基础。设M0为直线L外一点，M是L上一点，且L的方向向量为s，试证：M0到L的距离证证 ，第一周作业第一周作业 1.研读本PPT，独立完成所有例题。2.完成第一部分的6 个练习和第二部分的练习1。3.预

6、研第二部分的例4和例5。4.预习多元隐函数求导内容。例例3 求点 到直线的距离。练习练习3 用三种方法求 到直线的距离。3.直线到直线的距离直线到直线的距离 直线到直线的距离问题是空间解析几何中比较重要的问题。在计算前最好用混合积判断一下两直线是平行还是异面。例例4 求两直线间的距离。练习练习4 用三种方法求两直线间的距离。4.求异面直线的公垂线方程求异面直线的公垂线方程 求异面直线的公垂线方程也是空间解析几何中比较重要、有一定难度的问题。例例5 求两直线的公垂线方程。练习练习5 用两种方法求两直线的公垂线方程。练习练习6 平面通过两直线的公垂线L，且平行于向量c=1,0,-1，求此平面。二、

7、多元函数微分学及应用二、多元函数微分学及应用 多元函数微分学及其应用是竞赛中比较重要的内容，比例约占15%。多元函数微分学及其应用重点要掌握的内容是：复合函数和隐函数求导法；几何应用；多元函数极值。要特别注意几何应用、多元函数极值与其它内容相结合的综合问题。1.偏导数与可微的概念偏导数与可微的概念 本部分要求理解多元函数连续、偏导数、微分等概念及其相互关系；掌握用定义判断偏导存在、可微的方法。例例1 证明 在(0,0)处连续、偏导数存在，但不可微。练习练习1 证明在(0,0)处可微，但偏导并不连续。2.多元复合函数偏导数的计算多元复合函数偏导数的计算 本部分要求熟练掌握多元复合函数偏导数的计算

8、，特别要注意二阶偏导数的计算以及自变量的变换问题。例例2 设 ，其中f 可微，求 此题要特别注意计算中可能的错误。例例3 设 求 。(1)在计算多层复合函数的偏导时，最好先根据函数树图搞清函数的复合结构。(2)当复合层次较多时，利用全微分形式不变性求偏导数较方便且不易错。例例4 设变换 可把方程简化为 ，其中 二阶偏导连续，求常数a。注注 此类题的关键是将新引入的变量u,v作为中间变量，然后利用复合函数求导法计算；难点是二阶偏导数的计算。例例5 设 一阶偏导连续，做变换 ，证明：例例6 设 ，将下列方程变换为w=w(u,v)的方程其中z(x,y)二阶偏导连续。练习练习2 设变换 将方程 化为

9、，求a并解此方程，其中z(x,y)二阶偏导连续。练习练习3 设 ，u(x,y)二阶偏导连续。(1)将 分别变换为极坐标 下的表达式；(2)设 ，解方程 。练习练习4 试用变量代换将 的方程化为 的方程。3.隐函数求导法隐函数求导法 隐函数求导法是竞赛中常考内容。本部分要求熟练掌握各种形式隐函数一阶和二阶偏导数的计算。例例7 设 由方程 确定，求 。第二周作业第二周作业 1.研读本PPT中的新内容，独立完成所有例题。2.完成第二部分的练习210。本题为隐函数求导中的典型问题，通常有三种做法：(1)公式法；(2)两边求导法；(3)微分法。考虑到学生的计算能力，建议采用公式法。例例8 设y=f(x,

10、t)，而t是由方程F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数，其中f,F均一阶偏导连续，证明：练习练习5 设z=z(x,y)是由确定的具有连续二阶偏导的隐函数，且F1=F20。求证：(1)；(2)。本题为第3届预赛试题。练习练习6 设z=f(u,v)二阶偏导连续，且又x=x(y,z)是由z=f(x,y)确定的函数，求 4.多元函数微分法的几何应用多元函数微分法的几何应用 多元函数微分法的几何应用在竞赛中往往与多元函数的极值、线面积分等内容综合考察。例例9 求曲线 在点P(1,1,1)处的切线与法平面方程。例例10 证明:曲面F(ax+bz,by+cz)=0的切平面均平行于某定直线，F一阶偏导连续

11、。练习练习7 过点(2,0,0)引曲面 的切线，求全部切线组成的曲面。练习练习8 证明:曲面 的切平面均过一定点，f一阶偏导连续。5.多元函数的极值多元函数的极值 多元函数的极值几乎是竞赛中的必考内容，通常与几何应用、多元函数积分学的应用等内容综合考察。例例11 抛物面 被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。例例12 求椭球面 在第一卦限的点，使该点切平面被三坐标面截出的三角形的面积最小。练习练习9 在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 的方向导数最大。练习练习10 设锥面 ，平面 ，求以点P为中心与相切的球面方程及切点坐标，其中P是S上到距离最小的点。三、多元函

12、数积分学及应用三、多元函数积分学及应用 多元函数积分学及其应用是竞赛中非常重要的内容，比例约占15%。对多元函数积分学及其应用部分，除了要熟悉重积分、两类线面积分的计算方法外，要特别注意Green公式(积分与路径无关)和Gauss公式、多元函数积分学的物理应用(质心、转动惯量、功)。1.重积分的计算及应用重积分的计算及应用 本部分要求熟练掌握二重和三重积分的各种计算方法，熟悉重积分在几何和物理上的应用。此外，最好还要知晓重积分的轮换对称性和换元法。下面首先以二重积分为例介绍轮换对称性和换元法。(1)轮换对称性轮换对称性 若D和D1关于y=x对称，则 若D关于y=x对称，则 轮换对称性在计算某些

13、特殊二重积分时有着特别的作用。例例1 计算积分其中 。注注 本题也可用通常方法计算。例例2 求 ，其中f(t)为定义在 上的连续正值函数，a0,b0，。注注 本题无法用一般方法计算。例例3 设f(x)在0,1上正值递减，试证 注注 本题的关键是将其转换为二重积分问题。(2)二重积分的换元法二重积分的换元法 若变换x=x(u,v),y=y(u,v)将uOv面上的区域变成xOy面上的区域D，则其中，为Jacobi行列式。例例4 计算 注注 本题是典型的换元法。例例5 设f(x)连续，证明其中 。例例6 设f(x)连续，证明其中 。注注 本题与练习7类似，难度较大，所用方法也较为独特。解解 根据题意

14、，令 ，即这相当于将向量(x,y)顺时针旋转了。而D变为 ，故 (3)重积分的计算与应用重积分的计算与应用 数学竞赛中单独考察重积分计算的可能性较小，往往与多元函数极值、几何与物理应用等问题相结合。例例7 求其中 。例例8 求其中 。例例9 求 例例10 设抛物面 及圆柱面 。(1)求 的一个切平面，使它与 及 围成的立体 的体积最小。(2)当由(1)确定的最小体积的立体 上有质量分布，其密度为1，求 的质心。练习练习1 计算积分其中 。练习练习2 求 ，其中 练习练习3 证明：练习练习4 求 练习练习5 计算其中D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域。本题为第一届预赛第1题。练习练习6 证明：练习练习7 证明：其中 。本题与第3届预赛中的一个难题类似。练习练习8 求 练习练习9 求其中 为常数。练习练习10 设曲面 。(1)S1将 S2分成三块，求这三块曲面面积。(2)记 ，求 位于S1内部分的体积V。2.线面积分的计算及应用线面积分的计算及应用 本部分要求熟练掌握两类线面积分的计算方法，熟悉第1,2类线积分及第1类面积分在物理上的应用，特别要注意格林公式和高斯公式及其应用问题。