《《D高阶线性》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《D高阶线性》PPT课件.ppt（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程解的结构 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时,物体处于物体处于 平衡状态平衡状态,例例1.质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使
2、它离开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图建立坐标系如图.设时刻设时刻 t 物位移为物位移为 x(t).(1)自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(虎克定律虎克定律)成正比成正比,方向相反方向相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程:阻力阻力(2)强迫振动情况强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力若物体在
3、运动过程中还受铅直外力则得则得强迫振动方程强迫振动方程:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求电容器两两极板间电压求电容器两两极板间电压 例例2.联组成的电路联组成的电路,其中其中R,L,C 为常数为常数,所满足的微分方程所满足的微分方程.提示提示:设电路中电流为设电路中电流为 i(t),上的电量为上的电量为 q(t),自感电动势为自感电动势为由电学知由电学知根据回路电压定律根据回路电压定律:设有一个电阻设有一个电阻 R,自感自感L,电容电容 C 和电源和电源 E 串串极板极板机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭合回路中在闭合回路中,所有支路
4、上的电压降为所有支路上的电压降为 0串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得则得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 化为关于化为关于的方程的方程:故有故有 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为方程的方程的共性共性 为二阶线性微分方程为二阶线性微分方程.例例1例例2 可归结为可归结为同一形式同一形式:时时,称为非齐次方程称为非齐次方程;时时,称为齐次方程称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程一阶线性方程通解通解:非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y机动机动 目录目录 上页上页
5、 下页下页 返回返回 结束结束 证毕证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:代入方程左边代入方程左边,得得(叠加原理叠加原理)定理定理1.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念.
6、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义:是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如，在在(,)上都上都有有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为必需全为 0,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
7、 返回返回 结束结束 两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使(无妨设无妨设线性无关线性无关常数常数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0,则则必线性必线性相关相关(证明略证明略)线性无关线性无关机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解,则则数数)是该方程的通解是该方程的通解.例如例如,方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为(自证自证)推论推论.是是 n 阶齐次
8、方程阶齐次方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解,则方程的通解为则方程的通解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.证证:将将代入方程代入方程左端左端,得得复习复习 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如,方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通
9、解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为证毕证毕因而因而 也是通解也是通解.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理 4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)定理定理3,定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理 5.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程
10、的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解,是任意是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关.(反证法可证反证法可证)(89 考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解.解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且常数常数因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有三有三 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习 P331 题题1,3,4(2),(5)作业作业 练习册：习题三十六练习册：习题三十六第一至第五大题第一至第五大题 第八节第八节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束