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1、第第4章章效用最大化和选择Copyright 2005 by South-Western,a division of Thomson Learning.All rights reserved.1对于经济学方法的抱怨对于经济学方法的抱怨在现实中没有人进行效用最大化所要求的“计算”效用最大化模型预言了选择行为的许多方面因此,经济学家假设人们的行为是基于这种计算2对于经济学方法的抱怨对于经济学方法的抱怨关于选择的经济学模型是极端自私的，而现实中没有人的目标是完全自我为中心的效用最大化模型没有禁止人们从“做好事”中获得满足3最优化原理最优化原理为了最大化效用,在给定能够花费的收入的条件下,消费者将要购
2、买商品和服务:花光总收入两种商品之间的心理替代率(MRS)等于市场上的替代率4一个数值例子一个数值例子假设消费者的 MRS=1愿意用1单位 x 换一单位 y假定价格为 x=$2 和 y=$1消费者可以变得更好在市场上将1单位x换成2单位y5预算约束预算约束假设消费者可以利用 I 在商品 x 和 y 之间配置pxx+pyy Ix的数量y的数量消费者仅仅能够承担阴影部分三角形内的x和y的组合如果所有收入花费给 y,这是所能够买的数量如果所有收入花费给 x,这是所能够买的数量6最大值的一阶条件最大值的一阶条件我们可以利用消费者的效用图来表示效用最大化的过程x的数量y的数量U1A消费者可以通过重新配置
3、他的预算做得好于 A点U3C消费者不能获得 C 点，因为收入不够U2B点 B 是效用最大化的所在7最大值的一阶条件最大值的一阶条件在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最大效用x的数量y的数量U2B8最大值的二阶条件最大值的二阶条件相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除非我们假设MRS 是递减的如果 MRS 是递减的,那么无差异曲线是严格凸的如果 MRS 不是递减的,那么我们必须检查二阶条件以保证我们获得的是最大值。9最大值的二阶条件最大值的二阶条件相切仅仅是一个必要条件我们需要 MRS 是递减的x的数量y的数量U1BU2A在 A 点相切,但是消费者可以在 B点获得更高的效用10角点解角点解在有
4、些情况中,消费者的偏好可能使得他们仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最大效用x的数量y的数量在 A 点,无差异曲线和预算约束线没有相切U2U1U3A在 A 点效用最大化 11n种商品情况种商品情况消费者的目标是最大化效用=U(x1,x2,xn)服从预算约束I=p1x1+p2x2+pnxn建立拉各朗日函数:L=U(x1,x2,xn)+(I-p1x1-p2x2-pnxn)12n种商品情况种商品情况内点最大值解的一阶条件:L/x1=U/x1-p1=0L/x2=U/x2-p2=0L/xn=U/xn-pn=0L/=I-p1x1-p2x2-pnxn=013一阶条件含义一阶条件含义对于任意两种商品,这意味
5、着在收入处于的最优配置的时候14解释拉各朗日乘子解释拉各朗日乘子 是消费支出额外增加一元的边际效用收入的边际效用15解释拉各朗日乘子解释拉各朗日乘子在边际点,商品的价格表示了消费者对于最后一单位商品效用的评价消费者愿意为最后一单位付多少钱16角点解角点解当考虑角点解的时候,必须修改一阶条件:L/xi=U/xi-pi 0 (i=1,n)如果L/xi=U/xi-pi 0,那么 xi=0这意味着任何其价格超过其对于消费者边际价值的商品消费者都不会购买17柯布道格拉斯需求函数柯布道格拉斯需求函数柯布道格拉斯效用函数:U(x,y)=xy建立拉各朗日函数:L=xy+(I-pxx-pyy)一阶条件:L/x=
6、x-1y-px=0L/y=xy-1-py=0L/=I-pxx-pyy=018柯布道格拉斯需求函数柯布道格拉斯需求函数一阶条件意味着:y/x=px/py因为 +=1:pyy=(/)pxx=(1-)/pxx替换进预算约束:I=pxx+(1-)/pxx=(1/)pxx19柯布道格拉斯需求函数柯布道格拉斯需求函数解出 x解出 y消费者配置收入中 的比率给商品x，比率给商品 y20柯布道格拉斯需求函数柯布道格拉斯需求函数柯布道格拉斯效用函数在对于实际消费行为的解释力上有局限收入中配置到某种商品上的比率经常随着经济条件的变化而改变一个更加一般的函数形式可能在解释消费决策的时候更有用21CES需求需求假设
7、=0.5U(x,y)=x0.5+y0.5建立拉各朗日函数:L=x0.5+y0.5+(I-pxx-pyy)一阶条件:L/x=0.5x-0.5-px=0L/y=0.5y-0.5-py=0L/=I-pxx-pyy=022CES 需求需求这意味着(y/x)0.5=px/py代换进预算约束,我们可以解出需求函数23CES 需求需求在这些需求函数中,花在 x 和 y上的收入百分比不是一个常数依赖于两种价格的比率x(或y)的相对价格越高，花费在 x(或 y)上的比率越小24CES 需求需求如果 =-1,U(x,y)=-x-1-y-1一阶条件意味着y/x=(px/py)0.5需求函数是25CES 需求需求如果
8、 =-,U(x,y)=Min(x,4y)人们仅仅选择组合 x=4y这意味着I=pxx+pyy=pxx+py(x/4)I=(px+0.25py)x26CES 需求需求因此,需求函数是27间接效用函数间接效用函数经常可以利用一阶条件解出x1,x2,xn的最优值 这些最优值依赖于所有商品的价格和收入x*n=xn(p1,p2,pn,I)x*1=x1(p1,p2,pn,I)x*2=x2(p1,p2,pn,I)28间接效用函数间接效用函数我们可以利用这些x的最优值获得间接效用函数效用最大值=U(x*1,x*2,x*n)替换每一个 x*i,得到效用最大值=V(p1,p2,pn,I)效用的最优水平间接依赖于价
9、格和收入如果价格或者收入改变,效用的最大值也随之改变29总量原理总量原理对于消费者一般购买力上的税收优于对于某种特定商品的税收收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收入对于某种商品的税收会减少消费者的购买力，扰乱消费者的选择30总量原理总量原理x的数量y的数量AU1对于商品 x 的税收将会把效用最大化的选择从 A 点移到 B 点BU231相同数量的收入税将会把预算约束线移到 II总量原理总量原理x的数量y的数量ABU1U2现在在 C 点获得最大化的效用 U3U3C32间接效用和总量原理间接效用和总量原理如果效用函数是柯布道格拉斯形式的，=0.5,我们知道 因此间接效用函数是33间接效用和总量原
10、理间接效用和总量原理如果对于商品 x 每单位征收1元的税消费者购买 x*=2间接效用从 2降到1.41同样的税收将会使得收入减少到￥6间接效用从 2 下降到1.534间接效用和总量原理间接效用和总量原理如果效用函数是固定比率的，U=Min(x,4y),我们得到 因此间接效用函数是35间接效用和总量原理间接效用和总量原理如果对于商品 x 每单位征收1元的税间接效用从 4 降为 8/3相同数量的收入税将收入减少到$16/3间接效用从 4降为 8/3因为偏好是刚性的,对于 x 的税收不会扰乱选择36支出最小化支出最小化效用最大化的对偶最小化问题配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定的效用水平这意味
11、着目标和约束互换37支出水平 E2 足够达到 U1支出最小化支出最小化x的数量y的数量U1支出水平 E1 太小了达不到 U1支出水平 E3 允许消费者获得 U1 但是不是做到这点的最小支出A 点 A 是对偶问题的解38支出最小化支出最小化消费者的问题是选择 x1,x2,xn 最小化总支出=E=p1x1+p2x2+pnxn 服从约束utility=U1=U(x1,x2,xn)x1,x2,xn 的最优数量依赖于商品价格和要求的效用水平39支出函数支出函数支出函数 刻画了在特定价格下达到给定效用水平所需要的最小支出最小支出=E(p1,p2,pn,U)支出函数和间接效用函数互相联系都依赖于市场价格但是
12、涉及不同的约束40两个支出函数两个支出函数在两种商品、柯布道格拉斯函数下的间接效用函数为如果我们调换效用和收入(支出)的角色,我们将获得支出函数E(px,py,U)=2px0.5py0.5U41两个支出函数两个支出函数对于固定比率的情况,间接效用函数是如果我们再次掉换效用和支出的角色,我们将获得支出函数E(px,py,U)=(px+0.25py)U42支出函数的性质支出函数的性质齐次性同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支出一次齐次对于价格非递减对于所有的商品 I，E/pi 0 对于价格是凹的43E(p1,)因为消费者的消费模式会改变,实际支出会小于 Epseudo，正如 E(p1,)Epse
13、udo 如果当 p*1 变化后仍然买相同的商品组合,消费者的支出函数是 Epseudo支出函数的凹性支出函数的凹性p1E(p1,)在p*1,消费者花费 E(p*1,)E(p*1,)p*144要点回顾要点回顾:为了获得约束下的最大值，消费者必须:花掉所有可得收入选择商品束使得任意两种商品之间的 MRS 等于两种商品价格之比在所有产生消费的商品上，消费者会使得商品的边际效用与其价格之比都相等45要点回顾要点回顾:相切仅仅是一阶条件消费者的无差异曲线图必须保证 MRS 递减效用函数必须是严格拟凹的46要点回顾要点回顾:必须修改相切条件来包含角点解边际效用与价格之比将会小于所有实际消费商品的边际收益与边际成本之比47要点回顾要点回顾:消费者的最优选择依赖于预算约束线的参数观察到的选择是价格和收入的隐函数效用也是价格和收入的间接函数48要点回顾要点回顾:约束条件下效用最大化问题的对偶问题是 最小化能达到要求的效用值所花费的支出和原问题具有相同的最优解导出了支出函数，其中支出是目标效用和价格的函数49