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1、平面向量复习2021/8/9 星期一1知识结构知识结构要点复习要点复习例题解析例题解析巩固练习巩固练习平面向量复习平面向量复习2021/8/9 星期一2知识结构知识结构知识要点知识要点例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业 表示表示 运算运算 实数与向量的积实数与向量的积 向量加法与减法向量加法与减法 向量的数量积向量的数量积 平行四边形法则平行四边形法则向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量的三种表示向量的三种表示2021/8/9 星期一3向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫的量叫向量向量。重要
2、概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.注意：注意：1）零向量是一个特殊的向量；）零向量是一个特殊的向量；2）零向量与非零向量的区别。）零向量与非零向量的区别。知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外
3、作业知识要点知识要点2021/8/9 星期一4知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点几何表示 :有向线段有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)2021/8/9 星期一5知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 a=(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则2021/8/9 星期一6知识
4、结构知识结构例题解析例题解析课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习练习练习1 已知向量已知向量a=（5 5，m m）的长度是）的长度是1313，求，求m.m.答案：答案：m=12m=122021/8/9 星期一7知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)AC OC2021/8/9 星期一
5、8知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OABOAOB=2）坐标运算）坐标运算:若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=3 3.加加法减法运算率法减法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BA(x1 x2,y1 y2)2021/8/9 星期一9知识结构知识结构巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点例题解析例题解析例例1 化简化简（1）（）（AB+MB）+BO+OM （2）AB+DA+BD BCCA分析分析利用加利用
6、加法减法运算法则，借助结论法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0进行变形进行变形.解：解：原式原式=AB+（BO+OM+MB）=AB+0=AB（1）（2）原式原式=AB+BD+DA（BC+CA）=0BA=AB例12021/8/9 星期一10知识结构知识结构课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习例题解析例题解析练习练习2 如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF中，中，AB=a、BC=b、AF=c，用，用a、b、c表示向量表示向量AD、BE、BF、FC.AFEDCBacb答案：答案：AD=2 bBE=2 cBF=caFC=2 a思考：思考：a、b
7、、c 有何关系？有何关系？b=a+c02021/8/9 星期一11知识结构知识结构例题解析例题解析课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习练习练习3 已知点已知点A（2，1）、）、B（1，3）、）、C（2，5）求求（1）AB、AC的坐标；（的坐标；（2）AB+AC的坐标；的坐标；（3）ABAC的坐标的坐标.答案：答案：（1）AB=（3，4），），AC=（4，4）（2）AB+AC=（7，0）（3）ABAC=（1，8）2021/8/9 星期一12知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点实数实数与向量与向量 a 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其
8、实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！a a是一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度|a a|=|=|a|；它的它的它的它的方向方向方向方向(1)(1)当当当当00时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；(2)(2)当当当当 0 0时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相反相反相反相反.若若a a=(x,y),则则 a a=(x,y)=(x,y)2021/8/9 星期一13知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点非零向量平行（共线
9、）的充要条件非零向量平行（共线）的充要条件a ba=b（R,b0）向量表示：向量表示：坐标表示：坐标表示：设设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则a bx1y2x2y1=02021/8/9 星期一14知识结构知识结构例题解析例题解析巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点平面向量的基本定理平面向量的基本定理 设设 e1和和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量平面内的任何一个向量 a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1、2 使使a=1 e1+2 e2 不共线的向量不共线的向量 e1和和 e2 叫做表示这一平面叫
10、做表示这一平面 内所有向内所有向量量 的一组基底的一组基底1 e1+1 e2=2 e1+2 e21=2 1=2 向量相等的充要条件向量相等的充要条件2021/8/9 星期一15知识结构知识结构知识结构知识结构巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习课外作业课外作业课外作业课外作业知识要点知识要点知识要点知识要点例题解析例题解析例题解析例题解析 例例2 已知已知 a=(1,2),b=(3,2),当当k为何值时为何值时,ka+b与与a3b平行平行?平行时它们是同向还是反向平行时它们是同向还是反向?分析分析分析分析 先求出向量先求出向量先求出向量先求出向量ka+bka+b 和和和和a a3b3b的坐标，再的
11、坐标，再的坐标，再的坐标，再根据向量根据向量根据向量根据向量平行充要条件的坐标表示平行充要条件的坐标表示平行充要条件的坐标表示平行充要条件的坐标表示,得到关于得到关于得到关于得到关于k k方程方程方程方程,解出解出解出解出k k,最后它们的判断方向最后它们的判断方向最后它们的判断方向最后它们的判断方向.解解解解:ka+b=k(1,2)+(ka+b=k(1,2)+(3,2)=3,2)=思考思考思考思考:此题还有没有其它解法此题还有没有其它解法此题还有没有其它解法此题还有没有其它解法?(k(k3,2k+2)3,2k+2)a a3b=(1,2)3b=(1,2)3(3(3,2)=3,2)=(10,(1
12、0,4)4)(ka+b)ka+b)(a(a3b)3b)4(4(k k3 3)10(10(2k+22k+2)=0)=0K=ka+b=(a3b)它们反向它们反向它们反向它们反向例例2 22021/8/9 星期一16知识结构知识结构例题解析例题解析课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习练习练习4 n为何值时为何值时,向量向量a=（n n，1 1）与）与b=(4,n)b=(4,n)共线且方向相同共线且方向相同?答案：答案：n=2n=2思考思考:何时何时 n=2 n=2?2021/8/9 星期一17知识结构知识结构巩固练习巩固练习课外作业课外作业知识要点知识要点例题解析例题解析例例3设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5b AB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD例32021/8/9 星期一18知识结构知识结构例题解析例题解析课外作业课外作业知识要点知识要点巩固练习巩固练习练习练习5已知已知a=（1，0），），b=（1，1），），c=（1，0）求求和和，使，使 c=a+b.答案：答案：=1 1，=02021/8/9 星期一19