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1、第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质xyo2021/8/9 星期一1复习回顾2021/8/9 星期一2准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形xyoFy2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)xyoFxyoFxyoFy2=-2px(p0)2021/8/9 星期一3先来研究抛物线 y2=2px(p0)的简单几何性质.lFKMNoyx1、范围2、对称性3、顶点4、离心率 x0关于x轴对称(0,0)e=12021/8/9 星期一4对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标范范 围围图图 形形xyoFx0(0,0)y=0(0,0)y=0y0 x=0y0(0,0
2、)xyoFxyoFxyoFx0(0,0)x=02021/8/9 星期一5 已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，它的顶点轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点在坐标原点，并且经过点 M()，求它的标准方程，并用描点法画出图形求它的标准方程，并用描点法画出图形.所以可设它的标准方程所以可设它的标准方程为为y2=2px(p0)解：因为抛物线关于解：因为抛物线关于x轴对称，轴对称，它的顶点在原点，它的顶点在原点，并且过并且过M()例 1 xyoM2021/8/9 星期一6因为点因为点M在抛物线上，在抛物线上，所以所以即即:p=2.因此所求抛物线的方程为因此所求抛物线的方程为 y2=4x.xyoM20
3、21/8/9 星期一7 求适合下列条件的抛物线方程：求适合下列条件的抛物线方程：(1)顶点在原点，关于顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过轴对称，并且经过点点M(5,-4);(2)顶点在原点，焦点是顶点在原点，焦点是F(0,5);(3)顶点在原点，准线是顶点在原点，准线是 x=4;(4)焦点是焦点是F(0,-8)，准线是，准线是 y=8.练习1 先定型，再定量先定型，再定量2021/8/9 星期一8例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.解法一:由已知得抛物线的焦点为(1,0)xoyBFA所以直线AB的方程为y=x-1联立方程组得2021
4、/8/9 星期一9整理得 x2-6x+1=0解得:,将x1,x2代入y=x-1得AB坐标为A B由两点间距离公式得:AB=8.代入得 (x-1)2=4xxoyBFA2021/8/9 星期一10dBxoyBFABA解法二:如图设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B到准线的距离分别为dA,dB,由已知得抛物线的焦点为(1,0)所以直线AB的方程为 y=x-1 由抛物线的定义可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2dA2021/8/9 星期一11xoyBFABA整理得 x2-6x+1=0解得:,于是|AB|=x1+x2+2=8所以
5、线段的长是8.试比较两种解法将代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x2021/8/9 星期一12 已知抛物线y2=2x，过点(2,1)作斜率为1直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB的中点M。练习 依照上题的思路：xA+xB=4所以xM=2将xM=2代入 y=x-1得yM所以为（，）2021/8/9 星期一13oxylMlBAl相离相切相交复位回顾：直线与圆的位置关系2021/8/9 星期一14如何从式子中解得直线与圆的关系?把直线方程代入圆的方程得到一元二次方程计 算 判 别 式 0,相相 交交 =0,相相 切切 0,即 2k2+k-10 解得-1k1/2于是,当-1k1/2,且k0时,方程
6、()有2个解从而方程组()有2个解.这时,直线l与抛物线有2个公共点.2021/8/9 星期一22由0 解得 k1/2于是,当k1/2时,方程()没有实数解,从而方程组()没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点.2021/8/9 星期一23综上可得:当k=-1或k=1/2或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点当-1k1/2,且k0时直线l与抛物线有2个公共点.当k1/2时直线l与抛物线没有公共点.2021/8/9 星期一24思 考P点位置不同,直线与抛物线的位置关系怎样?xyoPxyoP2021/8/9 星期一25判断位置关系方法总结2021/8/9 星期一26把直线方程代入抛物线方程得到一
7、元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式 0，相交=0，相切 0，相离此方法适用于其他各种曲线2021/8/9 星期一27 一顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为 3 ，求抛物线的方程。练习4 2021/8/9 星期一282021/8/9 星期一29直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系的判断方法直线与抛物线的位置关系的判断方法小小 结结:抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质2021/8/9 星期一30See you tomorrow.2021/8/9 星期一31动画圆锥曲线的得来2021/8/9 星期一32