《人教版高中数学 3.2.3《空间角的计算》课件 新人教A选修21.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学 3.2.3《空间角的计算》课件 新人教A选修21.ppt（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、3.2.33.2.3空空间的角的的角的计算算2021/8/9 星期一1 空间向量的引入为代数方法处理立体空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。样用向量的办法解决空间角的问题。2021/8/9 星期一2空间的角：
2、空间的角：空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求时，就主要求 范围内范围内 的角；的角；斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是面内这些特殊情况，线面角的范围也是 ；两个平面所成的角是用二面角的平面角来两个平面所成的角是用二面角的平面角来度
3、量。它的范围是度量。它的范围是 。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。2021/8/9 星期一3异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：思考：思考：结论：结论：一、线线角：一、线线角：2021/8/9 星期一4所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：所以：例一：例一：2021/8/9 星期一5练习：练习：在长方体 中，简解：简解：2021/8/9 星期一6直线与平面所成角的范围：思
4、考：思考：结论：结论：二、线面角：二、线面角：2021/8/9 星期一7例二：在长方体 中，简解：简解：所以所以2021/8/9 星期一8练习：的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为设正方体棱长为1，2021/8/9 星期一9l将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角。如如图图，设设二二面面角角 的的大大小小为为 ，其中其中DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：2021/8/9 星期一10 例三：例三：如如图3 3，甲站在水，甲站在水库底面上的点底
5、面上的点A A处，乙站在水，乙站在水坝斜面上的点斜面上的点B B处。从。从A A，B B到直到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD ,CD的长为的长为,AB,AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：解：如图，如图，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则有根据向量的加法法则有于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此ABCD所以所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为所以库底与水坝所成二面角的余弦值为2
6、021/8/9 星期一11ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：法向量法法向量法注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角2021/8/9 星期一12设平面设平面 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角2021/8/9 星期一13小结：小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：2021/8/9 星期一14lDCBA3.二面角：ll一进一出，一进一出，二面角等于二面
7、角等于法向量的夹法向量的夹角；角；同进同出，同进同出，二面角等于二面角等于法向量夹角法向量夹角的补角。的补角。2021/8/9 星期一152 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是 n n1 1=（1 1，0 0，1 1），），n n2 2=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_ _.1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.3.三棱锥三棱锥P-ABC P
8、AABC,PA=AB=AC,E为PC中点中点,则PA与与BE所成角的余弦所成角的余弦值为_.4.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面与截面BB1CC1所成角的余弦所成角的余弦值为_.2021/8/9 星期一162 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是=（1 1，0 0，1 1），），=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_._.3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,
9、1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则，则两平面所成的钝二面角为两平面所成的钝二面角为_._.练习练习:1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.60013502021/8/9 星期一174.三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为PC中点中点,则PA与与BE所成角的所成角的余弦余弦值为_.5.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为_.6.正方体正方体中中ABCD-A1
10、B1C1D1中中E为A1D1的的中点中点,则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_2021/8/9 星期一187.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，当的中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A18.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOM2021/8/9 星期一19 解解法法一一：如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设
11、底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小在在 中，中，即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为2021/8/9 星期一20由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos =即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE2021/8/9 星期一21解法二解法二：同法一，以：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 同法一，可
12、求同法一，可求 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角2021/8/9 星期一228.证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得8.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为
13、的中点的中点 （1 1）求证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyz2021/8/9 星期一23 B1A1 C1D1DCBAOMxyz2021/8/9 星期一24习题课习题课例例1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABDP PE EF FC例例2、
14、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平行四为平行四边形，侧面边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC=2 ，SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABDO2021/8/9 星期一25例例3 如如图,在四棱在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，矩形，侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线段段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；的位置；若不存在若不存
15、在说明理由。明理由。DBACEP例例4（2006年福建卷）如图，四面体年福建卷）如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离。的距离。2021/8/9 星期一261.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，当的中点，当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。CADBC1B1A12.2.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：
16、）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOM练习：练习：2021/8/9 星期一27 解解法法一一：如如图图，以以C为为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系C-xyz。设设底面三角形的边长为底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故则可设 =1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小在在 中，中，即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为2021/8/9 星期一28由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos =即二面角 的余弦值
17、为 yxzCADBC1B1A1FE2021/8/9 星期一29解法二解法二：同法一，以：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 yxzCADBC1B1A1由由 得得解得解得 所以，可取所以，可取 二面角二面角 的大小等于的大小等于 cos =即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 方向朝面外，方向朝面外，方向朝面方向朝面内，属于内，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角
18、等于法向量夹角2021/8/9 星期一308.证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得8.8.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyz2021/8/9 星期一31 B1A1 C1D1DCBAOMxyz2021/8/9 星期一32例例1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABC
19、D，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F2021/8/9 星期一33ABCDP PE EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG2021/8/9 星期一34ABCDP PE EF FXYZG(2)求证：求证：PB平面平面EFD2021/8/9 星期一35ABCDP P
20、E EF FXYZ(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。2021/8/9 星期一36ABCDP PE EF FXYZ2021/8/9 星期一372021/8/9 星期一38例例2、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平为平行四边形，侧面行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC=2 ，SA=SB=.(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCDOxyz2021/8/9 星期一39SABDOC证明：证明：(1)取取BC中点中点O，连接，连接OA、OS。2021/8/9 星期一4
21、0(2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线所以直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为2021/8/9 星期一41例例3 如如图,在四棱在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，矩形，侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线段段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说明理由。明理由。DBACEPxzy2021/8/9 星期一42解：以解：以A为原点，为原点，AD、AB、AP
22、所在的直线分所在的直线分别为别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设BE=m，则，则2021/8/9 星期一43例例4（2006年福建卷）如图，四面体年福建卷）如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离。的距离。2021/8/9 星期一44解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直所以异面直线A
23、B与与CD所成角的所成角的余弦余弦值为 2021/8/9 星期一45（III）解：）解：设平面平面ACD的法向量的法向量为则令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离2021/8/9 星期一46例例5、(2004，天津，天津)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，中，底面底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点。的中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz2021/8/9 星期
24、一47ABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点2021/8/9 星期一48(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为2021/8/9 星期一49 方向朝面内，方向朝面内，方向朝面方向朝面外，属于外，属于“一进一出一进一出”的情的情况，二面角等于法向量夹角况，二面角等于法向量夹角2021/8/9 星期一501、如图，已知：直角梯形
25、、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值 (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【练习】【练习】2021/8/9 星期一51OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 2021/8/9
26、星期一52OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为2021/8/9 星期一53OABCSxyz所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为1、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值2021/8/9 星期一542、
27、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面且平面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直。活动弹子互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线分别在正方形对角线AC和和BF上移动，且上移动，且CM和和BN的的长度保持相等，记长度保持相等，记CM=BN=（1）求）求MN的长；的长；（2）a 为何值时？为何值时？MN的长最小？的长最小？（3）当）当MN的长最小时，的长最小时，求面求面MNA与面与面MNB所成所成二面角的余弦值。二面角的余弦值。ABCDEFMN2021/8/9 星期一55ABCDMNE2021/8/9 星期一562021/8/9 星期一573、如图，在棱长为、如图，在棱长为 的正方体的正方体 中，中，分别是棱分别是棱AB,BC上的动点，且上的动点，且 。（1）求证：）求证：；（2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角的体积取最大值时，求二面角 的正切值。的正切值。OCBAOAB CEF2021/8/9 星期一58OCBAOAB CEF图图62021/8/9 星期一59