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1、共线向量与共面向量共线向量与共面向量2021/8/9 星期一1lAP2021/8/9 星期一2OABP特别地，若特别地，若P P为为A,BA,B中点中点,则则我们已经知道：我们已经知道：平面中，平面中，如图如图 不共线，不共线，结论：结论：设设O O为平面上任一点，则为平面上任一点，则A A、P P、B B三点共线三点共线或：令或：令x=1-t，y=t，则，则A A、P P、B B三点共线三点共线那么空间又如何呢？2021/8/9 星期一3lAPB2021/8/9 星期一4例例1 1已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为直线外为直线外 一点，且一点，且 ，求，求 的值的值.2
2、021/8/9 星期一5平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面内两个不共线的同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ，使，使思考思考1：空间任意向空间任意向量量 与两个不共线与两个不共线的向量的向量 共面时，共面时，它们之间存在怎样它们之间存在怎样的关系呢？的关系呢？2021/8/9 星期一6二二.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:能平移到同一平面内的向量能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OA注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空
3、，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。2021/8/9 星期一7思考思考2：有平面有平面ABC，若，若P点在此面内，须满足什点在此面内，须满足什么条件？么条件？结论结论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内内 存在有序实数对存在有序实数对x,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,有有 可证明或判断四点共面2021/8/9 星期一8分析分析:证三点共线可证三点共线可尝试尝试用向量来分析用向量来分析.2021/8/9 星期一9练习练习2：已知矩形：已知矩形ABCD和和ADEF所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直，点点M、N分别在分别在BD，AE上，且分别是
4、距上，且分别是距B点、点、A点较近点较近的三等分点，求证：的三等分点，求证：MN/平面平面CDEABCDEFMN2021/8/9 星期一10练习练习3 3：已知：已知A、B、M三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABM外外的任一点的任一点O，确定在下列各条件下，确定在下列各条件下，点点P是否与是否与A、B、M一定共面？一定共面？注意：注意：空间四点空间四点P、M、A、B共面共面实数对实数对2021/8/9 星期一11类比平面向量的基本定理类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论在空间中应有一个什么结论?NOCM2021/8/9 星期一12AO然后证唯一性然后证唯一性DCB证明思路：
5、先证存在性证明思路：先证存在性E注：注：空间任意三个不共面向量都可以构成空空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底间的一个基底.如：如：看书看书P752021/8/9 星期一13推论：推论：设点设点O、A、B、C是不共面的四点，则是不共面的四点，则对空间任一点对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使OABCP2021/8/9 星期一14例例1 1平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形
6、,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN2021/8/9 星期一15解解:ABCDA1B1D1C1MN连连AN,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND=（2 2 b+c)13=（a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例1 1平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.2021/8/9 星期一16练习练习.空间四边形空间四边形O
7、ABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b c 122312(D)a+b c 122323B2021/8/9 星期一171.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线2.已知点
8、已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O，,则则x的值为的值为()2021/8/9 星期一181.下列下列说明正确的是：说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三
9、个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面2021/8/9 星期一19补充练习补充练习:已知空间四边形已知空间四边形OABC，对角线对角线OB、AC，M和和N分别是分别是OA、BC的中点的中点，点点G在在MN上上，且使且使MG=2GN，试用基底试用基底 表示向量表示向量COABMNG解：在解：在OMG中，中，2021/8/9 星期一204.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个B2021/8/9 星期一215.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量2021/8/9 星期一227.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？2021/8/9 星期一23三、课堂小结：三、课堂小结：1.共线向量的概念。共线向量的概念。2.共线向量定理。共线向量定理。3.共面向量的概念。共面向量的概念。4.共面向量定理。共面向量定理。2021/8/9 星期一24