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1、高二数学高二数学 选修选修1-1（文）（文）反证法及其应用反证法及其应用2021/8/11 星期三1原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立P且且qp或或q准准确确地地作作出出反反设设(即即否否定定结结论论)是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两
2、个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个 p或或 q p且且 q2021/8/11 星期三2所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立证明证明:假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以2021/8/11 星期三3反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而肯定
3、命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。2021/8/11 星期三41、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能：、导出矛盾有四种可能：（1）与原命题的条件（）与原命题的条件（题设）题设）矛盾；矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；）与定义、公理、定理等矛盾；（3）与结论的反面（）与结论的反面（反设）反设）成立矛盾。成立矛盾。（1 1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2 2）唯一性命题；）唯一性命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性命题。）否
4、定性或肯定性命题。3 3、反证法的使用范围：、反证法的使用范围：几点注意：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。2021/8/11 星期三52021/8/11 星期三6练练3.圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，有有OPAB,OPCD即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分。平分。2021/8/11 星期三72021/8/11 星期三8