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1、第六章函数、导数及其应用12021/8/11 星期三第15讲函数与函数图象及性质22021/8/11 星期三1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.3.分段函数的相关结论
2、(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.32021/8/11 星期三4.函数的单调性与最值(1)单调函数的定义42021/8/11 星期三(2)单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.(3)函数的最值(4)函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.52021/8/11 星
3、期三5.函数的奇偶性与周期(1)定义(2)函数奇偶性常用结论如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.62021/8/11 星期三(3)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.72021/8/11 星期三6.函数的图象(1)利用描点法画函数图象的流程82021/8/11 星期三(2)利用图象变换法作函数的
4、图象平移变换:伸缩变换:92021/8/11 星期三对称变换:翻折变换:102021/8/11 星期三题型一求函数定义域 A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1A.(-1,+)B.-1,+)C.(-1,1)(1,+)D.-1,1)(1,+)112021/8/11 星期三【答案】(1)A(2)C【规律方法】122021/8/11 星期三【易错警示】求定义域时,对解析式不要化简,求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式.【注意】不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.132021/8/11 星期三变式训练一 A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-
5、1,1)D.(-1,1C x(0,1 142021/8/11 星期三3.(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域;(2)已知函数f(x2)的定义域为(2,4),求f(x)的定义域;(3)已知函数f(x2)的定义域为(1,2),求f(2x+1)的定义域.解:(1)f(x)的定义域为(0,1),即0 x1,故0 x21,-1x1且x0,f(x2)的定义域为(-1,0)(0,1).(2)f(x2)的定义域为(2,4),即2x4,4x216,故f(x)的定义域为(4,16).(3)f(x2)的定义域为(1,2),即1x2,1x20的a的取值范围是()(3)若函数f(x)=ax2
6、+2x-3在区间(-,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()202021/8/11 星期三212021/8/11 星期三(2)由题意知f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x),x(-1,1),f(x)在区间(-1,1)上是奇函数.又f(x)=3x2+cosx0,f(x)在区间(-1,1)上单调递增,f(a2-1)+f(a-1)0,-f(a-1)f(a2-1),f(1-a)f(a2-1),222021/8/11 星期三(3)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-,4)上单调递增;解得2a3,即实数a的取值范围是(
7、2,3.【答案】(1)B(2)B(3)D(4)(2,3232021/8/11 星期三【规律方法】(1)判断函数单调性的常用方法(2)确定函数的单调区间的方法 242021/8/11 星期三变式训练三 C【解析】当x=1时,loga1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a0在x0时,f(x)=x2+x,则当x0,故f(-x)=x2-x=f(x);当x0时,-x0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.292021/8/11 星期三(3)f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0.又当x0,f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),即f(x)
8、=-x2-4x(x0);(2)函数周期性的应用,根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.342021/8/11 星期三变式训练四1.已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2A.-1B.-2C.1D.2B【解析】设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0
9、.故选B.A【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-log39=-2,所以gf(-8)=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.352021/8/11 星期三3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则x0时,f(x)=.则下列函数值为1的是()A.f(2.5)B.f(f(2.5)C.f(f(1.5)D.f(2)x(1-x)【解析】当x0,所以f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),所以f(x)=x(1-x).D【解析】由f(x+1)=-f(x)知f(x+2)=-f
10、(x+1)=f(x),于是f(x)是以2为周期的周期函数,从而f(2.5)=f(0.5)=-1,f(f(2.5)=f(-1)=f(1)=-1,f(f(1.5)=f(f(-0.5)=f(1)=-1,f(2)=f(0)=1,故选D.362021/8/11 星期三5.设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)=.1010【解析】f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2.又当x0,2)时,f(x)=2x-x2,f(0)=0,f(1)=1,f(0)+f(1)=1.f(0)+f(1)=f(2
11、)+f(3)=f(4)+f(5)=f(2018)+f(2019)=1,f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)=1010.372021/8/11 星期三题型五作函数图像【例5】作出下列函数的图象:382021/8/11 星期三(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图.392021/8/11 星期三先用描点法作出0,+)上的图象,再根据对称性作出(-,0)上的图象,即得函数图象如图.402021/8/11 星期三【规律方法】函数图象的画法 412021/8/11 星期三变式训练五作下列函数的图象:(
12、2)y=x2-2x+2,x(-1,2;(3)y=|x-1|,xR.422021/8/11 星期三(2)用描点法作出函数f(x)=x2-2x+2,x(-1,2的图象,如图所示.432021/8/11 星期三(3)可先作出y=x-1的图象,将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变可得y=|x-1|的图象.如图中实线部分所示.442021/8/11 星期三题型六函数图象的识别【例6】(1)函数y=(x3-x)2|x|的图象大致是()A B C D 452021/8/11 星期三(2)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1x3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,
13、当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()AB C D 462021/8/11 星期三【解析】(1)易判断函数为奇函数,由y=0得x=1或x=0.且当0 x1时,y1时,y0,故选B.(2)法一:由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为 的扇形.因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,【答案】(1)B(2)D 472021/8/11 星期三【规律方法】识辨函数图象的入手点(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(
14、3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.482021/8/11 星期三变式训练六 A B C D A 492021/8/11 星期三B 502021/8/11 星期三B【解析】由定义知,当x0时,2x1,f(x)=2x,当x0时,2x1,f(x)=1,512021/8/11 星期三4.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线lAB交AB于点E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是()C【解析】当l
15、从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.522021/8/11 星期三1.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是()B【解析】可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.532021/8/11 星期三B 3.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是()A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7B【解析】令t=x+2x=t-2,则有g(x+2)=f(x)g(t)=
16、f(t-2)=2(t-2)+3=2t-1.542021/8/11 星期三D5.(2019开封模拟)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x(0,2时,f(x)=2x+log2x,则f(2019)=()A.5B.C.2D.-2D【解析】由题意得f(2019)=f(4505-1)=f(-1)=-f(1)=-(21+log21)=-2,故选D.552021/8/11 星期三6.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是()D(0,1)上是单调递增的,故排除.562021/8/11 星期三7.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是
17、()A.(-1,0)B.(-1,0)(0,1C.(0,1)D.(0,1A.cbaB.bacC.bcaD.abcD B 572021/8/11 星期三9.已知函数f(x)=log2x+,若x1(1,2),x2(2,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0B 582021/8/11 星期三10.y=-x2+2|x|+3的单调增区间为.(-,-1,0,1 由图象可以得知,函数y=-x2+2|x|+3的单调增区间为(-,-1,0,1 592021/8/11 星期三1.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x20,+),(x1x2),有 0
18、,则()A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)210,得f(1)f(-2)f(3).602021/8/11 星期三2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3C【解析】f(x)-g(x)=x3+x2+1,f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1,又f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1),f(1)+g(1)=1.612021/8/11 星期三3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在0,+)单调递增,若f(lg x)0,则x的取值范围是()A.(0,1)B.(1,10)C.(1,+)D.(10,+)A【解析】由f(x)在定义域R上为奇函数知f(0)=0且函数图象关于原点O对称.结合f(x)在0,+)上递增可知,函数在(0,+)上恒为正,在(-,0)上递增且恒为负.因为f(lgx)0,所以lgx0,解得x(0,1).622021/8/11 星期三632021/8/11 星期三