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1、不等式的应用2021/8/8 星期日1学习内容学习内容一、求最值：一、求最值：1、若、若a,bR+且且ab=p（p为常数）则为常数）则 （当且仅当（当且仅当a=b时取等号）时取等号）2、若、若a+b=S(a,bR+,则则（当且仅当（当且仅当a=b时取等号）时取等号）2021/8/8 星期日23、若若a,b,cR+且且abc=m（m为为常常数数），则则(当且仅当当且仅当a=b时取等号时取等号)4、若若a,b,cR+且且a+b+c=n（n为为常常数数），则则(当且仅当时取等号当且仅当时取等号)注：用均值不等式求最值要注意三点：注：用均值不等式求最值要注意三点：正数正数定值定值检验等号是否成立检验等
2、号是否成立 2021/8/8 星期日3二、关于恒成立，求参数范围问题二、关于恒成立，求参数范围问题1、若若 f(x)a对对 xD恒恒 成成 立立，只只 须须f(x)min(xD)a即可即可2、若若 f(x)a对对 xD对对 恒恒 成成 立立，只只 须须f(x)min(xD)a即可即可三、应用问题三、应用问题2021/8/8 星期日4 学习要求学习要求 1 1、掌握应用不等式知识求最值问题、掌握应用不等式知识求最值问题2、初步学会不等式知识的综合应用、初步学会不等式知识的综合应用学习指导学习指导1、本讲重点：求最值问题，求参数范围问题、本讲重点：求最值问题，求参数范围问题2、本讲难点：不等式的综
3、合应用、本讲难点：不等式的综合应用3、剖析：本讲的难度较高，必须有扎实的基础、剖析：本讲的难度较高，必须有扎实的基础知识，才能灵活运用，提高综合能力知识，才能灵活运用，提高综合能力 2021/8/8 星期日5典型例题解析典型例题解析例例1：求下列函数的最值：求下列函数的最值 的最小值的最小值 的最小值的最小值 的最大值的最大值 的最小值的最小值 的最小值的最小值 2021/8/8 星期日6 的最小值的最小值 的最小值的最小值 的最大值的最大值 的最小值的最小值 的最大值的最大值 的最小值的最小值2021/8/8 星期日7解：解：（当且仅当（当且仅当 ，即，即x=1x=1时取等号）时取等号）当当
4、c1c1时，时，x=1x=1时，时，y yminmin=2=2当当0 x10 x0,y0,lgx+lgy=1，求，求的最小值的最小值解：由已知解：由已知xy=10且且x0,y0 当且仅当当且仅当 即即 时取等号时取等号当当x=2,y=5时，时，有最小值有最小值2 2021/8/8 星期日13例例3：已知：已知a,b是正数且是正数且a+b=1，求求 的最小值的最小值解：（法一）解：（法一）当且仅当当且仅当 ，即，即 时，时，ymin=9 2021/8/8 星期日14（法二）（法二）当且仅当当且仅当 时取等号时取等号 当当 时，时，ymin=9 2021/8/8 星期日15例例5：若正数：若正数a
5、,b满足满足ab=a+b+3,求求ab的取的取值范围值范围解：（方法一）解：（方法一）（当且仅当（当且仅当a=b时取等号）令时取等号）令 ，则，则 ，又，又2021/8/8 星期日16（方法二）（方法二），又又当且仅当当且仅当 ，即，即a=3时，取等号时，取等号 ab92021/8/8 星期日17例例6：恒恒成成立立，则则的取值范围是的取值范围是3,4)3,4)对对 一一 切切 实实 数数 x x，若若 不不 等等 式式|x-|x-3|+|x+2|a3|+|x+2|a恒成立，则实数的范围是恒成立，则实数的范围是a5a2mcos-4m恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围解：（方法一
6、）原不等式解：（方法一）原不等式令令对对 恒成立恒成立设设 或或 或或 2021/8/8 星期日19（方法二）令（方法二）令t=cos，则，则t2-mt+2m-20t2-2-m(t-2)0 m(t-2)5 2021/8/8 星期日21(方法二方法二)设两根分别为设两根分别为x1,x2，则，则x12,x22x1-20,x2-20 即即 a5 2021/8/8 星期日22（方法三）（方法三）只须只须若一根大于若一根大于2，一根小于，一根小于2（方法一）（方法一）f(2)0，则则t2+(3+a)t+4=0在在(0,+)有解，有解，设设f(t)=t2+(3+a)t+4对称轴对称轴在在(0,+)上有两根
7、，则上有两根，则在在(0,+)上有一根，则上有一根，则f(0)0,40不可能不可能综上：综上：a-7 2021/8/8 星期日24（方法二）（方法二）当且仅当当且仅当 时，即时，即t=2时取等号，时取等号，故故a-7 2021/8/8 星期日25例例11：关于的方程：关于的方程有负数解，求有负数解，求k的取值范围的取值范围解：原方程解：原方程 或或 2021/8/8 星期日26例例12：若若关关于于x的的方方程程lg(x-1)-lg(x-5)=1有有实数解，试确定实数解，试确定a的取值范围的取值范围解：原方程解：原方程由由得：得：(a-10)x=49，当当a10 2021/8/8 星期日27例
8、例13：一一段段长长为为的的篱篱笆笆围围成成一一个个一一边边靠靠墙墙的的矩矩形形菜菜园园，求求这这个个矩矩形形的的长长，宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大大，最最大大面面积积是是多多少少？解：设矩形的宽为解：设矩形的宽为xm，则长为，则长为(l-2x)m，则则当且仅当当且仅当l-2x=2x，即，即 时，时，答：这个矩形的长为答：这个矩形的长为 ,宽为时宽为时 ，面，面积最大为积最大为 2021/8/8 星期日28例例14：某某商商场场预预计计全全年年分分批批购购入入每每台台价价值值为为2000元元的的电电视视机机共共3600台台，每每批批都都购购入入x台台(xN*)且且每每批
9、批需需付付运运费费400元元，储储存存购购入入的的电电视视机机全全年年所所付付保保管管费费与与每每批批购购入入电电视视机机的的总总价价值值（不不含含运运费费）成成正正比比，若若每每批批购购入入400台台，则则全全年年需需用用去去运运费费和和保保管管费费43600元元，现现在在全全年年只只有有24000元元资资金金可可以以用用于于支支付付这这笔笔费费用用，请请问问能能否否恰恰当当按按排每批进货的数量，使资金够用？排每批进货的数量，使资金够用？2021/8/8 星期日29解解：设设每每批批购购入入电电视视机机x台台，全全年年费费用用为为y元元，保保管管费费与与每每批批电电视视机机总总价价值值的的比比例例系系数为数为k，则，则 ，当，当x=400时，时，y=43600代入上式得代入上式得(x-120)20 x=120答：每批进货答：每批进货120台，资金够用。台，资金够用。2021/8/8 星期日302021/8/8 星期日312021/8/8 星期日32