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1、复数代数形式的四复数代数形式的四则运算运算2021/8/8 星期日1前面我们学习了复数的概念及其几何意义：前面我们学习了复数的概念及其几何意义：x实轴实轴y虚轴虚轴Oz:a+bi r=|z|r=|z|1.复数复数z=a+bi，表示向量：，表示向量：oz2.复数的模等于向量的模：复数的模等于向量的模：3.相等的向量表示同一个复数。相等的向量表示同一个复数。2021/8/8 星期日2下面我们就来进一步讨论复数的运算性质下面我们就来进一步讨论复数的运算性质规定规定1：复数的加法规则：复数的加法规则：z1=a+bi,z2=c+di是任意的两个复数，那么是任意的两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=
2、(a+c)+(b+d)i因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数复数的加法满足交换律和结合律吗？复数的加法满足交换律和结合律吗？2021/8/8 星期日31.加法的代数运算：设，加法的代数运算：设，z1,z2,z3R，有：，有：z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(交换律交换律)(结合律结合律)2021/8/8 星期日42加法的加法的几何意义几何意义：z1=a+bi,z2=c+dixyoz1=a+biz2=c+diz=(a+c)+(b+d)i2021/8/8 星期日53.减法的运算：减法的运算：如何理解复数的减法？如何理解复数的减
3、法？1.代数式：代数式：z=a+bi,z1=c+di,且且z1+z2=z,则则z2=x+yi,z1+z2=z(c+x)+(d+y)i=a+bix=a-cy=b-d2.几何意义几何意义：xyoz2=(a-c)+(b-d)iz1=c+diz=a+bi2021/8/8 星期日6例例1.计算计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解解 原式原式(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i2021/8/8 星期日7规定规定2:复数的乘法法则：复数的乘法法则：因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，它和多项式的运算规则一致它和多项式的运算规则一致复数的乘法是
4、否满足复数的乘法是否满足交换律交换律、结合律结合律以及对加法的以及对加法的分配律分配律？复数的乘法法则：复数的乘法法则：设设 ，是任意两个复数，那么它们的积是任意两个复数，那么它们的积2021/8/8 星期日8我们比较容易证明这些性质：我们比较容易证明这些性质：1.交换律：交换律：z1z2=z2z12.结合律结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3)3.结合律：结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z32021/8/8 星期日9例例2 2 计算计算 解：解：2021/8/8 星期日10例例3求求 解：解：两个两个共轭复数共轭复数共轭复数共轭复数 的积是一个实数，这个实数等于每个复的积是一个
5、实数，这个实数等于每个复数的模的平方，即数的模的平方，即两个实部相等，虚部互为相反两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数复数数的复数互为共轭复数复数z的共轭复数记作的共轭复数记作 2021/8/8 星期日11若若z za ab bi(i(a a，b bR)R)，则则abi共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点：共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点：1.2.3.4.(z z2 20)0)2021/8/8 星期日12例例4 4 设设 ，求证：，求证：（1）；（；（2）证明：证明：（1）2021/8/8 星期日13(2)2021/8/8 星期日14复数的乘方：复数的乘方
6、：对任何对任何 及及 ，有，有特殊的有：特殊的有：一般地，如果一般地，如果 ，有，有2021/8/8 星期日15实数的除法是其乘法的实数的除法是其乘法的逆运算逆运算，而向量是，而向量是没有除法运算没有除法运算的，的，那么复数的除法运算情况怎样的呢？那么复数的除法运算情况怎样的呢？复数的除法法则为：复数的除法法则为：共轭复数有理化共轭复数有理化2021/8/8 星期日162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日182021/8/8 星期日192021/8/8 星期日202021/8/8 星期日21小小结1.复数加法的代数运算法则及其几何意义复数加法的代数运算法则及其几何意义2.复数的乘法以及除法的代数运算复数的乘法以及除法的代数运算3.共轭复数共轭复数2021/8/8 星期日222021/8/8 星期日23