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1、第二章双曲线的简单几何性质2.2.22021/8/8 星期日1让我们一起研究：标准方程为:的双曲线的性质。2021/8/8 星期日2F2F1OA1A2xy1、范围横坐标的范围：从而:x -a或 x a由式子 知 x -a或 x a所以 2021/8/8 星期日32、对称性F2F1Oxy双曲线关于y轴对称。2021/8/8 星期日4F2F1Oxy双曲线关于x轴对称。2021/8/8 星期日5A2A1A2F2F1Oxy双曲线关于原点对称。2021/8/8 星期日6F2F1Oxy2、对称性双曲线关于y轴、x轴、原点对称。2021/8/8 星期日73、顶点OB2B1A1A2xy可得x=a从而：A1(-
2、a,0),A2(a,0)也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上在 中令y=0，为双曲线的顶点2021/8/8 星期日83、顶点OB2B1A1A2xy线段A1A2叫双曲线的实轴;线段B1B2叫双曲线的虚轴。长为2a长为2b2021/8/8 星期日94、渐近线OB2B1A1A2xy红色虚框的两条对角线，为双曲线的 渐近线ab其方程为2021/8/8 星期日10一般结论：双曲线 的渐近线为 2021/8/8 星期日11练习1、计算下列双曲线的渐近线：你能发现什么规律吗？2021/8/8 星期日12在方程中，如果a=b,那么，虚线方框是正方形，并且实轴等于虚轴。OB2B1A1A2y实轴和虚轴等
3、长的双曲线叫 等轴双曲线。2021/8/8 星期日135、离心率上面双曲线的形状有什么变化？怎样刻画它们的扁平程度？OA1A2y2021/8/8 星期日145、离心率双曲线的焦距与长轴长的比 称为双曲线的离心率，用e表示，即OA1A2ye变大，双曲线的形状会怎样变化?2021/8/8 星期日15双曲线的几何性质让我们一起来归纳一下2021/8/8 星期日16双曲线方程范 围对称性 顶 点 渐近线离心率 关于x轴、y轴、原点对称(-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)2021/8/8 星期日17例1、求双曲线 的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程：可
4、得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:2021/8/8 星期日18练习1、求下面双曲线的范围，顶点坐标，焦点坐标，实轴长，虚轴长，焦距，离心率，渐近线方程。9x2-y2=81焦点坐标是顶点坐标是(-3,0),(3,0),(0,-9),(0,9)实轴长2a=6，虚轴长2b=18，焦距2c=离心率e=渐近线方程:2021/8/8 星期日19练习2：求适合下列条件的双曲线的 标准方程。(1)实轴在x轴上,离心率e=,b=2(3)过点(-1,3)和双曲线 有共同的渐近线。(2)过点(3,4)且虚轴长为实轴长的2倍2021/8/8 星期日20(1
5、)实轴在x轴上,离心率e=,b=2(2)过点(3,4)且虚轴长为实轴长的2倍或2021/8/8 星期日21(3)过点(-1,3)和双曲线 有共同的渐近线。2021/8/8 星期日22例2、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).xOyB12BAC13AC25解：如图，建立直角坐 标系xoy，使小圆的 直径AA在x轴上，圆心与原点重合，2021/8/8 星期日23设双曲线的方程为令C的坐标为(13,y),则B的坐标为(25,y-55)将B、C坐标代入方
6、程得xOyB12BAC13AC25由方程，得(负值舍去)2021/8/8 星期日24xOyB12BAC13AC25代入方程得，化简得用计算器解得b25所以，所求双曲线的方程为2021/8/8 星期日25例3、点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，xOyMFHdl所求轨迹就是集合2021/8/8 星期日26xOyMFHdl由此得将上式两边平方，并化简得9x2-16y2=144它是一条双曲线。即：2021/8/8 星期日27小结2021/8/8 星期日28双曲线方程范 围对称性 关于x轴、y轴、原点对称顶 点 (-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)渐近线离心率 2021/8/8 星期日292021/8/8 星期日30