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1、2023年高考数学总复习高中数学选修2-1全册讲义（精华版）第一章 常用逻辑用语*特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且”“或”“非”的特点即可一、基础知识【理解去记】1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若且即，则A是B的充要条件.2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”
2、与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.4. 会用集合的子集的方法判断充要条件：A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即AA是B的充分不必要条件 A是B的充要条件 二、基础例题【必会】注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例1.（2009全国高考卷）已知函数是减函数，求a的取值范围。【分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。【解析】：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数
3、不是减函数，综上，所求a的取值范围是。【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系:为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。
4、因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练习】是否存在这样的K值，使函数在上递减，在上递增？答案：。（提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。）注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例2.（20
5、10年高考数学江苏卷，）设无穷等差数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立.【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时极易根据条件“对于一切正整数k都有成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。【解析】：（I）当时由，即 又.（II）设数列an的公差为d，则在中分别取k=1,2,得（1）（2）由（1）得 当若成立,若故所得数列不符合题意.当若若
6、.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，第二章 圆锥曲线与方程一、基础知识【理解去记】1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即(0eb0)，参数方程为（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为 (ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭
7、圆，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|
8、=2a(2a0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(a, b0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9补充知识点：双曲线的常
9、用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为的弦长是。10抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.1
10、1补充知识点抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为的弦长为。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点P的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、基础例题【必会】1与定义有关的问题例1 已知定点A（2，1），F
11、是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。解 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又xb0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以
12、点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为解法二 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。解 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 记O为原点，由圆幂定理知|O
13、A|OB|=|OC|OD|，用坐标表示为，即当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；当ab时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；当a0, b0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。证明 设点B，H，F的坐标分别为(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以 所以 。由得代入上式得即 （定值）。例7 设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线
14、交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC/x轴。证明：直线AC经过定点。证明 设，则，焦点为，所以，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。例8 椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。证明 设|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A，B在椭圆上有即 +得（定值）。4最值问题例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。解 由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r
15、2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=,因为，且a2b2，所以，所以br1a，同理br2a.所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。解 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2
16、t,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcos,tsin)，则|BC|2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsin+)2+3+4t2.若，则当sin=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。若t,则当sin=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以椭圆方程为。5直线与二次曲线例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。解 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足y1=a且-x1=
17、a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a(),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y10,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。例12 若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。解 二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由0，得b0）的准线与圆（x3）2y216相切，则p的值为（A）（B）1（C）2（D）4【答案】 C 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为，因为抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，所以法二：作图可
18、知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切与点（-1,0） 所以4.（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）【答案】D解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，解得.5.（2010辽宁文）（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足，如果直线斜率为，那么（A） （B） 8 （C） （D） 16【答案】 B解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则6.（2010辽宁理） (9)设双曲线的个焦点为F
19、；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）7.（2010辽宁理）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16【答案】B【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=88.（2010全国卷2文）
20、（12）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =（A）1 （B） （C） （D）2【答案】B【解析】， ， ， ，设， ，直线AB方程为。代入消去， ， ，解得，9.（2010浙江文）（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足P=60，OP=,则该双曲线的渐近线方程为（A）xy=0 （B）xy=0（C）x=0 （D）y=0【答案】 D【解析】：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题10.（2010重庆
21、理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线【答案】 D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B11.（2010山东文）（9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （A） (B) (C) (D)【答案】B12.（2010四川理）（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）【解析】：由题意，椭
22、圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2 又e(0,1)故e【答案】D13.（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别
23、代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。第三章 空间向量与立体几何
24、一、基础知识【理解去记】公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作：aa公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P，则存在唯一的直线m，使得=m,且Pm。公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论l 直线与直线外一点确定一个平面推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线确定一个平面公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条
25、异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若
26、一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义4 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理4 *【常考】(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca逆定理：若ca，则cb定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行定理6 若直线。与平面平行，平
27、面经过直线a且与平面a交于直线6，则a/b结论2 若直线。与平面和平面都平行，且平面与平面相交于b，则a/b定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等定义5 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面平行，则/. 定理9 平面与平面平行，平面=a，=b，则a/b定义6 (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面,(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作m，也可记为Am一B，AB等过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则APB(900)叫做二面角的平面角它
28、的取值范围是0，特别地，若APB900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即.定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义7 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱
29、长都相等的正四棱柱叫正方体定义8 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理13 【了解】(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2定义9 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径，定点叫做球心 定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直设截面半径为r，则d2+r2R2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面
30、距离定义10 【了解】 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经定理15 【了解】(祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理16 【了解】 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于
31、3600定理17 【了解】（面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4R2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=rl.定理18 【了解】（体积公式）半径为R的球的体积为V球=；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为V=定理19 如图12-1所示，四面体ABCD中，记BDC=，ADC=，ADB=，BAC=A，ABC=B，ACB=C。DH平面ABC于H。（1）射影定理：SABDcos=SABH，其中二面角DABH为。（2）正弦定理：（3）余弦定理：cos=coscos+sinsincosA.cos
32、A=-cosBcosC+sinBsinCcos.（4）四面体的体积公式DHSABC=（其中d是a1, a之间的距离，是它们的夹角）SABDSACDsin(其中为二面角BADC的平面角)。二、基础例题【必会】1公理的应用。例1 直线a,b,c都与直线d相交，且a/b,c/b，求证：a,b,c,d共面。证明 设d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交，两者确定一个平面，设为a.又因为a/b，所以两者也确定一个平面，记为。因为A，所以A，因为Bb，所以B，所以d.又过b,d的平面是唯一的，所以，是同一个平面，所以a.同理c.即a,b,c,d共面。例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的
33、什么条件？解 充要条件。先证充分性，设图12-2中PQRSTK是长方体ABCD-A1B1C1D1的正六边形截面，延长PQ，SR设交点为O，因为直线SR平面CC1D1D，又O直线SR，所以O平面CC1D1D，又因为直线PQ平面A1B1C1D1，又O直线PQ，所以O平面A1B1C1D1。所以O直线C1D1，由正六边形性质知，ORQ=OQR=600，所以ORQ为正三角形，因为CD/C1D1，所以=1。所以R是CC1中点，同理Q是B1C1的中点，又ORC1OQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。2异面直线的相关问题
34、。例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？解 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线124=48对，而每一对异面直线被计算两次，因此一共有24对。例4 见图12-3，正方体，ABCDA1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。解 连结AC，B1C，因为A1AB1BC1C，所以A1AC1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC。所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1C=AC，所以B1AC=600。所以A1C1与AB1所成角为600。3平行与垂直的论证例5 A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都
35、是直角，求证：四边形ABCD是矩形。证明 若ABCD是平行四边形，则它是矩形；若ABCD不共面，设过A，B，C的平面为，过D作DD1于D1，见图12-4，连结AD1，CD1，因为ABAD1，又因为DD1平面，又AB，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。同理BCCD1，所以ABCD1为矩形，所以AD1C=900，但AD1AD,CD1CD，所以AD2+CD2=AC2=，与AD2+CD2矛盾。所以ABCD是平面四边形，所以它是矩形。例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。证明 见图12-5，设四面体ABCD的高线AE与BF相交于O，因为AE平面BCD，所
36、以AECD，BF平面ACD，所以BFCD，所以CD平面ABO，所以CDAB。设四面体另两条高分别为CM，DN，连结CN，因为DN平面ABC，所以DNAB，又ABCD，所以AB平面CDN，所以ABCN。设CN交AB于P，连结PD，作PD于，因为AB平面CDN，所以AB，所以平面ABD，即为四面体的高，所以与CM重合，所以CM，DN为PCD的两条高，所以两者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ABE折起，并使AC=AD，见图12-6。求证：平面ABE平面BCDE。证明 取BE中点O，CD中点M，连结AO，OM，OD，OC，则OM/BC，又CDBC，所以OMCD。又因为
37、AC=AD，所以AMCD，所以CD平面AOM，所以AOCD。又因为AB=AE，所以AOBE。因为EDBC，所以BE与CD不平行，所以BE与CD是两条相交直线。所以AO平面BC-DE。又直线AO平面ABE。所以平面ABE平面BCDE。4直线与平面成角问题例8 见图12-7，正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。解设边长AB=2，因为EFAD，又ADAB。所以EFAB，所以BG=，又AEEF，BEEF，所以AEB=1200。过A作AMBE于M，则AEM=600，ME=，AM=AEsin600=.由余弦定理M
38、G2=BM2+BG2-2BMBGcosMBG= =2，所以MG=因为EFAE，EFBE，所以EF平面AEB，所以EFAM，又AMBE，所以AM平面BCE。所以AGM为AG与平面EBCF所成的角。而tanAGM=。所以AG与平面EBCF所成的角为.例9 见图12-8，OA是平面的一条斜角，AB于B，C在内，且ACOC，AOC=，AOB=，BOC=。证明：cos=coscos.证明 因为AB，ACOC，所以由三垂线定理，BCOC，所以OAcos=OB,OBcos=OC,又RtOAC中，OAcos=OC，所以OAcoscos=OAcos，所以cos=coscos.5二面角问题例10 见图12-9，设
39、S为平面ABC外一点，ASB=450，CSB=600，二面角ASBC为直角二面角，求ASC的余弦值。解 作CMSB于M，MNAS于N，连结CN，因为二面角ASBC为直二面角，所以平面ASB平面BSC。又CMSB，所以CM平面ASB，又MNAS，所以由三垂线定理的逆定理有CNAS，所以SCcosCSN=SN=SCcosCSMcosASB，所以cosASC=cos450cos600=。例11 见图12-10，已知直角ABC的两条直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角ACPB，当AB=时，求二面角PACB的大小。解 过P作PDAC于D，作PECP交BC于E，连结D
40、E，因为ACPB为直二面角，即平面ACP平面CPB，所以PE平面ACP，又PDCA，所以由三垂线定理知DEAC，所以PDE为二面角PACB的平面角。设BCP=，则cosECD=coscos(900-)=sincos，由余弦定理cosACB=，所以sincos=，所以sin2=1.又02，所以=，设CP=a，则PD=a,PE=a.所以tanPDE=所以二面角PACB的大小为。常考知识点整合:1.二面角的平面角的作法: 定义 三垂线定义 垂面法2. 点到平面的距离求法有:体积法 直接法,找出点在平面内的射影3.转化思想: 例如求一个平面的一条平行线上一点到这个平面的距离较难时,可转化为平行线上其他的点到这个平面的距离 求点到平面的距离如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （）求BF的长； （）求点C到平面AEC1F的距离. 解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.又AFEC1，FAD=C1EH.RtADFRtEHC1. DF=C1H=2.（）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M