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1、2006年温州市新课程培训年温州市新课程培训两角差的余弦公式教学两角差的余弦公式教学设计2021/8/8 星期日1一、教材地位分析一、教材地位分析l普通高中课程标准实验教科书数学4必修本（A版）第三章三角恒等变换处于三角函数与代数变换这两个不同知识板块的交汇点，它既是对已学知识的巩固，又是对已学知识的进一步深入应用.l两角差的余弦公式是本章的第一课时，也是本章公式体系推导过程的基础与核心，它处于一个承上启下的关键位置.2021/8/8 星期日2二、学情分析二、学情分析学生在此之前已经学习了同角三角函数式的变换、代数变换和平面向量等有关知识.l具备进一步学习的基础知识具备进一步学习的基础知识l缺
2、乏进一步学习的综合素质缺乏进一步学习的综合素质对数与形、三角与代数之间关系的认识还较薄弱；提出问题、分析问题和解决问题的能力有待于提高；逻辑推理的严密性还不够.2021/8/8 星期日3三、教学目标分析三、教学目标分析知识与技能目标知识与技能目标：理解两角差的余弦公式的推导过程；掌握两角差的余弦公式的初步应用。过程与方法目标过程与方法目标：通过创设情境，揭示知识背景，引发学生学习兴趣，并经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。感情态度与价值观感情态度与价值观：体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辨证与联系的观点看问题。创设问题情景，激发学生分析、
3、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法。2021/8/8 星期日4四、教学重难点分析四、教学重难点分析难点：两角差的余弦公式的推导 重点：掌握两角差的余弦公式及其初步应用 2021/8/8 星期日5五、教学方法与教学用具五、教学方法与教学用具教学方法教学方法：(1)自主性学习法；(2)探究式学习法；(3)反馈练习法；教学用具教学用具:电脑、实物投影仪.2021/8/8 星期日6六、教学情境设计六、教学情境设计l创设情境，引出课题l猜想探究，发现公式l启发联想，证明公式 l变式训练，掌握公式 l学生小结，教师评价 l布置作业，
4、复习巩固 2021/8/8 星期日7【创设情境，引出课题创设情境，引出课题】问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A,C两点间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（CAD）约为45度，如何求这座电视发射塔的高度呢？2021/8/8 星期日8u教师引导学生根据实际问题的背景画出数学图形，教师引导学生根据实际问题的背景画出数学图形，从而将问题转化为直角三角形中的边角关系问题从而将问题转化为直角三角形中的边角关系问题.u教师启发学生利用勾股定理和三角函数的定义去教师启发学生利用勾股定理和三角函数的定义去构建方程，自主的分析问题，发现
5、问题的实质构建方程，自主的分析问题，发现问题的实质.u进一步引出课题：如何用任意角进一步引出课题：如何用任意角、的正、余弦的正、余弦来表示来表示cos(-cos(-）的值）的值.2021/8/8 星期日9u让学生在已掌握的知识库中自主寻找解决方法，一是达到复习的目的；二可以拓宽学生的思路；三是由具体到抽象，由特殊到一般，为导出下一个问题作铺垫和引子.【设计意图设计意图】u从实际问题出发，创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识和知识的应用意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.回72021/8/8 星期日10【猜想探究，发现公式猜想探究，发现公式】首先引导学生对首先引
6、导学生对coscos（-）与任意角）与任意角、的的 关系进行大胆的猜想关系进行大胆的猜想.然后类比代数变换对然后类比代数变换对coscos（-）=cos-cos=cos-cos是否成立进行多角度的辨析是否成立进行多角度的辨析.进一步引导学生对两组数据进行探究并猜想发现进一步引导学生对两组数据进行探究并猜想发现公式：公式：2021/8/8 星期日11【设计意图设计意图】u通过使学生倍感新奇与乐趣的猜想探究，让学生亲身经历将实际的数据抽象成具体公式的过程，由定性研究到定量研究，从感性到理性，为学生的思考与想像提供了线索，使其思维逐渐明晰，并向纵深发展，让学生的思维能力得到了锻炼，创造性思维随之得以
7、萌发.u通过教师努力创设生动、有趣的情境，来激发学生学习数学的兴趣，很大程度地提高了学生的运用所学的知识去解决各类数学问题的能力，不但调动了学生学习的主动性、积极性，而且有助于教师更好地开展教学工作，取得良好的教学效果.回72021/8/8 星期日12【启发联想，证明公式启发联想，证明公式】首先启发学生思考连接任意角与其对应三角函数值首先启发学生思考连接任意角与其对应三角函数值的的“桥梁桥梁”三角函数线三角函数线.教师引导学生画图并尝试解决提出的猜想。具体从教师引导学生画图并尝试解决提出的猜想。具体从三个层次进行逐步深入的启发：三个层次进行逐步深入的启发：（1 1）探究的前提：该如何画图。通过
8、展示学生的各）探究的前提：该如何画图。通过展示学生的各种作法并讨论、汇总形成两种类型种作法并讨论、汇总形成两种类型.其一使其一使，的终边的终边重合，此时重合，此时-的始边与的始边与Ox轴重合；其二使轴重合；其二使，的始边的始边与与x轴重合，此时轴重合，此时-的始边不在的始边不在Ox轴上轴上.2021/8/8 星期日13（2 2）探究的核心：如何在已学知识的基础上构建和）探究的核心：如何在已学知识的基础上构建和论证等式论证等式coscos（-）=coscos+sinsin=coscos+sinsin。针。针对两种不同的图形进行分组合作学习，通过组内讨论对两种不同的图形进行分组合作学习，通过组内讨
9、论形成意见，然后分组发表交流、对比、完善，逐步明形成意见，然后分组发表交流、对比、完善，逐步明确探究的总体思路确探究的总体思路.（3 3）探究的完善：公式的推导过程是否有不严谨之）探究的完善：公式的推导过程是否有不严谨之处呢？引导学生对上述思维过程进行反思：能否真正处呢？引导学生对上述思维过程进行反思：能否真正体现公式中角度体现公式中角度，的任意性呢？深层次的思考使的任意性呢？深层次的思考使学生的逻辑思维能力得到进一步的训练和提高学生的逻辑思维能力得到进一步的训练和提高.2021/8/8 星期日14【设计意图设计意图】u学习数学需要独立思考，也需要伙伴合作。教学中，教师通过创设以合作学习为主要
10、特征的亲和的人际情境，使学生对数学学习的感受、体验，对问题的兴趣、好奇，对不同观点的碰撞、辩论、澄清、认同，对探究过程中的困惑与理解，伴随着师生的情感及教材丰富的内涵而推进、深入。u学生在合作学习中，通过学习、探讨、交流，学会发现问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力。在和谐相助的情境中，促进了学生爱学、乐学、与人沟通交流能力及合作精神的培养。回72021/8/8 星期日15【变式训练，掌握公式变式训练，掌握公式】问题：你能利用差角余弦公式求问题：你能利用差角余弦公式求的值吗？的值吗？变题变题1 1：你能求：你能求的值吗？的值吗？变题变题2 2：已知：已知，求，求的值的值.变题变题3 3：已知
11、：已知，求，求的值的值.2021/8/8 星期日16【设计意图设计意图】l通过变式训练使学生体会两角差余弦公式的作用，以求达到培养学生对知识的迁移应用能力和对思维表述的条理性的预设教学目标.l本环节采用学生回答教师点评的主要方式体现面对全体学生，以学生为主体的新课程理念.回72021/8/8 星期日17【学生小结，教师评价学生小结，教师评价】引导学生从数学知识、数学方法和数学思想等方面引导学生从数学知识、数学方法和数学思想等方面进行自我总结并发言，教师适当加以评价，以鼓励进行自我总结并发言，教师适当加以评价，以鼓励和肯定为主。和肯定为主。【设计意图设计意图】关注学生学习的主动性，培养学生数学表达交流的习惯和能力。自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。回72021/8/8 星期日18【布置作业，复习巩固布置作业，复习巩固】lP152P152习题习题3.1 T33.1 T3，T4T4l利用两角差的余弦公式可以解决哪些问题？利用两角差的余弦公式可以解决哪些问题？【设计意图设计意图】l通过设置定量和定性两类问题既能够进一步检查 学生对本节课所学内容的理解和掌握，又可以借助 发展性的问题促使学生对差角公式的作用进行理性 的思考和提高.2021/8/8 星期日192021/8/8 星期日202021/8/8 星期日21