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1、2.1.2平面直角坐标系中的平面直角坐标系中的 基本公式基本公式2021/8/8 星期日1一一.两点间的距离公式两点间的距离公式 当当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，从点上时，从点A和点和点B分别向分别向x轴，轴，y轴作垂线轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线其中直线BB1和和AA2相交于点相交于点C。C2021/8/8 星期日2在直角在直角ACB中，中，|AC|=|A1B1|=|x2x1|，|BC|=|A2B2|=|y2y1|，C由勾股定理得由勾股定理得|
2、AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2x1|2+|y2y1|2，由此得到计算两点间距由此得到计算两点间距离的公式：离的公式：d(A，B)=|AB|2021/8/8 星期日3当当AB平行于平行于x轴时，轴时，d(A，B)=|x2x1|；当当AB平行于平行于y轴时，轴时，d(A，B)=|y2y1|；当当B为原点时，为原点时，d(A，B)=2021/8/8 星期日4求两点距离的步骤求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：）给两点的坐标赋值
3、：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即两个变量，即x=x2x1，y=y2y1.2021/8/8 星期日5（3）计算）计算 d=（4）给出两点的距离）给出两点的距离 d.通过以上步骤，对任意的两点，只通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离最后算出两点的距离.2021/8/8 星期日6例例1.已知已知A(2，4)，B(2，3)，求，求d(A，B)。解：解：x1=2，x2=2，y1=4，y2=3，x=x2x1=4，y=y2y1=7，d(A，B)
4、=2021/8/8 星期日7例例2已知点已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求证：求证：ABC是等腰三角形。是等腰三角形。证明：因为证明：因为 d(A，B)=d(A，C)=d(B，C)=因为因为|AC|=|BC|，且，且A，B，C不共线，不共线，所以所以ABC是等腰三角形。是等腰三角形。2021/8/8 星期日8二二.坐标法坐标法 坐标法：就是通过坐标法：就是通过建立坐标系建立坐标系（直线坐标（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题系或者是直角坐标系），将几何问题转化转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法问题的方法.用坐标法证题的用
5、坐标法证题的步骤步骤2021/8/8 星期日9用坐标法证题的用坐标法证题的步骤步骤（1）根据题设条件，在适当位置）根据题设条件，在适当位置建立坐建立坐标系标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（直线坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需）根据题设条件推导出所需未知点的未知点的坐标，坐标，进而推导进而推导结论结论.2021/8/8 星期日10例例3已知已知ABCD，求证：，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明：取证明：取A为坐标原点，为坐标原点，AB所在的直线为所在的直线为x轴，建轴，建立平面直角坐标系立平面直角坐标系xOy，依据平行四边
6、形的性质可设点依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)，2021/8/8 星期日11所以所以 AB2=a2，AD2=(ba)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab =2(2a2+b2+c22ab)，AB2+AD2=2a2+b2+c22ab，所以所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).2021/8/8 星期日12三三.中点坐标公式中点坐标公式 已知已知A(x1，y1),B(x2，y2)两点，两点，M(x，y)是线段是线段AB的中点，则有的中点，则有 2021
7、/8/8 星期日13（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。中点特征加以研究，确定解题策略。（2）若已知点）若已知点P(x，y)，则点，则点P关于点关于点M(x0，y0)对称的点坐标为对称的点坐标为P(2x0 x，2y0y).2021/8/8 星期日14（3）利用中点坐标可以求得）利用中点坐标可以求得ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心）的重心坐标为坐标为2021/8/
8、8 星期日15例例4已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。解：因为平行四边形的解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。所以它们的坐标也相同。设设D点的坐标为点的坐标为(x，y)，2021/8/8 星期日16则则解得解得 所以点所以点D的坐标是的坐标是(0，4).2021/8/8 星期日17例例5 已知点已知点A(1，3)，B(3，1)，点，点C在在坐标轴上，坐标轴上，ACB=90，则满足条件的点，则满足条件的点C的个数是（的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：若
9、点解：若点C在在x轴上，设轴上，设C(x，0)，由，由ACB=90，得，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，(13)2+(31)2=(x+1)2+32+(x3)2+12，解得解得x=0或或x=2,2021/8/8 星期日18若点若点C在在y轴上，设轴上，设C(0，y)，由，由ACB=90得得|AB|2=|AC|2+|BC|2，可得可得y=0 或或y=4，而其中原点而其中原点O(0，0)计算了两次，计算了两次，故选故选C.2021/8/8 星期日19例例6ABD和和BCE是在直线是在直线AC同侧的同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.证明：如图，
10、以证明：如图，以B点为坐标原点，取点为坐标原点，取AC所在的直线为所在的直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.设设ABD和和BCE的边长的边长分别为分别为a和和c，则则A(a，0)，C(c，0)2021/8/8 星期日20D ，E ，于是于是|AE|=|CD|=所以所以|AE|=|CD|.2021/8/8 星期日21例例7.求函数求函数y=的最小值的最小值.解：函数的解析式可化为解：函数的解析式可化为 令令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在则问题转化为在x轴上求一点轴上求一点P(x，0)，使，使得得|PA|+|PB|取最小值取最小值.2021/8/8 星期日22A(0
11、，1)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为A(0，1)，即函数即函数y=的最小值为的最小值为2021/8/8 星期日23练习题：练习题：1 如果一条线段的长是如果一条线段的长是5个单位，它的一个单位，它的一个端点是个端点是A(2，1)，另一个端点，另一个端点B的横坐标的横坐标是是1，则端点，则端点B的纵坐标是（的纵坐标是（）（A）3 （B）5 （C）3或或5 （D）1或或3C2021/8/8 星期日242设设A(1，2)，在，在x轴上求一点轴上求一点B，使得，使得|AB|=5，则，则B点的坐标是（点的坐标是（）（A）(2，0)或或(0，0)（B）(，0)（C）(，0)（D）(，0)或或(，0)D
12、2021/8/8 星期日253若若x轴上的点轴上的点M到原点及点到原点及点(5，3)的的距离相等，则距离相等，则M点的坐标是（点的坐标是（）（A）(2，0)（B）(1，0)（C）(1.5，0)（D）(3.4，0)D2021/8/8 星期日264若点若点M在在y轴上，且和点轴上，且和点(4，1)，(2，3)等距离，则等距离，则M点的坐标是点的坐标是 .5若点若点P(x，y)到两点到两点M(2，3)和和N(4，5)的距离相等，则的距离相等，则x+y的值等于的值等于 .72021/8/8 星期日276已知点已知点A(x，5)关于点关于点C(1，y)的对称点的对称点是是B(2，3)，则点，则点P(x，y)到原点的距到原点的距离是离是 。7已知已知ABC的两个顶点的两个顶点A(3，7)，B(2，5)，若，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则的中点都在坐标轴上，则C点的坐标是点的坐标是 。(2，7)或或(3，5)2021/8/8 星期日288 已知已知A(1，2)，B(3，b)两点间的距离两点间的距离等于等于4 ，则，则b=。6或或2 2021/8/8 星期日292021/8/8 星期日30