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1、二项式定理（第一课时）10.5 二项式定理二项式定理理解二项式定理，会利用二项式定理求理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。二项展开式。掌握二项展开式的通项公式，会应用通掌握二项展开式的通项公式，会应用通项公式求指定的某一项。项公式求指定的某一项。会正确区分二项式系数与项的系数，会会正确区分二项式系数与项的系数，会求指定项的二项式系数和系数。求指定项的二项式系数和系数。问题问题1 1：?问题问题2 2：你能否判断你能否判断(3 x2 )10的展开式中是否包含常的展开式中是否包含常数项？数项？它研究的就是它研究的就是(ab)n 的展开式的展开式的一般情形。的一般情形。nCr(ab)2 a
2、22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)4(ab)3(ab)(a33a2b3ab2b3)(ab)(ab)2 (a b)(a b)a2ababb2a22abb2(ab)3(ab)(ab)(ab)a33a2b3ab2b3 a3a2bab2b3共有四项共有四项a3 :a2b:同理，同理，ab2 有有 个；个；b3 有有 个；个；每个括号都不取每个括号都不取b的情况有一种，即的情况有一种，即 种，种，相当于有一个括号中取相当于有一个括号中取b的情况有的情况有 种，种，所以所以a2b的系数是的系数是 所以所以a3的系数是的系数是(ab)2 a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3
3、a3 a2b ab2 b3(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a4 a3b a2b2 ab3 b4一般地，一般地，(ab)n(ab)(ab)(ab)(ab)an an-1b an-2b2 an-3b3 an-rbr bn该公式称为该公式称为二项式定理二项式定理。1）每一项的系数）每一项的系数（r=0，1，2，n）叫做该项的叫做该项的二项式系数二项式系数。2）叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，表示表示第第r+1项项，记作，记作Tr+1。其右端的多项式叫做其右端的多项式叫做(ab)n的的二项展开式，二项展开式，共有共有n+1项。其中项。其中3）若取）若取a=1，b=x则得一个重要公式
4、：则得一个重要公式：(1+x)n=1+x+x2+xr+xn 二项式定理：二项式定理：(ab)n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项公式通项公式（第（第r+1项）项）：Tr+1C an-rbr；其中其中 C 称为称为第第r+1项项的的二项式系数。二项式系数。解：解：例例1：展开：展开(a+b)5例例2：展开：展开(1-x)n(1-x)n=Cn0-Cn1X+Cn2X2-+(-1)nCnnXn解：解：解解：ax，b2，n10根据通项公式根据通项公式Tr1 anr b r 得得T5 T4+1 x104(2)43360 x6它的二项式系数是它的二项式系数是二项式定理：
5、二项式定理：(ab)n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项公式通项公式（第（第r+1项）项）：Tr+1C an-rbr；其中其中 C 称为称为第第r+1项项的的二项式系数。二项式系数。x6 16210Cnr例例3、求、求(x2)10的展开式中的第五项，并求出它的的展开式中的第五项，并求出它的二项式系数。二项式系数。问题1，2小结二项式定理：二项式定理：(ab)n C anC an-1bC an-2b2C an-rbr C bn 通项公式通项公式（第（第r+1项）项）：Tr+1C例例4、求、求(x2)10的展开式中的展开式中x6项项的系数。的系数。an-rbr
6、；称为称为第第r+1项项的二项式系数。的二项式系数。解解:(x2）10的展开式的通项是的展开式的通项是Tr1x10r(2)r(1)r 2r由题意知由题意知10r6 r4于是于是x6项的系数是项的系数是(1)4 24163360其中其中 Cx10rCr10rC10问题问题2：?nCr问题问题1：解：根据二项式定理，取解：根据二项式定理，取a=1,b=1 (1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n解：根据二项式定理，取 a3x2，b的通项公式是Tr1(3x2)10r()r 310 r x20 2r(1)r x(1)r 310 r x20 令20 0r8rN的展开式中第9项为常数项。C10rC10rC10r二项式定理展开式中二项式定理展开式中a与与b是用是用“”连接的，即连接的，即 (ab)n an an1b anrbr bn，在实际运用时注意正确选择在实际运用时注意正确选择a、b。通项公式通项公式Tr+1C an-rbr 是指是指第第r1项项，r+1项的项的二项式系数二项式系数。其中其中 C 称为第称为第（见例（见例3）注意正确区分二项式系数与项的系数。注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例（见例3）nCr P110 习题习题10.4：2，4