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1、概率论第48讲大数定律依概率收敛的意义依概率收敛的意义101nnnXanXaXa依概率收敛即依概率 收敛。随机变量序列依概率收敛于，说明对于任给的，当 很大时，事件“”的概率接近于，但正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。所以说依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法。定义定义：依概率收敛：依概率收敛),(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXpnnpnpn则则连续，连续，在点在点，又设函数，又设函数设设设设1212,lim1,nnnnpnXXXaP XaXXXaXa设是一个随机变量序列，是一个常数，若对于任意正数，有则称序列依概率收敛于 ，记为依概率收敛的性质依概率收敛的
2、性质lim0nnP Xa切比雪夫定理切比雪夫定理1211,()()(1,2,)()(1,2,)011lim()1niiinniiniiXXXE XD XiD XC iPXE Xnn定理设是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在，且，则对任意给定的，有11nniiYXn令11nniiE(X)npnnY切比雪夫定理的证明切比雪夫定理的证明21111nniiiicDXD(X)nnn1111nniiiiEXE(X)nn证证由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式21111()1nniiiicPXE Xnnn 即即1111lim()1nniiniiPXE Xnn1111lim()1nniiniiPXE X
3、nn切比雪夫定理的特殊情况切比雪夫定理的特殊情况1221,(),()(1,2,)01lim1niininipXXXE XD XiPXnX定理设是相互独立的随机变量序列，有相同的数学期望和方差，。则对任意给定的，有即此定理表明此定理表明:相互独立具有相同期望和方差的随机变相互独立具有相同期望和方差的随机变量量X1,X2,Xn的算术平均值依概率收敛于其数学期的算术平均值依概率收敛于其数学期望值望值 .伯努利大数定理伯努利大数定理0lim1lim0AAnAnnnApAnPpnnPpn定理设是 次独立重复试验中事件 发生的次数，是事件 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有或伯努利大数定理的证明伯
4、努利大数定理的证明1lim1)(1lim),2,1)(1()(,)()10(,212121 pnnPpXXXnPkppxDpxEpXXXXXXnAnnnkknnA即即有有理理，则由切比雪夫大数定，则由切比雪夫大数定分布，因而分布，因而的的数为数为相互独立，且都服从参相互独立，且都服从参，其中，其中，因为因为证明证明辛钦定理辛钦定理121,()(1,2,)1lim1nkniniXXXE XkPXn定理设是相互独立的随机变量序列，服从同一分布，且具有，则对任意正数，有显然，贝努里大数定理是辛钦定理的特殊情形。大数定律在概率论中的意义大数定律在概率论中的意义大数定律给出了在试验次数很大时频率和平大数
5、定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性。它既验证了替均值，用频率代替概率的合理性。它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律。律是概率论中最重要的基本定律。小结小结三个大数定理的区别和联系（1）伯努利大数定理是切比雪夫定理和辛钦大数定理的特殊情形；（2）切比雪夫定理和辛钦大数定理共同点：都要求序列是独立而且期望是存在的。（3）切比雪夫定理和辛钦大数定理不同点：切比雪夫大数定理要求各个随机变量的方差存在且一致有界，辛钦大数定理要求各个随机变量同分布，但对方差没有要求，方差可以不存在，也可以存在，但不需要一致有界。返回返回